Formule di riduzione per gli integrali

Le formule di riduzione per gli integrali sono formule che consentono di calcolare integrali con integrande date da prodotti, della forma potenza di x per esponenziale, potenza di x per logaritmo, potenze di seno e coseno e potenze di x per seno o coseno.

 

Nelle applicazioni ingegneristiche e fisiche intervengono spesso integrali il cui calcolo è poco agevole data la mole di passaggi. Per ovviare a questo inconveniente è stato necessario introdurre quelle che vengono chiamate formule di riduzione. In sostanza, sono degli integrali fondamentali espressi in forma ricorsiva.

 

Probabilmente vi starete chiedendo cosa significa e per questo motivo prima di vedere le varie formule daremo una definizione intuitiva per questo genere di integrali.

 

Nota bene: le formule di riduzione vengono usate raramente nel calcolo degli integrali. Abbiamo convenuto di presentarle come seconda tecnica di calcolo perché esse consistono in formule che richiedono la sola applicazione del metodo di integrazione per parti, anche se probabilmente non vi capiterà mai di doverle usare. A voi la scelta di studiarle o meno. ;)

 

Integrali ricorsivi da calcolare con le formule di riduzione

 

Supponiamo di avere una famiglia di funzioni integrabili f_n(x) dipendente da un parametro naturale n\in\mathbb{N}, diremo che

 

I_{n}= \int f_n(x)dx

 

è un integrale ricorsivo se è esprimibile in termini di un integrale del tipo

 

I_k= \int f_{k}(x)dx\ \ \ \mbox{dove }k<n

 

Per determinare questo tipo di relazioni si fa molto spesso uso della formula di integrazione per parti, scegliendo in modo opportuno il fattore finito e il fattore differenziale. In questa lezione riporteremo gli integrali più famosi, ma sappiate che ne esistono moltissimi altri.

 

Formula di riduzione potenza-esponenziale

 

Grazie alla formula di integrazione per parti si dimostra che per ogni numero naturale n\ge 1:

 

 \int x^{n}e^xdx=x^n e^{x}-n\int x^{n-1}e^{x}dx

 

 

Notate che la dimostrazione consiste in un semplice passaggio: basta applicare il metodo di integrazione per parti scegliendo come fattore finito x^n e come fattore differenziale e^x

 

f(x)=x^n\ \ \ ;\ \ \ g'(x)=e^x

 

da cui è immediato ricavare f'(x),\ g(x) (derivate fondamentali e integrali notevoli)

 

f'(x)=nx^{n-1}\ \ \ ;\ \ \ g(x)=e^x

 

e quindi

 

 \int x^{n}e^xdx=x^n e^{x}-n\int x^{n-1}e^{x}dx

 

Da qui si intuisce immediatamente che l'integrale proposto è ricorsivo, infatti possiamo scrivere la formula di riduzione come

 

I_n=x^ne^x-nI_{n-1}

 

Reiterando il procedimento è possibile determinare la famiglia di primitive della funzione integranda.

 

Per completezza: forma chiusa per potenza-logaritmo

 

Quella che vediamo adesso non è propriamente una formula di riduzione per come le abbiamo definite in precedenza. Ciononostante la vediamo ugualmente perché presenta una struttura simile agli integrali del tipo potenza di x per esponenziale; si tratta di una cosiddetta forma chiusa di un integrale del tipo potenza di x per logaritmo.

 

\int x^{n}\ln(x)dx= \frac{x^{n+1} \left((n+1)\ln(x)-1\right)}{(n+1)^2}+c

 

 

In questo caso è evidente che l'integrale dipende dal solo parametro n e che non viene espresso in termini ricorsivi.

 

Per ricavare la precedente formula procediamo per parti scegliendo come fattore finito:

 

f(x)= \ln(x)\implies f'(x)= \frac{1}{x}

 

e come fattore differenziale

 

g'(x)= x^{n}\implies g(x)= \frac{x^{n+1}}{n+1}\quad\forall n\ge 0

 

Grazie alla formula di integrazione per parti:

 

\int x^n \ln(x)dx= \frac{x^{n+1}}{n+1}\ln(x)-\int \frac{1}{x}\cdot \frac{x^{n+1}}{n+1}dx

 

semplifichiamo in modo opportuno:

 

\int x^{n}\ln(x)dx= \frac{x^{n+1}}{n+1}\ln(x)- \frac{1}{n+1}\int x^{n}dx

 

Quel che resta è un semplice integrale di una potenza, per cui

 

\int x^{n}\ln(x)dx= \frac{x^{n+1}}{n+1}\ln(x)- \frac{1}{(n+1)^2} x^{n+1}+c 

 

Effettuiamo qualche passaggio di natura cosmetica:

 

\int x^{n}\ln(x)dx= \frac{x^{n+1}((n+1)\ln(x)-1) }{(n+1)^2}+c

 

Formula di riduzione per le potenze del seno e del coseno

 

Passiamo alle formule di riduzione per funzioni trigonometriche, ed in particolare per integrali in cui compaiono seno e coseno. Esse possono presentarsi in diverse forme a seconda del tipo di integranda, ed il primo tipo che consideriamo è quello degli integrali di potenze del seno o del coseno.

