Classi di funzioni integrabili

Le classi di funzioni integrabili sono famiglie di funzioni dotate di particolari proprietà che ne garantiscono l'integrabilità su un intervallo chiuso e limitato, e che forniscono un utile riferimento per capire se un'assegnata funzione sia integrabile o meno.

 

Dato un intervallo chiuso e limitato, quali sono le condizioni che garantiscono che una data funzione sia integrabile secondo Riemann? Quali sono le principali classi di funzioni integrabili?

 

In questa lezione enunciamo le principali condizioni sufficienti per l'integrabilità (di cui non riportiamo le dimostrazioni). Come abbiamo già detto nella lezione precedente, esistono funzioni che non sono integrabili in un intervallo chiuso e limitato. La funzione di Dirichlet in un intervallo [a,b] ne è un esempio.

 

Classi di funzioni integrabili e condizioni di integrabilità

 

Essenzialmente, esistono tre teoremi fondamentali che ci aiutano a comprendere se una funzione è integrabile. Attenzione: essi non esauriscono tutti i casi possibili ed immaginabili, ma ciononostante sono fondamentali perché consentono di capire se una funzione è integrabile nel 99% dei casi.

 

Partiamo dal primo dei tre teoremi con le condizioni che garantiscono l'integrabilità di una funzione su un intervallo limitato e chiuso.

 

Una funzione continua è integrabile

 

1) Sia [a,b] un intervallo chiuso e limitato. Se la funzione f:[a,b]\to\mathbb{R} è continua, allora essa è integrabile su [a,b].

 

A cosa serve questo teorema? Diciamo che ha notevoli conseguenze teoriche e pratiche. Negli esercizi ad esempio capita molto spesso che ci venga chiesto se una certa funzione è integrabile in un intervallo dato. Utilizzando questo risultato possiamo rispondere immediatamente senza fare alcun calcolo, e se ci pensate un momento, è un vantaggio da non sottovalutare!

 

A volte sui libri si trova la formulazione super contratta di questo teorema:

 

C[a,b]\subset R[a,b]

 

Questa scrittura ci dice sostanzialmente che la classe di funzioni continue in un intervallo chiuso e limitato [a,b] è contenuto nell'insieme delle funzioni integrabili in [a,b].

 

 

Esempio

 

Vediamo un esempio di applicazione: dire se la seguente funzione è integrabile in [1,2].

 

f(x)= \frac{\sin(x)\ln(x+1)}{x}+\arctan(x)

 

Svolgimento: la funzione f è una funzione continua nell'intervallo [1,2] perché è somma e prodotto di funzioni continue in [1,2]. Per il teorema sull'integrabilità di funzioni continue si ha che essa è integrabile in [1,2].

 

Integrabilità e funzioni discontinue

 

Cosa succede se la funzione in esame presenta discontinuità? Ovviamente non possiamo far uso del teorema precedente, ma niente paura. Facciamo intervenire un ulteriore teorema che ci fornisce una nuova classe di funzioni integrabili.

 

2) Consideriamo un intervallo chiuso e limitato [a,b]. Se f:[a,b]\to \mathbb{R} è una funzione limitata e con un numero finito di discontinuità, allora f è integrabile in [a,b].

 

Questo risultato ci assicura l'integrabilità di funzioni un po' più strane di quelle continue. Possiamo ad esempio prendere in esame la funzione

 

f(x)= \begin{cases}\sin\left(\frac{1}{x}\right)&\mbox{ se }x\in (0, 1]\\ 0&\mbox{ se }x= 0\end{cases}

 

 

Classe delle funzioni integrabili e continue

 

 

Essa è integrabile su [0,1] perché è una funzione limitata e continua in (0,1], in quanto composizione di funzioni continue, mentre x=0 è un punto di discontinuità.

 

 

Un altro esempio è dato dalla classe di funzioni continue a tratti e limitate, come nel caso di

 

f(x)= \begin{cases}\sin(x)+1&\mbox{ se }x\in [-1, 0)\\ 2&\mbox{ se } x\in[0, 1) \\\cos(x)+1&\mbox{ se }x\in [1,2]\end{cases}

 

 

Una funzione limitata con un numero finito di punti di discontinuità è limitata

 

 

Possiamo notare che la funzione è discontinua in 0 e in 1, ma nonostante ciò è integrabile secondo Riemann in [-1,+1]. Essa è infatti limitata e presenta un numero finito di discontinuità (tre).

 

Integrabilità e funzioni monotone

 

3) Se una funzione f è monotona e definita in un intervallo chiuso e limitato [a,b] allora f è integrabile su [a,b].

 

Attenzione a questa meravigliosa, terza classe di funzioni integrabili. Avete notato la generalità delle ipotesi? Esse sono così generali da permetterci di considerare, ad esempio, una funzione con un numero infinito di discontinuità e che sia integrabile secondo Riemann!

 

Un esempio interessante di funzione monotona che è integrabile in [0,1] è dato da:

 

f(x)= \begin{cases}\frac{1}{\lfloor \frac{1}{x}\rfloor}&\mbox{ se }x\in (0, 1]\\ 0&\mbox{ se }x= 0\end{cases}

 

dove \lfloor\cdot\rfloor indica la funzione parte intera. Ecco il grafico:

 

 

Una funzione monotona è integrabile

 

 

Questa funzione presenta un'infinità numerabile di punti di discontinuità, tutti della forma x= \frac{1}{n}\mbox{ con }n\in \mathbb{N}. Nonostante sia discontinua in infiniti punti, la funzione risulta integrabile, proprio perché monotona (crescente).

 

 


 

 

Quelle che abbiamo appena visto sono le classi di funzioni integrabili secondo Riemann che vengono spiegate ad un corso di Analisi 1, e ricordiamo che abbiamo parlato esclusivamente di condizioni sufficienti per l'intergrabilità.

 

A titolo di gossip, in realtà esiste un ulteriore teorema che viene enunciato e dimostrato nel corso dedicato alla Teoria della Misura, e che ci fornisce la condizione necessaria e sufficiente per l'integrabilità alla Riemann: il teorema di Vitali-Lebesgue. 

 

Teorema di Vitali-Lebesgue (condizione necessaria e sufficiente per l'integrabilità)

 

Una funzione f:[a,b]\to\mathbb{R} è integrabile secondo Riemann in [a,b] se e solo se è discontinua in un insieme la cui misura secondo Lebesgue è nulla.

 

Ovviamente non ne è richiesta la conoscenza né alle scuole superiori, né nei corsi base di Analisi Matematica. ;)

 

 


 

Abbiamo portato a termine questa velocissima lezione. Per non appesantirla troppo abbiamo deciso di non riportare le dimostrazioni, che comunque potrete sempre chiederci nel Forum. ;)

 

 

Alla prossima!

Salvatore Zungri (Ifrit)

 

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