Additività e linearità dell'integrale

L'additività degli integrali rispetto agli estremi e la linearità dell'integrale sono due importantissime proprietà che descrivono il comportamento dell'integrale definito secondo Riemann rispetto all'intervallo e alle operazioni algebriche di somma e prodotto per una costante.

 

Nella lezione sulle proprietà degli integrali abbiamo proposto l'elenco completo delle proprietà che caratterizzano l'integrale di Riemann, senza però soffermarci sulle dimostrazioni e promettendovi che le avremmo trattate in seguito. Eccoci qui, siete pronti? :)

 

 

Prima di iniziare richiamiamo per completezza le prime due proprietà viste in precedenza. Esse possono essere considerate come definizioni che derivano dalla costruzione dell'integrale definito, e in quanto tali non richiedono alcuna dimostrazione.

 

Sia f:[a,b]\to \mathbb{R} una funzione integrabile nell'intervallo [a,b] con a\textless b allora si pongono per definizione:

 

\begin{align*}1)\int_{a}^{b}f(x)dx&= -\int_{b}^{a}f(x)dx\\ \\ 2) \int_{a}^{a}f(x)dx&= 0\end{align}

 

La 1) ci dice che invertendo gli estremi di integrazione dobbiamo ricordarci di cambiare anche il segno dell'integrale. La 2) invece ci dice che se gli estremi di integrazione coincidono, allora l'integrale vale zero.

 

Additività dell'integrale rispetto agli estremi

 

La prima proprietà che dimostriamo riguarda la possibilità di spezzare un integrale definito come somma di due integrali, definiti su due sottointervalli la cui unione coincida con l'intervallo di partenza e tali da avere un solo punto in comune. In sintesi: additività dell'integrale rispetto agli estremi dell'intervallo.

 

Siano [a,b] un intervallo chiuso e limitato e c\in(a,b). Allora f è integrabile su [a,b] se e solo se essa è integrabile su [a,c] e su [c,b], e in tal caso avremo

 

\int_{a}^{b}f(x)dx= \int_{a}^{c}f(x)dx+ \int_{c}^{b}f(x)dx

 

Dimostriamo \Rightarrow

 

Per ipotesi sappiamo che f è integrabile su [a,b]. Allora fissato un numero reale \varepsilon\textgreater 0, esiste una partizione P_{[a,b]} dell'intervallo [a,b] tale che:

 

S(f, P_{[a,b]})-s(f, P_{[a,b]})\textless \varepsilon

 

Consideriamo le sottopartizioni

 

P_{[a,c]}= P_{[a,b]}\cap [a, c]\qquad\quad P_{[c, b]}= P_{[a, b]}\cap [c, b]

 

Allora avremo che

 

\\ S(f, P_{[a,c]})- s(f, P_{[a,c]})\textless \varepsilon\\ \\ S(f, P_{[c,b]})- s(f, P_{[c, b]})\textless \varepsilon

 

Ciò dimostra che la funzione è integrabile su [a,c] e su [c,b] perché viene soddisfatto il teorema sulla condizione necessaria e sufficiente per l'integrabilità

 

Dimostriamo \Leftarrow

 

Sappiamo che la funzione f è integrabile su [a,c] e su [c, b]. Allora, fissato un numero reale \varepsilon\textgreater 0, esistono una partizione P_{[a,c]} di [a,c] e una partizione P_{[c, b]} di [c,b] tali che:

 

\\ S(f, P_{[a, c]})-s(f, P_{[a, c]})\textless \varepsilon\\ \\ S(f, P_{[c, b]})-s(f, P_{[c, b]})\textless \varepsilon

 

Consideriamo ora l'unione

 

P_{[a,b]}= P_{[a, c]}\cup P_{[c,b]}

 

che rappresenta una partizione dell'intervallo [a,b]. Ne consegue che

 

\begin{align*}\int_{a}^{b}f(x)dx&\le S(f, P_{[a,b]})\textless s(f, P_{[a,b]})+\varepsilon\\&= s(f, P_{[a,c]})+s(f, P_{[c,b]})+\varepsilon\\ &\le \int_{a}^{c}f(x)dx + \int_{c}^{b}f(x)dx+\varepsilon\end{align}

