Sostituzioni iperboliche negli integrali

Continuiamo a parlare di particolari tipologie di integrali e dei metodi di risoluzione consigliati. In questa lezione vedremo quali integrali possono essere calcolati mediante sostituzioni iperboliche, nella fattispecie quelli in cui compaiono funzioni irrazionali della forma:

 

\\ 1)\,\,\sqrt{x^2+a^2}\\ \\ 2)\,\,\sqrt{x^2-a^2}\\ \\ 3) \,\, \sqrt{a x^2+ bx + c}\mbox{ con }a\,\,\textgreater 0

 

Gli integrali con integrande che presentano funzioni di questo tipo non dovrebbero costituire una novità per noi; sappiamo infatti che le tipologie 1) e 2) possono essere calcolati mediante sostituzioni trigonometriche, mentre la tipologia 3) trova ampio riscontro nel metodo delle sostituzioni di Eulero.

 

Nonostante ciò è utile ed istruttivo imparare un ulteriore metodo di integrazione per sostituzione perfetto per lo scopo: quello che si basa sulle sostituzioni iperboliche, che ci permettono di risparmiare un bel po' di calcoli. 

 

Preambolo: proprietà fondamentale delle funzioni iperboliche

 

Per ogni x\in\mathbb{R} sussiste la relazione tra seno iperbolico e coseno iperbolico

 

 \cosh^2(x)-\sinh^2(x)= 1

 

Da essa discende immediatamente che:

 

\cosh(x)= \sqrt{1+\sinh^2(x)}\quad\forall x\in \mathbb{R}

 

e

 

\left|\sinh(x)\right|=\sqrt{\cosh^2(x)-1}\quad\forall x\in\mathbb{R}

 

o equivalentemente, per definizione di valore assoluto

 

\sinh(x)=\begin{cases}-\sqrt{\cosh^2(x)-1}&\mbox{ se }x\le 0\\ \\\sqrt{\cosh^2(x)-1}&\mbox{ se }x\textgreater 0\end{cases}

 

Si noti in particolare che il seno iperbolico richiede il valore assoluto perché ha segno variabile, mentre il coseno iperbolico è per definizione positivo.

 

Assodate queste semplici relazioni, molto simili a quelle trigonometriche, passiamo a definire le funzioni iperboliche inverse, le quali ricoprono un ruolo sostanziale nella esposizione del metodo di integrazione che stiamo per trattare.

 

Si definisce settore seno iperbolico o arcoseno iperbolico di x la funzione:

 

\mbox{sett sinh}(x)=\mbox{arcsinh}(x)= \ln\left(x+\sqrt{x^2+1}\right)\quad\forall x\in\mathbb{R}

 

ed è la funzione inversa della funzione seno iperbolico.

 

Si definisce invece settore coseno iperbolico, o arcocoseno iperbolico di x la funzione:

 

\mbox{sett cosh}(x)= \mbox{arccosh}(x)= \ln\left(x+\sqrt{x^2-1}\right)\quad\forall x\ge 1

 

ed è la funzione inversa della funzione coseno iperbolico.

 

Ok, dopo questo veloce preambolo, possiamo finalmente parlare delle sostituzioni da utilizzare. :)

 

Sostituzioni iperboliche per gli integrali del primo tipo

 

Se l'integrale si presenta nella forma 1), vale a dire che ha un'integranda in cui compare un termine della forma \sqrt{x^2+a^2}:

 

\int R(x, \sqrt{x^2+a^2})dx

 

e dove R è una funzione razionale mentre a è una costante reale positiva, allora porremmo:

 

x = a \sinh(t)\quad\forall t\in \mathbb{R}

 

Il nuovo differenziale si otterrà derivando membro a membro per la relativa variabile. Basta ricordare che la derivata del seno iperbolico è proprio il coseno iperbolico (derivate notevoli)

 

dx= a \cosh(t)dt

 