 

Fissato n\ge 2 valgono le relazioni:

 

\begin{align*}\int \sin^n(x)dx&= -\frac{\cos(x)\sin^{n-1}(x)}{n}+\frac{n-1}{n}\int \sin^{n-2}(x)dx\\ \\ \int \cos^n(x)dx&=\frac{\sin(x)\cos^{n-1}(x)}{n}+\frac{n-1}{n}\int\cos^{n-2}(x)dx\end{align}

 

 

Dimostreremo solo la 1), dal momento che la 2) richiede un ragionamento del tutto analogo.

 

Dobbiamo procedere utilizzando la formula di integrazione per parti, due volte. Per non appesantire troppo la dimostrazione poniamo:

 

I_n= \int \sin^n(x)dx

 

La funzione integranda può essere scritta come:

 

\sin^{n}(x)= \sin^{n-1}(x) \sin(x)\quad\forall n\ge 1

 

Inneschiamo il metodo di integrazione per parti, scegliendo come fattore finito

 

f(x)= \sin^{n-1}(x)\implies f'(x)= (n-1)\sin^{n-2}(x)\cos(x)

 

e come fattore differenziale

 

g'(x)= \sin(x)\implies g(x)= -\cos(x)

 

Pertanto si ha che:

 

I_n= \int \sin^{n}(x)dx=-\cos(x)\sin^{n-1}(x)- (n-1)\int -\sin^{n-2}(x)\cos^2(x)dx

 

Grazie alla relazione fondamentale della trigonometria, possiamo esprimere il quadrato del coseno in funzione del quadrato del seno:

 

I_n=-\cos(x)\sin^{n-1}(x)+ (n-1)\int \sin^{n-2}(x)(1-\sin^2(x))dx

 

Effettuiamo i conti:

 

I_n=-\cos(x)\sin^{n-1}(x)+ (n-1)\int \sin^{n-2}(x)-\sin^n(x)dx

 

Interviene ora la linearità dell'operatore integrale:

 

I_{n}= -\cos(x)\sin^{n-1}(x)+(n-1)\overbrace{\int \sin^{n-2}(x)dx}^{= I_{n-2}}-(n-1)\overbrace{\int \sin^{n}(x)dx}^{= I_n}

 

Portiamo al primo membro -(n-1)I_n

 

I_n+(n-1)I_n&=-\cos(x)\sin^{n-1}(x)+ (n-1)I_{n-2}

 

Portiamo a termine le operazioni al primo membro ed elidiamo i termini opposti, arriveremo a scrivere che:

 

n I_n= -\cos(x)\sin^{n-1}(x)+(n-1)I_{n-2}

 

Dividendo membro a membro per n diverso da zero:

 

 I_n= -\frac{\cos(x)\sin^{n-1}(x)}{n}+\frac{(n-1)}{n}I_{n-2}

 

ossia

 

\int\sin^{n}(x)dx= -\frac{\cos(x)\sin^{n-1}(x)}{n}+\frac{n-1}{n}\int\sin^{n-2}(x)dx

 

Che è quello che volevamo dimostrare.

 

Formula di riduzione per il prodotto di potenze di seno e coseno

 

Alziamo l'asticella e passiamo al caso delle formule di riduzione per integrali con il prodotto di potenze del seno e del coseno. Siano n,m\in\mathbb{N}_{\textgreater 0}:

 

\int \sin^n (x)\cos^m(x)dx=\begin{cases}\displaystyle-\frac{\sin^{n-1}(x)\cos^{m+1}(x)}{m+n}+\frac{n-1}{m+n}\int \sin^{n-2}(x)\cos^{m}(x)dx\\ \\ \displaystyle \frac{\sin^{n+1}(x)\cos^{m-1}(x)}{m+n}+\frac{m-1}{m+n}\int \sin^{n}(x)\cos^{m-2}(x)dx\end{cases}

 

 

In questa sede dimostreremo solo la prima formula, la seconda sarà lasciata come esercizio. ;)

 

Iniziamo usando la definizione di potenza

 

\sin^n(x)= \sin^{n-1}(x)\sin(x)

 

così da esprimere l'integrale come

 

\int \sin^{n-1}(x)\cos^{m}(x)\sin(x)dx

 

Come al solito procediamo per parti. Qui scegliamo come fattore finito:

 

f(x)=\sin^{n-1}(x)\cos^{m}(x)

 

derivando rispetto ad x ed utilizzando la regola di derivazione del prodotto:

 

f'(x)&= (n-1)\sin^{n-2}(x)\cos^{m+1}(x)-m\sin^n(x)\cos^{m-1}(x)

 

Per fattore differenziale prenderemo invece:

 

g'(x)= \sin(x)\implies g(x)= -\cos(x)

 

Arriveremo a scrivere che:

 