 

D'altra parte

 

\begin{align*}\int_{a}^{c}f(x)dx + \int_{c}^{b}f(x)dx&\le S(f, P_{[a,c]})+S(f, P_{[c,b]})\\ &\textless s(f, P_{[c, b]})+s(f, P_{[c, b]})+\varepsilon\\ &=s(f, P_{[a,b]})+\varepsilon\\ &\le \int_{a}^{b}f(x)dx+\varepsilon \end{align}

 

e con ciò siamo giunti alla tesi.

 

Nota bene: spesso e volentieri si fa uso dell'interpretazione geometrica di integrale per la dimostrazione di questo teorema, soprattutto alle scuole superiori, proprio per evitare i tecnicismi che possono confondere chi è alle prime armi.

 

Linearità dell'integrale

 

L'altra proprietà che vogliamo dimostrare riguarda il comportamento dell'integrale definito rispetto alla somma di funzioni e al prodotto di una funzione per una costante (eventualmente si veda la lezione sulle operazioni tra funzioni). In estrema sintesi l'integrale di Riemann è lineare.

 

Sia [a,b] un intervallo chiuso e limitato. Consideriamo due funzioni f,g:[a,b]\to\mathbb{R} integrabili su [a,b] e due costanti \alpha,\beta\in\mathbb{R}. Allora la combinazione lineare \alpha f+\alpha g è integrabile su [a,b], e risulta

 

\int_{a}^{b}(\alpha f(x)+\beta g(x))dx=\alpha\int_{a}^{b}f(x)dx+\beta\int_{a}^{b}g(x)dx

 

Per dimostrare la proprietà di linearità dell'integrale conviene considerare due sotto-proprietà che, congiuntamente, corrispondono ad essa: l'additività dell'integrale e l'omogeneità dell'integrale.

 

 

Additività dell'integrale

 

Sia [a,b] un intervallo chiuso e limitato. Consideriamo due funzioni f,g:[a,b]\to\mathbb{R} integrabili su [a,b]. Allora la funzione somma f+g è integrabile su [a,b], e risulta

 

\int_{a}^{b}(f(x)+g(x))dx= \int_{a}^{b}f(x)dx+\int_{a}^{b}g(x)dx

 

Sostanzialmente stiamo affermando che l'integrale definito di una somma di funzioni coincide con la somma degli integrali delle funzioni. 

 

Dimostrazione

 

Per l'ipotesi di integrabilità e per la relativa condizione necessaria e sufficiente di integrabilità, fissato un numero reale positivo \varepsilon, esistono due decomposizioni dell'intervallo \sigma_{1}, \sigma_2 tali che:

 

\\ S(f,\sigma_1)-s(f, \sigma_1)\textless \frac{\varepsilon}{2}\\ \\ S(g,\sigma_2)-s(f,\sigma_2)\textless \frac{\varepsilon}{2}

 

Costruiamo la decomposizione unione \tau= \sigma_1\cup \sigma_2 dell'intervallo [a, b] e grazie al teorema sulle disuguaglianze fondamentali delle somme di Riemann avremo:

 

\\ S(f, \tau)+s(f, \tau)\textless \frac{\varepsilon}{2}\\ \\ S(g, \tau)-s(g,\tau)\textless \frac{\varepsilon}{2}

 

Teniamo a mente queste disuguaglianze perché ci torneranno utili in seguito. Continuiamo con alcune considerazioni fondamentali: si dimostra abbastanza agevolmente che le somme inferiori riferite alla funzione f+g rispetto alla decomposizione \tau sono vincolate dalla disuguaglianza:

 

s(f+g, \tau)\ge s(f, \tau)+s(g, \tau)

 

È sufficiente osservare che per due punti consecutivi x_{k-1},x_k della decomposizione \tau vale

 