La sostituzione scelta non è per nulla casuale: essa infatti ci permette di sfruttare l'identità fondamentale delle funzioni iperboliche e di riscrivere il termine \sqrt{x^2+a^2}

 

\begin{align*}\sqrt{x^2+ a^2}&= \sqrt{a^2\sinh^2(t)+a^2}\\ \\ &= \sqrt{a^2(\sinh^2(t)+1)}\\ \\ &= a\cosh(t)\end{align}

 

Sostituendo infine il termine irrazionale ed il relativo differenziale si passa ad un integrale molto più semplice da calcolare, in cui in genere riusciamo a scrivere la famiglia di primitive della funzione integranda ricorrendo alla tabella degli integrali notevoli.

 

 

Esempio

 

Consideriamo l'integrale con integranda irrazionale a denominatore di una frazione, e radicando dato da x^2+4

 

\int \frac{1}{\sqrt{x^2+ 4}}dx

 

Effettuiamo una sostituzione iperbolica del primo tipo

 

x= 2 \sinh(t)\quad\forall t\in\mathbb{R}

 

e calcoliamo il relativo differenziale

 

dx = 2\cosh(t)dt

 

L'integrale diventa:

 

\int \frac{1}{\sqrt{4 \sinh^2 (t)+4}}\cdot2\cosh(t)dt=  \int \frac{2\cosh(t)}{2\cosh(t)}dt

 

per cui, con una banale semplificazione, passiamo a

 

\int 1 dt= t+c

 

Dalla sostituzione effettuata possiamo esprimere t in funzione della variabile x, e per farlo dovremo affidarci alla definizione di settore seno iperbolico

 

x= 2\sinh(t)\implies \sinh(t)= \frac{x}{2}\implies t= \mbox{arcsinh}\left(\frac{x}{2}\right)

 

Concludiamo così che

 

\int \frac{1}{\sqrt{x^2+4}}dx= \mbox{arcsinh}\left(\frac{x}{2}\right)+c=\ln\left(\frac{x}{2}+\sqrt{\frac{x^2}{4}+1}\right)+c 

 

Integrale notevole corrispondente alle sostituzioni iperboliche

 

Una famiglia che ricorre spesso nella risoluzione degli integrali è:

 

\int \frac{1}{\sqrt{x^2+a^2}}dx= \ln(x+\sqrt{a^2+x^2})+c= \mbox{arcsinh}\left(\frac{x}{a}\right)+k

 

dove a\textgreater 0\mbox{ e }k= c +\ln(a). La formula risolutiva si ottiene proprio generalizzando il procedimento seguito nell'esempio precedente, e poiché ricorre spesso nelle applicazioni, viene talvolta data per buona.

 

Osservazione: notiamo che in realtà

 

\ln(x+\sqrt{a^2+x^2})\ne \mbox{arcsinh}\left(\frac{x}{a}\right)

 

sono in generale due funzioni diverse che differiscono per una costante additiva. Si può dimostrare agevolmente che:

 

\ln(x+\sqrt{a^2+x^2})-\mbox{arcsinh}\left(\frac{x}{a}\right)= \ln(a)\quad\forall a\textgreater 0

 

Non dobbiamo quindi meravigliarci se entrambi sono primitive della funzione integranda \frac{1}{\sqrt{x^2+a^2}}.

 

Sostituzioni iperboliche negli integrali del secondo tipo

 

Ci proponiamo ora di determinare il metodo risolutivo per gli integrali in cui la funzione integranda presenta nella propria espressione analitica il termine \sqrt{x^2-a^2}

 

\int R(x, \sqrt{x^2-a^2})dx

 

In tal caso faremo intervenire le sostituzioni iperboliche del secondo tipo:

 

x= a \cosh(t)\qquad t\ge 0

 

Il differenziale in t si calcola come di consueto derivando i due membri rispetto alle corrispondenti variabili

 

dx= a\sinh(t)dt

 

