Sostituzioni di Eulero

Le sostituzioni di Eulero sono tecniche di calcolo di un particolare tipo di integrali, caratterizzati dalla presenza di un'integranda fratta in cui compare la radice di un polinomio di secondo grado.

 

In casi del genere disponiamo di un metodo di calcolo ben preciso che va sotto il nome di sostituzioni di Eulero. Tale denominazione fu introdotta in onore del matematico ed astronomo Johann Euler, il primo ad introdurre il metodo di calcolo che ci apprestiamo ad esporre.

 

Nota bene: la lezione si rivolge solamente agli studenti universitari.

 

Famiglia di integrali da calcolare con le sostituzioni di Eulero

 

Questa lezione è dedicata alla risoluzione di integrali del tipo:

 

\int R(x, \sqrt{a x^2+ b x+c})dx

 

dove R è una funzione razionale ed a\ne 0,\ b,\ c sono costanti reali. L'obiettivo che sta dietro all'utilizzo delle sostituzioni di Eulero è lo stesso che abbiamo inseguito nelle precedenti lezioni: trasformare gli integrali irrazionali in integrali razionali, così da appoggiarci al metodo dei fratti semplici.

 

Possiamo distinguere tre casi che additeremo come prima, seconda e terza sostituzione di Eulero.

 

Prima sostituzione di Eulero

 

Nel caso in cui il coefficiente a sia positivo nell'integrale

 

\int R(x, \sqrt{a x^2+ b x+c})dx\ \ \ \mbox{con }a>0

 

useremo la prima sostituzione di Eulero

 

\sqrt{a x^2 + bx + c}= \pm \sqrt{a}x+t

 

e nel farlo sceglieremo uno dei segni arbitrariamente, tanto non cambierà nulla. Procederemo secondo i seguenti passi e senza ledere in generalità scegliamo di lavorare con il segno +.

 

Una raccomandazione: limitatevi a ricordare l'espressione della sostituzione e a comprendere la logica del metodo. Le restanti formule non vanno assolutamente ricordate perché sarete tranquillamente in grado di ricavarle in corso d'opera. ;)

 

1) Per cominciare dobbiamo esprimere la variabile x in funzione di t, in accordo con il metodo di integrazione per sostituzione. A tal proposito eleviamo membro a membro al quadrato, così da eliminare la radice:

 

a x^2+b x+ c= (\sqrt{a}x+t)^2

 

Sviluppiamo il quadrato del binomio

 

ax^2 +bx +c = a x^2+ 2\sqrt{a} t x+t^2

 

Portiamo al primo membro i termini con la variabile x e tutti gli altri al secondo membro:

 

(b-2\sqrt{a}t)x&=t^2-c

 

e dividendo membro a membro, otteniamo

 

x=\frac{t^2-c}{b-2\sqrt{a}t}\ \ \ (\bullet)

 

Così facendo siamo in condizione da un lato di esprimere il termine irrazionale in funzione della sola variabile t

 

\sqrt{a x^2 + bx + c}= \pm \sqrt{a}\frac{t^2-c}{b-2\sqrt{a}t}+t

 

e dall'altro di calcolare il differenziale di entrambi i membri in (\bullet). In particolare a destra dell'uguale dovremo ricorrere alla regola di derivazione del rapporto di funzioni.

 

dx=\frac{2(b t-\sqrt{a} (c+t^2))}{(b-2\sqrt{a}t)^2} dt

 

3) Sostituiamo il tutto nell'integrale, così da ottenere un integrale razionale in t.

 

4) Risolviamo l'integrale per mezzo dei fratti semplici.

 

5) Torniamo alla variabile x.

 

La sostituzione sembrerebbe abbastanza astrusa, ma con la pratica e l'allenamento continui riusciremo a padroneggiare agevolmente questa tecnica.

 

Esempio di applicazione della prima sostituzione di Eulero

 

Consideriamo l'integrale

 

\int \frac{1}{\sqrt{x^2-4x+8}}dx

 

 Il coefficiente direttivo a è positivo per cui possiamo effettuare la prima sostituzione di Eulero. Poniamo quindi:

 

t+x= \sqrt{x^2-4x+8}\implies x= \frac{8-t^2}{2(2+t)}\ \ \ (\bullet)

 

Di conseguenza possiamo esprimere il termine irrazionale nella forma

 

\sqrt{x^2-4x+8}=t+\frac{8-t^2}{2(2+t)}

 

Deriviamo (\bullet) membro a membro ed individuiamo il nuovo differenziale

 

dx= -\frac{8+4 t +t^2}{2(t+2)^2}dt

 

L'integrale diverrà quindi:

 

\int \frac{1}{t+\frac{8-t^2}{2(2+t)}}\cdot\left(-\frac{8+4 t +t^2}{2(t+2)^2}\right)dt

 

Con semplici calcoli riusciamo a giungere ad un semplice integrale notevole di tipo logaritmico, che è pur sempre razionale ma non richiede l'applicazione del metodo dei fratti semplici (tanto meglio!)