\inf_{x\in [x_{k-1}, x_k)}\left(f(x)+g(x)\right)\ge \inf_{x\in [x_{k-1}, x_k)} f(x)+\inf_{x\in [x_{k-1}, x_{k})}g(x)

 

Per le somme superiori sussiste la seguente relazione

 

S(f+g, \tau)\le S(f, \tau)+S(g,\tau)

 

e deriva dalle proprietà dell'estremo superiore

 

\sup_{x\in [x_{k-1}, x_k)}\left(f(x)+g(x)\right)\le \sup_{x\in [x_{k-1}, x_k)} f(x)+\sup_{x\in [x_{k-1}, x_{k})}g(x)

 

dove x_{k-1}, x_{k} sono due punti consecutivi della decomposizione \tau. Vale pertanto la catena di disuguaglianze:

 

s(f, \tau)+s(f, \tau)\le s(f+g, \tau)\le S(f+g,\tau)\le S(f, \tau)+S(g, \tau)

 

e dunque

 

S(f+g, \tau)-s(f+g, \tau)\le \overbrace{S(f, \tau)-s(f, \tau)}^{\textless \frac{\varepsilon}{2}}+\overbrace{S(g, \tau)-s(g, \tau)}^{\textless\frac{\varepsilon}{2}}\textless \varepsilon

 

Questo assicura l'integrabilità della funzione somma f+g. Osserviamo inoltre che per definizione di integrale definito si ha che

 

\\ s(f, \tau)\le \int_{a}^{b}f(x)dx\le S(f, \tau)\\ \\ s(g, \tau)\le \int_{a}^{b}g(x)dx\le S(g, \tau)

 

Inoltre:

 

s(f+g, \tau)\le \int_{a}^{b}(f(x)+g(x))dx\le S(f+g,\tau)

 

Grazie a tali disuguaglianze possiamo asserire che:

 

\begin{align*}\int_{a}^{b}(f(x)+g(x))dx&-\left[\int_{a}^{b}f(x)dx+\int_{a}^{b}g(x)dx\right]\le \\&\le S(f+g, \tau)-s(f, \tau)-s(g, \tau)\le\\&\le S(f,\tau)+S(g, \tau)-s(f,\tau)-s(g,\tau)\textless \varepsilon\end{align}

 

dall'altra parte abbiamo invece:

 

\begin{align*}\int_{a}^{b}(f(x)+g(x))dx&-\left[\int_{a}^{b}f(x)dx+\int_{a}^{b}g(x)dx\right]\ge \\&\ge s(f+g, \tau)-S(f, \tau)-S(g, \tau)\ge\\&\ge s(f,\tau)+s(g, \tau)-S(f,\tau)-S(g,\tau)\textgreater - \varepsilon\end{align}

 

Possiamo asserire quindi che:

 

-\varepsilon\textless \int_{a}^{b}(f(x)+g(x))dx- \int_{a}^{b}f(x)dx-\int_{a}^{b}g(x)dx\textless \varepsilon

 

o equivalentemente, per la definizione di valore assoluto

 

\left|\int_{a}^{b}(f(x)+g(x))dx- \int_{a}^{b}f(x)dx-\int_{a}^{b}g(x)dx\right|\textless \varepsilon

 

Dall'arbitrarietà di \varepsilon si ha la tesi.

 

 

Omogeneità

 

Sia [a,b] un intervallo chiuso e limitato e supponiamo che f:[a,b]\to\mathbb{R} sia una funzione integrabile secondo Riemann. Allora per ogni c reale si ha che la funzione cf(x) è integrabile, e vale:

 

\int_{a}^{b}c f(x)dx= c\int_{a}^{b}f(x)dx

 

Dimostrazione

 

È necessario distinguere i casi c\textgreater 0,\ c= 0,\ c\textless 0, e in questa sede ci occuperemo solo del primo; gli altri vengono lasciati per esercizio. ;)

 

Per ipotesi sappiamo che la funzione f è integrabile. Per la condizione necessaria e sufficiente per l'integrabilità si ha che, fissato un numero reale positivo \varepsilon\textgreater 0, esiste una decomposizione \sigma dell'intervallo [a,b] tale che:

