Proprietà degli integrali

Le proprietà degli integrali sono una serie di proprietà dell'integrale definito secondo Riemann, relative ad alcune operazioni algebriche di base (somma e prodotto per una costante) e alla relazione tra il segno di integrale e l'intervallo di integrazione.

 

Lo scopo di questa lezione consiste nell'elencare tutte le proprietà degli integrali, ed in particolare dell'integrale definito. Tali regole sono richieste sia alle scuole superiori che all'università; non ci soffermeremo sulle dimostrazioni, le quali sono comunque piuttosto semplici e vengono lasciate per esercizio (agli studenti universitari).

 

Per la vostra comodità abbiamo inoltre ritenuto che fosse utile riportare in questa stessa lezione anche altre proprietà teoriche (leggasi: teoremi) che caratterizzano gli integrali definiti.

 

Proprietà dell'integrale secondo Riemann

 

Siano f, g due funzioni integrabili su un intervallo chiuso e limitato [a,b]. Valgono le seguenti proprietà:

 

1) Proprietà degli estremi di integrazione

 

\int_{a}^{b}f(x)dx=-\int_{b}^{a}f(x)dx

 

2) Proprietà degli estremi coincidenti

 

\int_{a}^{a}f(x)dx=0

 

3) Linearità dell'integrale rispetto agli estremi (o additività rispetto agli estremi)

 

\int_{a}^{b}f(x)dx= \int_{a}^{c}f(x)dx+\int_{c}^{b}f(x)dx\ \ \ \mbox{ con }c\in [a, b]

 

4) Additività dell'integrale

 

\int_{a}^{b}[f(x)+g(x)]dx=\int_{a}^{b}f(x)dx+\int_{a}^{b}g(x)dx

 

5) Omogeneità dell'integrale

 

\int_{a}^{b} [c f(x)]dx= c \int_{a}^{b} f(x)dx\ \ \ \mbox{ con }c\in\mathbb{R}

 

Le regole 4) e 5) possono essere riassunte in un'unica proprietà:

 

L) Linearità dell'integrale

 

\int_{a}^{b}[\alpha f(x)+\beta g(x)]dx=\alpha \int_{a}^{b}f(x)dx+\beta \int_{a}^{b}g(x)dx \ \ \ \mbox{ con }\alpha,\beta\in\mathbb{R}

 

Quest'ultima proprietà viene solitamente espressa dicendo che l'integrale è un operatore lineare.

 

Come abbiamo già anticipato, dimostrare i precedenti risultati non è affatto complicato. Le prime due proprietà possono essere considerate come definizioni; le uniche dimostrazioni da effettuare riguardano 3) e L), di cui ci occuperemo nella lezione successiva: linearità e additività dell'integrale di Riemann.

 

Le uniche, vere proprietà degli integrali sono quelle che abbiamo già elencato e sono più che sufficienti per semplificare moltissimi integrali, oltre ad avere un largo utilizzo in ambito teorico. In ogni caso non ci fermiamo qui: esistono moltre altre proprietà, meno operative, che ci aiutano in moltissimi problemi teorici.

 

Teoremi sulle funzioni integrabili

 

Tra le varie proprietà degli integrali possiamo includere anche i principali teoremi sulle funzioni integrabili, che vediamo qui di seguito.

 

Teorema sulle funzioni integrabili e non negative

 

Sia f:[a,b]\to\mathbb{R} una funzione integrabile e non negativa. Allora l'integrale secondo Riemann di f(x) sull'intervallo [a,b] è non negativo.

 

f(x)\in \mathcal{R}(a,b),\ f(x)\ge 0\quad\forall x\in [a,b]\ \implies\ \int_{a}^{b}f(x)dx\ge 0

 

Attenzione a non fraintendere l'enunciato del teorema: il viceversa in generale non vale e come vedremo più avanti esistono funzioni che hanno integrale positivo e segno variabile sull'intervallo.

 

Traccia di dimostrazione: considerate una decomposizione generica dell'intervallo, cosa possiamo dire sul segno delle somme inferiori? E sul segno delle somme inferiori? Cosa possiamo concludere? :)

 

 

Teorema del confronto per gli integrali

 

Siano f:[a,b]\to \mathbb{R},\ g:[a,b]\to \mathbb{R} due funzioni integrabili nell'intervallo [a,b]. Se f(x)\le g(x) per ogni x\in [a,b] allora risulta che

 

\int_{a}^{b} f(x)dx\le \int_{a}^{b} g(x)dx

 

In parole povere se una funzione f assume in tutti i punti di un intervallo valori minori o uguali a quelli assunti da un'altra funzione g, ne consegue che l'integrale di f sull'intervallo è maggiore o uguale all'integrale di g sul medesimo intervallo.

 

Traccia di dimostrazione: prendiamo in esame la funzione ausiliaria h(x)= g(x)-f(x) con x\in [a,b]. La funzione h è integrabile perché differenza di funzioni integrabili, ed inoltre h(x)\ge 0\quad\forall x\in [a,b], allora per il teorema sull'integrale di funzioni integrabili e non negative abbiamo la tesi (sviluppate i passaggi, non è affatto difficile).

 

Teorema sulla disuguaglianza integrale con valore assoluto

 

Una disuguaglianza molto utilizzata nella teoria dell'integrazione, e che quindi non deve assolutamente passare inosservata, è data dal seguente teorema che esprime il comportamento degli integrali definiti rispetto al valore assoluto.

 

Sia f:[a,b]\to \mathbb{R} una funzione integrabile in [a,b] allora:

 

\left|\int_{a}^{b}f(x)dx\right|\le \int_{a}^{b}|f(x)|dx

 

In altri termini si può dire brevemente che "il modulo dell'integrale è minore o uguale dell'integrale del modulo".

 

Traccia della dimostrazione: segue facilmente dal fatto che vale -|f(x)|\le f(x)\le |f(x)|,  e applicando ad essa il teorema sul confronto degli integrali si ricava la tesi.

 

 


 

Fermiamoci qui. Vi aspettiamo nella lezione successiva, non perdetevela!

 

 

Alla prossima!

Salvatore Zungri (Ifrit)

 

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Tags: proprietà degli integrali definiti, monotonia dell'integrale definito, disuguaglianze notevoli degli integrali.

 

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