\\ \int \sin^n (x)\cos^m(x)dx= -\sin^{n-1}(x)\cos^{m+1}(x)+\\ \\ +\int \left[(n-1)\cos^{m+1}(x)\sin^{n-2}(x)-m\cos^{m-1}(x)\sin^{n}(x)\right]\cos(x)dx

 

Effettuando le moltiplicazioni così da eliminare le parentesi:

 

= -\sin^{n-1}(x)\cos^{m+1}(x)+\int (n-1)\cos^{m+2}(x)\sin^{n-2}(x)-m\cos^{m}(x)\sin^{n}(x)dx

 

Sfruttiamo la linearità dell'operatore integrale:

 

\\ \int \sin^{n}(x)\cos^{m}(x)dx=\\ \\ =-\sin^{n-1}(x)\cos^{m+1}(x)+(n-1)\int\cos^{m+2}(x)\sin^{n-2}(x)dx-m\int\cos^{m}(x)\sin^{n}(x)dx

 

Osserviamo che l'ultimo integrale coincide con quello di partenza, per cui possiamo portarlo al primo membro ma a patto di prestare attenzione ai segni:

 

\\ (m+1)\int \sin^{n}(x)\cos^{m}(x)dx=\\ \\ =-\sin^{n-1}(x)\cos^{m+1}(x)+(n-1)\int\cos^{m+2}(x)\sin^{n-2}(x)dx

 

Grazie alla proprietà delle potenze e alle formule inverse della relazione fondamentale della trigonometria:

 

\\ \int \cos^{m+2}(x)\sin^{n-2}(x)dx= \int \cos^{m}\cos^{2}(x)\sin^{n-2}(x)dx=\\ \\ =\int \cos^{m}(x)(1-\sin^{2}(x))\sin^{n-2}(x)dx= \int \cos^{m}(x)\sin^{n-2}(x)-\cos^{m}(x)\sin^{n}(x)dx

 

e per la linearità dell'integrale

 

\\ \int \cos^{m}(x)\sin^{n-2}(x)-\cos^{m}(x)\sin^{n}(x)dx=\\ \\ = \int\cos^{m}(x)\sin^{n-2}(x)dx-\int \cos^{m}(x)\sin^{n}(x)dx

 

di conseguenza

 

\\ (n-1)\int \cos^{m}(x)\sin^{n-2}(x)-\cos^{m}(x)\sin^{n}(x)dx=\\ \\= (n-1)\int\cos^{m}(x)\sin^{n-2}(x)dx-(n-1)\int \cos^{m}(x)\sin^{n}(x)dx

 

Sostituendo tale espressione nell'integrale:

 

\\ (m+1)\int \sin^{n}(x)\cos^{m}(x)dx=\\ \\ = -\sin^{n-1}(x)\cos^{m+1}(x)+(n-1)\int\cos^{m}(x)\sin^{n-2}(x)dx-(n-1)\int \cos^{m}(x)\sin^{n}(x)dx

 

Portiamo al primo membro l'ultimo integrale porgendo attenzione ai segni:

 

\\ (m+1+n-1)\int \sin^{n}(x)\cos^{m}(x)dx=\\ \\ = -\sin^{n-1}(x)\cos^{m+1}(x)+(n-1)\int\cos^{m}(x)\sin^{n-2}(x)dx

 

Elidendo i termini opposti nella parentesi del primo membro:

 

(m+n)\int \sin^{n}(x)\cos^{m}(x)dx=-\sin^{n-1}(x)\cos^{m+1}(x)+(n-1)\int\cos^{m}(x)\sin^{n-2}(x)dx

 

Dividendo membro a membro per m+n:

 

\int \sin^{n}(x)\cos^{m}(x)dx=-\frac{\sin^{n-1}(x)\cos^{m+1}(x)}{m+n}+\frac{n-1}{n+m}\int\cos^{m}(x)\sin^{n-2}(x)dx

 

che è quel che volevamo dimostrare. L'altra espressione si ottiene nel modo del tutto analogo. 

 

Formule di riduzione per potenze-seno/coseno

 

Per concludere la lezione vi proponiamo altre formule di riduzione ricorsiva, lasciando a voi l'onere di dimostrarle.

 

Fissato n\in\mathbb{N},n\ge 2, valgono le seguenti relazioni ricorsive:

 

Formula ricorsiva per potenza - seno

 

\int x^n \sin(x)dx= -x^n \cos(x)+ n x^{n-1}\sin(x)- n(n-1)\int x^{n-2}\sin(x)dx

 

Formula ricorsiva per potenza - coseno

 

\int x^{n}\cos(x)dx= x^n \sin(x)+n x^{n-1}\cos(x)-n(n-1)\int x^{n-2}\cos(x)dx

 

 


 

Anche questa lezione è giunta al termine. Se volete allenarvi vi consigliamo di usare la barra di ricerca interna, grazie alla quale potrete accedere a migliaia e migliaia di esercizi svolti e spiegati nel dettaglio. Se invece siete in dubbio sui risultati di alcuni esercizi che avete svolto, vi suggeriamo di ricorrere al tool per gli integrali online.

 

 

Alla prossima!

Salvatore Zungri (Ifrit)

 

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