 

S(f, \sigma)-s(f, \sigma)\textless \frac{\varepsilon}{c}

 

Facciamo intervenire le proprietà dell'estremo superiore e dell'estremo inferiore: siano x_{k-1}, x_{k}\in \sigma, due punti consecutivi della decomposizione. Risulta che

 

\\ a)\,\, c\cdot\inf_{x\in [x_{k-1}, x_{k})} f(x)= \inf_{x\i [x_{k-1}, x_k)}c f(x)\\ \\ b)\,\, c\cdot\sup_{x\in [x_{k-1}, x_{k})} f(x)= \sup_{x\i [x_{k-1}, x_k)}c f(x)

 

Costruiamo la differenza tra la somma superiore e la somma inferiore riferita alla funzione c\cdot f(x)


\begin{align*}S(c f,\sigma)&-s(cf, \sigma)=\\&= \sum_{k=1}^{n}\sup_{x\in [x_{k-1},x_{k})}\left[c f(x)\right] (x_k-x_{k-1})-\sum_{k=1}^{n}\inf_{x\in [x_{k-1},x_k)}\left[c f(x)\right] (x_k-x_{k-1})\\&= \sum_{k=1}^{n}\left[\sup_{x\in [x_{k-1},x_{k})} c f(x)-\inf_{x\in [x_{k-1}, x_k)}c f(x)\right] (x_{k}-x_{k-1})\\&=\sum_{k=1}^{n}c\left(\sup_{x\in [x_{k-1},x_{k})} f(x)-\inf_{x\in [x_{k-1}, x_{k})}f(x)\right) (x_k-x_{k-1})\\&= c\sum_{k=1}^{n}\left(\sup_{x\in [x_{k-1},x_{k})} f(x)-\inf_{x\in [x_{k-1}, x_{k})}f(x)\right) (x_k-x_{k-1})\\&= c(S(f,\sigma)-s(f, \sigma))\textless c\cdot \frac{\varepsilon}{c}= \varepsilon\end{align}

 

Viene quindi soddisfatta la condizione necessaria e sufficiente per l'integrabilità per la funzione cf(x). Ci rimane da dimostrare che vale la formula

 

\int_{a}^{b} c f(x)dx=c\int_{a}^{b} f(x)dx

 

Partiamo dal presupposto che

 

s(c f, \sigma)\le \int_{a}^{b}c f(x)dx\le S(cf, \sigma)

 

e che 

 

s(f, \sigma)\le \int_{a}^{b} f(x)dx\le S(f, \sigma)

 

Allora sussistono le seguenti disuguaglianze

 

\\ \int_{a}^{b} c f(x)dx-c\int f(x)dx \le S(c f, \sigma)- c s(f, \sigma)= c( S(f, \sigma)- s(f,\sigma))\textless \varepsilon\\ \\ \int_{a}^{b} c f(x)dx-c\int_{a}^{b} f(x)dx \ge c s( f, \sigma)-  S(c f, \sigma)= c( s(f, \sigma)- S(f,\sigma))\textgreater -\varepsilon

 

Pertanto:

 

\left|\int_{a}^{c} cf(x)dx-c\int_{a}^{b} f(x)dx\right|\textless \varepsilon

 

Dall'arbitrarietà di \varepsilon si ha la tesi. Le dimostrazioni dei casi rimanenti vengono lasciate per esercizio.

 

 


 

Osservazione (per i più esperti che stanno studiando o hanno studiato Algebra Lineare)

 

Osserviamo che i precedenti teoremi ci dicono qualcosa in più: essi stabiliscono che le funzioni integrabili secondo Riemann formano uno spazio vettoriale su \mathbb{R}.

 

In caso di dubbi o domande vi suggeriamo di usare la barra di ricerca interna: abbiamo trattato questo argomento in molte discussioni. :) 

 

 

Alla prossima!

Salvatore Zungri (Ifrit)

 

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