 

\int -\frac{1}{2+t}dt= -\ln|2+t|+c

 

ed infine ritornando in x

 

\int \frac{1}{\sqrt{x^2-4 x +8}}dx= -\ln|2+\sqrt{x^2-4x+8}-x|+c

 

Seconda sostituzione di Eulero

 

La seconda sostituzione di Eulero riguarda il caso in cui il termine c è positivo

 

\int R(x, \sqrt{a x^2+ b x+c})dx\ \ \ \mbox{con }c>0

 

Qui possiamo far intervenire il seguente cambio di variabile

 

\sqrt{a x^2+b x+c}= x t\pm \sqrt{c}

 

Anche in questo caso la scelta del segno è ininfluente, per cui decidiamo di lavorare con l'espressione con il segno positivo.

 

Elevando entrambi i membri al quadrato passiamo ad un'equazione di secondo grado in x, da cui otteniamo due soluzioni:

 

x=0\ \ \ ,\ \ \ x= \frac{-b+2\sqrt{c} t}{a-t^2}

 

La prima soluzione naturalmente va scartata e ci limitiamo a considerare la seconda. Abbiamo così ricavato la forma razionale del termine irrazionale

 

\sqrt{a x^2+b x+c}=\frac{-b+2\sqrt{c} t}{a-t^2}\cdot t\pm \sqrt{c}

 

Armandoci di pazienza riusciamo a calcolare il nuovo differenziale agevolmente

 

dx= \frac{2(a\sqrt{c}-bt +\sqrt{c}t^2)}{(t^2-a)^2}dt

 

e sostituendo il tutto nell'integrale di partenza ci riduciamo a dover calcolare un integrale di una funzione razionale.

 

Esempio di applicazione della seconda sostituzione di Eulero

 

Vogliamo risolvere l'integrale:

 

\int \frac{\sqrt{1-x^2}}{x}dx

 

In questo caso a=-1,\ c=1 e non possiamo utilizzare la prima sostituzione. Ricorriamo alla seconda sostituzione di Eulero:

 

\sqrt{1-x^2}= x t -1

 

Eleviamo entrambi i membri al quadrato

 

1-x^2= x^2 t^2-2 xt+1

 

il che ci conduce alle soluzioni:

 

x=0\ \ \ ,\ \ \ x= \frac{2t}{t^2+1}

 

Scartiamo la prima e scriviamo esplicitamente il termine irrazionale in funzione della variabile t

 

\sqrt{1-x^2}= \cdot \frac{2t}{t^2+1}\cdot t -1

 

Nel contempo calcoliamo il differenziale direttamente dall'espressione della soluzione di nostro interesse:

 

dx= \frac{2(1-t^2)}{(1+t^2)^2}dt

 

Sostituendo il termine irrazionale ed il differenziale giungiamo con semplici calcoli alla nuova forma dell'integrale:

 

\int \frac{\sqrt{1-x^2}}{x}dx= -\int \frac{(1-t^2)^2}{t(1+t^2)^2} 

 

ed applicando il metodo dei fratti semplici ricaviamo facilmente la famiglia di primitive

 

\int \frac{4t}{(1+t^2)^2}-\frac{1}{t}dt= -\frac{2}{1+t^2}-\ln|t|+c

 

Per concludere esprimiamo la famiglia di primitive nella variabile x. Dalla sostituzione segue che:

 

t= \frac{1+\sqrt{1-x^2}}{x}

 

e dunque

 

\int \frac{\sqrt{1-x^2}}{x}dx= -\frac{x^2}{1+\sqrt{1-x^2}}-\ln\left|\frac{1+\sqrt{1-x^2}}{x}\right|+c

 

Terza sostituzione di Eulero

 

La condizione relativa alla terza sostituzione di Eulero non è immediata come nei precedenti casi. Sceglieremo di ricorrere a quest'ultima tipologia di sostituzione se il polinomio a x^2 + b x+ c ammette due radici reali distinte x_0\ne x_1\in\mathbb{R}, ossia se il discriminante associato è maggiore di zero