Se avete compreso la logica delle sostituzioni iperboliche del primo tipo allora avrete già intuito che la relazione fondamentale delle funzioni iperboliche ci consente di riscrivere il termine \sqrt{x^2-a^2}:

 

\begin{align*}\sqrt{x^2-a^2}&= \sqrt{a^2 \cosh^2(t)- a^2}\\ \\ &= \sqrt{a^2(\cosh^2(t)-1)}\\ \\ &= a\sinh(t)\quad\mbox{ con } t\textgreater 0\end{align}

 

 

Esempio

 

Vogliamo calcolare il seguente integrale

 

\int \frac{1}{\sqrt{x^2-a^2}}dx\mbox{ con }a\textgreater 0

 

Poniamo

 

x= a\cosh(t)\implies dx= a\sinh(t)dt

 

cosicché l'integrale diventa:

 

\int \frac{1}{\sqrt{x^2-a^2}}dx= \int \frac{1}{a\sinh(t)}\cdot a\sinh(t)dt

 

sSemplificando in modo opportuno otteniamo:

 

\int 1dt= t+c

 

Esprimiamo t in funzione di x invertendo la funzione coseno iperbolico:

 

x = a \cosh(t)\implies t= \mbox{arccosh}\left(\frac{x}{a}\right) 

 

e in conclusione:

 

\begin{align*}\int \frac{1}{\sqrt{x^2-a^2}}dx&= \mbox{arccosh}\left(\frac{x}{a}\right)+c\\ \\ &=\ln\left(\frac{x}{a}+\sqrt{\frac{x^2}{a^2}-1}\right)+c\\ \\ &= \ln(x+\sqrt{x^2-a^2})+k\end{align}

 

dove k= \ln(a)+c.

 

Sostituzioni iperboliche negli integrali del terzo tipo

 

Quando nella funzione integranda compare una radice con un trinomio di secondo grado in x possiamo tranquillamente ricondurci al primo o al secondo caso, infatti è sufficiente osservare che per a\textgreater 0

 

a x^2+b x+c= a\left(x+\frac{b}{2a}\right)^2-\frac{\Delta}{4a} 

 

In realtà non dobbiamo conoscere a memoria questa formula, poiché è sufficiente completare il quadrato aggiungendo e sottraendo le quantità che ci servono.

 

Tramite la sostituzione

 

u= x +\frac{b}{2a}

 

potremo infine ricondurci ad uno dei casi già studiati in precedenza.

 

 

Esempio

 

Vediamo un integrale in cui conviene procedere per completamento del quadrato

 

\int \frac{1}{\sqrt{x^2+4 x+1}}dx

 

Completiamo il quadrato nella radice:

 

\begin{align*}x^2+4x+1 &= x^2+4x+4-4+1\\ \\ &= (x+2)^2-3\end{align}

 

L'integrale si scriverà come:

 

\int \frac{1}{\sqrt{(x+2)^2-3}}dx

 

Poniamo quindi u= x+2\implies du= dx

 

\int \frac{1}{\sqrt{u^2-3}}du

 

e ritorniamo al caso 2). Con le dovute sostituzioni giungeremo all'espressione della famiglia di primitive richiesta. :)

 

 


 

Come sempre ragazze e ragazzi ricordatevi che nel calcolo degli integrali non c'è in generale una strada migliore rispetto alle altre. Starà a voi e alla vostra furbizia scegliere il metodo che, di volta in volta, vi permetta di ridurre i calcoli il più possibile.

 

Che dire di più? Se avete bisogno di esercizi svolti e ulteriori spiegazioni potete usare la barra di ricerca interna YM, abbiamo un sacco di esercizi interamente risolti. Ricordatevi la regola d'oro: fare pratica e in caso di necessità verificare i risultati dei vostri esercizi mediante il tool per gli integrali online. ;)

 

 

A presto!

Salvatore Zungri (Ifrit)

 

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