Funzione integrabile

Una funzione integrabile su un intervallo [a,b] è una funzione per cui esiste l'integrale definito sull'intervallo, ossia per cui l'integrale inferiore e l'integrale superiore sull'intervallo esistono finiti ed uguali.

 

Il passaggio successivo alla definizione di integrale definito è quello di determinare sotto quali condizioni una funzione è integrabile secondo Riemann. Qui di seguito analizzeremo la nozione di integrale definito e arriveremo a ricavare una condizione necessaria e sufficiente per l'integrabilità, ma prima cercheremo di capire quali insidie nasconde la definizione.

 

Per farlo vediamo come, a fronte di funzioni "cattive" che "saltellano troppo", la condizione su integrale superiore ed inferiore non venga rispettata. Per entrare nel dettaglio, cerchiamo di mettere in evidenza questo problema con un esempio.

 

Funzione che non è integrabile secondo Riemann 

 

Il primo esempio di funzione non integrabile è un classico, ed è dato dalla funzione di Dirichlet. Si tratta di una funzione definita in un intervallo chiuso e limitato [a,b]:

 

\chi(x)= \begin{cases}1&\mbox{ se }x\in [a,b]\cap\mathbb{Q}\\ 0&\mbox{ se }x\in [a,b]-\mathbb{Q} \end{cases}

 

Essa è limitata in [a,b] ed inoltre, per ogni decomposizione \sigma= \left\{x_0, x_1, \cdots, x_n\right\} dell'intervallo [a,b], con x_0=a, x_n= b, si ha che

 

\begin{cases}m_k= \inf_{x\in [x_{k-1}, x_k)}\chi(x)= 0\\ M_k= \sup_{x\in [x_{k-1}, x_k)}\chi(x)= 1\end{cases}\ \ \ \mbox{per }k=1,..., n

 

Le somme inferiori sono tutte zero mentre le somme superiori assumono il valore 1 indipendentemente dalla suddivisione scelta, infatti:

 

s(f,\sigma)&= \sum_{k=1}^{n}(x_{k}-x_{k-1})\overbrace{\inf_{[x_{k-1}, x_{k}]}\chi(x)}^{= 0}=0

 

similmente, per le somme superiori di Riemann, si ha che:

 

\begin{align*}S(f,\sigma)&= \sum_{k=1}^{n}(x_{k}-x_{k-1})\overbrace{\sup_{[x_{k-1}, x_{k}]}\chi(x)}^{= 1}\\ &=\sum_{k=1}^{n}(x_k-x_{k-1})\\ &= b-a\end{align}

 

dove l'ultimo passaggio si giustifica osservando la somma considerata è una somma telescopica in cui i gli addendi intermedi si elidono a vicenda:

 

\sum_{k= 1}^{n}(x_k-x_{k-1})=x_n-x_0= b-a

 

Sottolineamo ancora una volta che tali considerazioni non dipendono dalla decomposizione dell'intervallo [a,b], quindi l'estremo superiore delle somme inferiori e l'estremo inferiore delle somme superiori valgono rispettivamente:

 

 \inf_{\sigma} S(f, \sigma)=b-a\ne 0= \sup_{\sigma}s (f, \sigma)

 

ossia

 

I_+(f,[a,b])=b-a\ne 0=I_-(f,[a,b])

 

Poiché l'integrale superiore e l'integrale inferiore non coincidono, viene meno la definizione di funzione integrabile secondo Riemann. Siamo costretti ad affrontare la realtà dei fatti, non tutte le funzioni sono integrabili.

 

Condizione necessaria e sufficiente per l'integrabilità di funzioni limitate 

 

A questo punto dovrebbe nascere spontaneamente la domanda: "Quali sono le funzioni integrabili?" Dalla definizione, il primo teorema che ci viene in soccorso è il seguente, il quale esprime una condizione necessaria e sufficiente per l'integrabilità.

 

Teorema (condizione necessaria e sufficiente di funzione integrabile in un intervallo)

 

Sia [a,b]\subset\mathbb{R} un intervallo chiuso e limitato (1). Una funzione f:[a,b]\to \mathbb{R} limitata (2) è integrabile secondo Riemann se e solo se per ogni \varepsilon\,\,\textgreater 0 esiste una decomposizione \sigma dell'intervallo [a,b] tale che il valore assoluto della differenza tra le somme superiori e le somme inferiori è minore di \varepsilon:

 

S(f, \sigma)-s(f, \sigma)\textless \varepsilon

 

Dimostrazione


Iniziamo col dimostrare l'implicazione \Rightarrow, sotto le ipotesi (1) e (2).