 

\int R(x, \sqrt{a x^2+ b x+c})dx\ \ \ \mbox{con }b^2-4ac>0

 

In tal caso la sostituzione proposta è:

 

\sqrt{a x^2+ bx+c}= (x-x_0) t\quad\mbox{ oppure }(x-x_1)t

 

Consideriamo senza perdita di generalità l'uguaglianza:

 

\sqrt{a x^2+ bx+c}= (x-x_0)t

 

eleviamo al quadrato membro a membro:

 

a x^2+ bx+c= (x-x_0)^2 t^2

 

Osserviamo che il primo membro può essere fattorizzato secondo la regola della scomposizione di trinomi con le equazioni di secondo grado:

 

a x^2+ bx+c= a(x-x_0)(x-x_1)

 

Mettendo insieme le due uguaglianze ricaviamo

 

\implies a(x-x_0)(x-x_1)= (x-x_0)^2 t^2

 

da cui 

 

a(x-x_1)= (x-x_0)t^2

 

e quindi rimaneggiando tale equazione in favore di x

 

x= \frac{a x_1- x_0 t^2}{a-t^2}\ \ \ (\bullet)

 

Sostituendo tale espressione di x nella forma generale della terza sostituzione di Eulero riusciamo ad esprimere il termine irrazionale in forma razionale

 

\sqrt{a x^2+ b x+c}=\left(\frac{a x_1- x_0 t^2}{a-t^2}-x_0\right)t

 

Da ultimo non ci resta che derivare membro a membro (\bullet) così da ottenere il nuovo differenziale:

 

dx=- \frac{2a t (x_0-x_1)}{(-a+ t^2)^2}

 

e procedere come di consueto nella riscrittura dell'integrale nella variabile t, per poi procedere al calcolo.

 

Esempio sulla terza sostituzione di Eulero

 

Vediamo un esempio relativo alla terza sostituzione di Eulero.

 

\int \frac{1}{\sqrt{x^2-3x+2}}dx

 

Osserviamo che il polinomio di secondo grado ammette due soluzioni distinte

 

x^2-3x+2=0\ \iff\ x_0= 1\vee x_1=2

 

Abbiamo quindi due radici reali e distinte, inoltre la funzione integranda è ben definita se

 

x^2-3x+2\textgreater 0\iff x\,\,\textless 1\vee x\,\,\textgreater 2

 

Poniamo

 

 \sqrt{x^2-3 x+2}= (x-1) t

 

da cui ricaviamo prima l'espressione di t in funzione di x

 

t=\frac{ \sqrt{x^2-3x +2}}{x-1}

 

e successivamente l'espressione di x in funzione di t

 

x= \frac{t^2-2}{t^2-1}

 

Il nuovo differenziale è:

 

dx=\frac{2t}{(t-1)^2 (t+1)^2} dt

 

e dalla sostituzione si ha che

 

\sqrt{x^2-3x +2}= \left(\frac{t^2-2}{t^2-1}-1\right) t= -\frac{t}{t^2-1}

 

Quindi l'integrale diventa:

 

\int \frac{1}{-\frac{t}{t^2-1}}\cdot \frac{2t}{(t-1)^2 (t+1)^2}dt=\int \frac{-2}{(t-1)(t+1)}dt  

 

Grazie ai fratti semplici riusciamo infine ad individuare la famiglia di primitive in t


\int \frac{-2}{(t-1)(t+2)}dt= -\ln|1-t|+\ln|1+t|+c= \ln\left|\frac{1+t}{1-t}\right|+c

 

Ripristiniamo la variabile x:

 

\int \frac{1}{\sqrt{x^2- 3x +2}}dx= \ln\left|\frac{1+\frac{ \sqrt{x^2-3x +2}}{x-1}}{1-\frac{ \sqrt{x^2-3x +2}}{x-1}}\right|+c

 

e con alcuni passaggi algebrici arriviamo a scrivere:

 

\int \frac{1}{\sqrt{x^2- 3x +2}}dx= \ln\left|2 x-3 +2\sqrt{x^2-3x+2}\right|+c

 

 


 

Abbiamo finito! :) Ci rendiamo conto che queste sostituzioni non siano tra le più comode ma cionondimeno è utile sapere che esistono. Come sempre, se ci sono problemi potete usare la barra di ricerca interna e consultare tantissimi esercizi svolti; eventualmente servitevi pure del tool per gli integrali online per correggere i risultati dei vostri esercizi. ;)

 

 

A presto!

Salvatore Zungri (Ifrit)

 

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