Integrale definito secondo Riemann

L'integrale di Riemann, o integrale definito secondo Riemann o ancora integrale definito, è un operatore matematico che associa alle funzioni reali di variabile reale l'area sottesa al grafico su un intervallo a scelta, sotto opportune ipotesi.

 

Intorno alla fine del Settecento si è sentita la necessità di introdurre un nuovo metodo che consentisse il calcolo dell'area di superfici che non rientrassero nella categoria di figure note già dalla Geometria elementare. Riemann riusci nell'intento costruendo ad hoc un nuovo strumento, detto non a caso integrale definito secondo Riemann.

 

Niente paura: qui e nelle lezioni seguenti ci concentreremo sull'integrale definito di funzioni reali di una sola variabile reale (l'estensione al caso di più variabili è oggetto di studio in Analisi 2). Tenetevi forte, perché ad una prima lettura può sembrare tutto davvero molto difficile. Non scoraggiatevi! ;)

 

Premessa per l'integrale definito secondo Riemann

 

Dopo aver introdotto la nozione di partizione di un intervallo, entriamo nel vivo della questione e introduciamo un ulteriore concetto irrinunciabile per definire l'integrale definito: quello di decomposizione di un intervallo.

 

Sia [a,b]\subseteq\mathbb{R} un intervallo non degenere. Si definisce decomposizione dell'intervallo, e la indichiamo con \sigma, un qualsiasi insieme ordinato di n+1 punti distinti e tali che

 

a= x_0\textless x_1\textless\cdots\textless x_n= b

 

Tale decomposizione permette di determinare in modo univoco n sottointervalli di [a,b], che sono appunto [x_{k-1}, x_k]\mbox{ con }k=1,2,\cdots, n.

 

La decomposizione di un intervallo fornisce immediatamente una partizione dell'intervallo [a,b]. Definiamo partizione dell'intervallo rispetto alla decomposizione \sigma la collezione di insiemi:

 

P_{\sigma}= \left\{[x_0,x_1), [x_1, x_2), [x_2,x_3),\cdots, [x_{n-1}, x_n]\right\}

 

Identifichiamo il primo e l'ultimo punto della decomposizione rispettivamente con il primo e l'ultimo estremo dell'intervallo chiuso e limitato [a,b]

 

Osservazione (non unicità della decomposizione)

 

Uno stesso intervallo ammette infinite decomposizioni diverse e conseguentemente anche partizioni diverse.

 

Definizione di somme superiori e somme inferiori di Riemann

 

Procediamo verso la definizione di integrale definito di Riemann. Ci serve un ulteriore passo avanti: dobbiamo fornire la definizione di somme inferiori e somme superiori secondo Riemann.

 

Consideriamo una funzione limitata f:[a,b]\to \mathbb{R}, sia inoltre \sigma una decomposizione dell'intervallo [a,b]. Indichiamo inoltre con

 

m_k= \inf_{x\in [x_{k-1}, x_k)} f(x)

 

l'estremo inferiore della funzione f(x) nell'intervallo [x_{k-1},x_k), ossia l'estremo inferiore delle immagini di f(x) sull'intervallo [x_{k-1},x_k).

 

Con una logica analoga, denotiamo con

 

M_k= \sup_{x\in [x_{k-1},x_k)}f(x)

 

l'estremo superiore della funzione f(x) nell'intervallo [x_{k-1}, x_k), vale a dire l'estremo superiore delle immagini di f(x) sull'intervallo [x_{k-1},x_k).

 

A questo punto definiamo somma inferiore (di Riemann) della funzione f rispetto alla decomposizione \sigma:

 

s(f, \sigma)= \sum_{k=1}^{n}m_k (x_k-x_{k-1})

 

e definiamo somma superiore di Riemann della funzione f rispetto alla decomposizione \sigma:

 

S(f, \sigma)=\sum_{k=1}^{n}M_k (x_k-x_{k-1})

 

Non fatevi ingannare dal simbolo di sommatoria presente in entrambe le definizioni. A ben vedere stiamo semplicemente considerando una somma di aree di rettangoli, in cui moltiplichiamo altezza per base. Nella somma inferiore, su ogni sotto-intervallo, l'altezza è data dall'estremo inferiore della funzione sul sotto-intervallo; nella somma superiore, su ogni sotto-intervallo, l'altezza è data dall'estremo superiore della funzione sul sotto-intervallo

 

Proprietà di somme inferiori e somme superiori

 

Com'è lecito immaginarsi, al variare della decomposizione \sigma varieranno sia le somme inferiori che le somme superiori; ciononostante possiamo già enunciare una prima, ovvia proprietà che le caratterizza.