 

Sia f integrabile secondo Riemann, allora in accordo con la definizione sappiamo che l'integrale superiore e l'integrale inferiore coincidono:

 

\inf_{\sigma} S(f, \sigma)= \sup_{\sigma}s(f,\sigma)

 

Fissiamo ora un numero reale positivo \varepsilon\textgreater 0. Per le definizioni di estremo inferiore e superiore esistono due decomposizioni dell'intervallo [a,b], chiamiamole \sigma', \sigma'', tali che:

 

\\ s(f, \sigma')\textgreater\,\,\sup_{\sigma}s(f, \sigma)-\frac{\varepsilon}{2}\\ \\ S(f, \sigma'')\textless\,\,\inf_{\sigma}S(f, \sigma)+\frac{\varepsilon}{2}

 

Costruiamo ora una decomposizione più fine (ossia più fitta):

 

\tilde{\sigma}= \sigma'\cup \sigma''

 

Per il lemma sulla disuguaglianza fondamentale delle somme di Riemann che abbiamo visto nella precedente lezione, risulta che

 

\sup_{\sigma}s(f, \sigma)-\frac{\varepsilon}{2}\textless s(f, \sigma')\le s(f, \tilde{\sigma})\le S(f,\tilde{\sigma})\le S(f,\sigma'' )\textless \inf_{\sigma} S(f, \sigma)+\frac{\varepsilon}{2}

  

Da questo segue che:

 

S(f, \tilde{\sigma})-s(f, \tilde{\sigma})\textless \inf_{\sigma}S(f, \sigma)+\frac{\varepsilon}{2}-\sup_{\sigma} s(f, \sigma)+\frac{\varepsilon}{2}

 

Per ipotesi la funzione è integrabile, per cui

 

\inf_{s}S(f, \sigma)= \sup_{s}s(f, \sigma)

 

e pertanto

 

S(f, \tilde{\sigma})-s(f, \tilde{\sigma})\textless \varepsilon

 

che è la tesi.

 

Procediamo con la dimostrazione dell'implicazione \Leftarrow, sempre sotto le ipotesi (1) e (2).

 

Fissato \varepsilon\textgreater 0 esiste, per ipotesi, una decomposizione \sigma' tale che

 

S(f,\sigma')-s(f, \sigma')\,\,\textless \varepsilon

 

Per definizione di estremo superiore e di estremo inferiore valgono le seguenti disuguaglianze:

 

s(f, \sigma')\textless \sup_{\sigma} s(f, \sigma)\mbox{ e } S(f, \sigma')\textgreater \inf_{\sigma} S(f, \sigma)

 

Si ha che:

 

0\le\inf_{\sigma}S(f, \sigma)- \sup_{\sigma}(f, \sigma) \le S(f, \sigma')-s(f, \sigma'')\textless\varepsilon

 

Attenzione: poiché

 

\inf_{\sigma}S(f, \sigma)- \sup_{\sigma}s(f, \sigma)

 

è un numero reale e non può dipendere da \varepsilon allora dobbiamo pretendere che esso sia zero:

 

\inf_{\sigma}S(f, \sigma)- \sup_{\sigma}s(f, \sigma)=0\iff\inf_{\sigma}S(f, \sigma)=\sup_{\sigma}s(f, \sigma)

 

Abbiamo terminato, perché abbiamo ricavato la condizione per l'esistenza dell'integrale definito secondo Riemann! :)

 

 


 

Sappiate che la condizione necessaria e sufficiente per le funzioni integrabili è poco pratica per la risoluzione degli esercizi, ma è il primo mattoncino che ci servirà a costruire le dimostrazioni che useremo in futuro.

 

Nella lezione successiva passeremo a risultati ben più operativi ed elencheremo le classi di funzioni integrabili, in modo da fissare le idee in un'ottica più pratica. Ad esempio ci soffermeremo sul rapporto tra integrabilità e continuità, ma non solo...

 

Per ora ci fermiamo qui per non appesantire troppo la lezione. Ci vediamo nelle prossime! La solita raccomandazione: se ci sono dubbi utilizzate la barra di ricerca interna, qui su YM abbiamo risposto a migliaia di domande. ;)

 

 

Alla prossima!

Salvatore Zungri (Ifrit)

 

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