 

Per ogni decomposizione \sigma dell'intervallo [a,b] si ha che la somma inferiore è minore o al più uguale alla somme superiore:

 

s(f,\sigma)\le S(f, \sigma)

 

Questa disuguaglianza segue ovviamente dal fatto che m_k\le M_k\quad k=1,..., n. Oltre a questa prima disuguaglianza notevole, ne esiste un'altra che è necessaria per le dimostrazioni che seguiranno.

 

Lemma sulla disuguaglianza fondamentale delle somme di Riemann

 

Sia f:[a,b]\to \mathbb{R} una funzione limitata dalle costanti reali m\mbox{ ed }M, nell'intervallo di definizione. Allora per ogni coppia di decomposizioni \sigma_1, \sigma_2 dell'intervallo [a,b] si ha che:

 

 s(f, \sigma_1)\le S(f, \sigma_2)

 

In parole povere, quali che siano le decomposizioni considerate, una qualsiasi somma inferiore sarà sempre minore di una qualsiasi somma superiore.

 

Dimostrazione

 

Partendo da \sigma_1\mbox{ e }\sigma_2, costruiamo la nuova decomposizione dell'intervallo in questo modo:

 

\tau= \sigma_1\cup \sigma_2

 

\tau è la decomposizione che ha tutti i punti di \sigma_1 e \sigma_2. Per semplificarci la vita, possiamo supporre che le decomposizioni \sigma_{1} e \tau differiscano di un solo punto, cioè:

 

\\ \sigma_1=\left\{x_0, x_1,\cdots,x_{k-1}, x_{k},\cdots , x_{n-1},x_n\right\}\\ \\ \tau= \left\{x_{0}, x_1,\cdots, x_{k-1}, x_{\tau},x_{k},\cdots x_{n-1}, x_n \right\}

 

Sottolineamo che la decomposizione \tau possiede un punto in più rispetto alla decomposizione \sigma_1. Questo punto è stato indicato con x_{\tau} ed è tale che x_{\tau}\in (x_{k-1},x_k).

 

Costruiamo le somme inferiori di Riemann rispetto alla decomposizione \sigma_1

 

s(f, \sigma_1)= m_1(x_1-x_0)+...+ m_{k}(x_k-x_{k-1})+...+m_{n}(x_n-x_{n-1})

 

e rispetto alla decomposizione \tau

 

s(f, \tau)= m_1(x-x_0)+...+\overline{m_{\tau}}(x_{\tau}-x_{k-1})+\overline{\overline{m_{\tau}}}(x_{k}-x_{\tau})+...+m_{n}(x_n-x_{n-1})

 

dove

 

\\ \overline{m_{\tau}}= \inf_{x\in [x_{k-1},x_{\tau})} f(x)\\ \\ \overline{\overline{m_{\tau}}}= \inf_{x\in [x_{\tau}, x_{k})} f(x)

 

Consideriamo ora la differenza s(f, \tau)-s(f, \sigma_1). I termini opposti si elidono, per cui ci rimane la quantità:

 

s(f, \tau)-s(f, \sigma_1)= \overline{m_{\tau}}(x_{\tau}- x_{k-1})+\overline{\overline{m_{\tau}}}(x_k-x_{\tau})- m_{k}(x_{k}-x_{k-1})

 

Osserviamo che, per le proprietà dell'estremo inferiore, \overline{m_{\tau}}\mbox{ e }\overline{\overline{m_{\tau}}} sono numeri reali maggiori o al più uguali di m_k, e per questo motivo potremo scrivere

 

\begin{align*}s(f, \tau)-s(f, \sigma_1)&= \overline{m_{\tau}}(x_{\tau}- x_{k-1})+\overline{\overline{m_{\tau}}}(x_k-x_{\tau})- m_{k}(x_{k}-x_{k-1})\ge \\ \\ &\ge m_k(x_{\tau}-x_{k-1}+x_k-x_{\tau}-x_{k}+x_{k-1})=0 \end{align}

 

cioè:

 

s(f, \tau)-s(f, \sigma_1)\ge 0\implies s(f, \tau)\ge s(f, \sigma_1)

 

Aumentando il numero di punti, si arriva sempre alla stessa conclusione, cioè:

 

s(f, \sigma_1)\le s(f, \tau)

 

Utilizzando lo stesso procedimento (che vi invitiamo a costruire) potremo asserire che:

 

S(f, \tau)\le S(f, \sigma_2)

 

Per raggiungere la tesi è sufficiente ricordare che s(f, \tau)\le S(f, \tau) così da poter scrivere la disuguaglianza:

 

s(f, \sigma_1)\le s(f, \tau)\le S(f, \tau)\le S(f, \sigma_2)

 

che è la tesi, finalmente!

 

Integrale inferiore e superiore

 

Adesso la questione diventa delicata, ma anche molto affasciante: diamo le definizioni di integrale superiore e di integrale inferiore.

 

Si definisce integrale inferiore associato alla funzione f sull'intervallo [a,b] il numero reale:

 

I_{-}(f, [a,b])= \sup_{\sigma} s(f, \sigma)

 

è quindi l'estremo superiore delle somme inferiori associati alla funzione f.

 

In modo del tutto analogo si definisce invece integrale superiore associato alla funzione f sull'intervallo [a,b], il numero reale

 

I_{+}(f, [a,b])= \inf_{\sigma}S(f, \sigma)

 

cioè è l'estremo inferiore delle somme superiori associati alla funzione f.

 

In pratica abbiamo definito l'integrale inferiore mediante "la più grande" somma inferiore, e l'integrale superiore grazie alla "più piccola" somma superiore. Grazie al teorema sulla disuguaglianza delle somme di Riemann che abbiamo visto in precedenza, possiamo asserire che:

 

I_{-}(f, [a,b])\le I_{+}(f, [a,b])

 

In generale l'uguaglianza tra i due numeri reali I_-,I_+ non è per nulla scontata né tantomeno assicurata. Il punto è che l'eventuale coincidenza tra integrale inferiore ed integrale superiore ci permette di arrivare al nocciolo della questione: la definizione di integrale definito.

 

Funzione integrabile secondo Riemann e integrale definito

 

Sia [a,b] un intervallo chiuso e limitato ed f:[a,b]\to \mathbb{R} una funzione limitata. Diremo che essa è integrabile in [a,b] se e solo se risulta che l'integrale superiore e l'integrale inferiore coincidono, ossia:

 

I_{-}(f, [a,b])=I_{+}(f, [a,b])

 

Solo e solamente in questo caso potremo definire il concetto di integrale definito: chiamiamo integrale definito della funzione f sull'intervallo [a,b] il numero reale:

 

\int_{a}^{b}f(x)dx=\sup_{\sigma} s(f, \sigma)= \inf_{\sigma}S(f, \sigma)

 

L'insieme delle funzioni integrabili viene indicato solitamente con \mathcal{R}(a,b):

 

\mathcal{R}(a,b)= \left\{f:[a,b]\to \mathbb{R}| f\mbox{ integrabile in }[a,b] \right\}

 

Osservazione (simbolo dell'integrale definito)

 

La scelta del simbolo \int non è casuale: è una S allungata che sta per Summa, cioè somma, ed è quello che in realtà facciamo.

 

 


 

Se state affrontando gli integrali definiti per la prima volta, a questo punto potreste essere un po' frastornati; abbiate fiducia, come vi abbiamo promesso si tratta di concetti a digestione posticipata. ;) Dall'interpretazione geometrica dell'integrale vedremo che Riemann ha sostanzialmente sommato l'area di rettangoli di base "infinitesima" dx, così da poter ottenere l'area del cosiddetto "trapezoide".

 

Per ora ci fermiamo qui. Nelle prossime lezioni impareremo a riconoscere le funzioni integrabili da quelle che non lo sono e ci addentreremo ancora di più nel meraviglioso mondo della teoria dell'integrazione, studiando nel dettaglio come avviene il calcolo esplicito di un integrale definito.

 

Quelli di voi che hanno letto per ripassare, invece, possono buttarsi subito a bomba tra gli esercizi svolti sugli integrali definiti ed eventualmente giochicchiare un po' con il tool per gli integrali definiti online. ;)

 

 

Ci vediamo presto!

Salvatore Zungri (Ifrit)

 

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