Integrali di funzioni irrazionali

Gli integrali di funzioni irrazionali sono integrali in cui la funzione integranda è data da una funzione irrazionale o è eventualmente costituita da termini di tipo irrazionale, vale a dire da termini radicali.

 

Ci sono tantissimi tipi di integrali di funzioni irrazionali. Alcuni di essi sono riconducibili a tipologie ben precise e sono proprio quelli di cui ci occuperemo in questa lezione; altri invece sono di varia natura e non ammettono una classificazione propria.

 

Il nostro scopo è quello di proporre dei metodi di calcolo per gli integrali di funzioni irrazionali e di presentare le sostituzioni che permettono di razionalizzare l'integrale, riconducendoci a forme note o a forme a noi più congeniali, che è dopotutto il compito di ogni buona sostituzione.

 

Vorremmo fosse chiaro sin da subito che non è possibile, e nemmeno utile, fornire una scaletta che consenta di calcolare qualsiasi possibile integrale irrazionale. Qui ci concentriamo su quelli che vengono principalmente risolti mediante l'integrazione per sostituzione e come sempre procederemo per casi, partendo dal più semplice. Per tutti gli altri l'unica arma in vostro possesso sarà l'esperienza che formerete con il continuo esercizio. ;)

 

Prima famiglia di integrali irrazionali

 

Ci proponiamo di risolvere un integrale irrazionale che si presenta nella seguente forma:

 

\int R\left(x^{\frac{\alpha_1}{\beta_1}}, x^{\frac{\alpha_2}{\beta_2}}, \cdots, x^{\frac{\alpha_n}{\beta_n}}\right)dx 

 

dove R è una funzione razionale, mentre

 

\frac{\alpha_1}{\beta_1}, \frac{\alpha_2}{\beta_2},\cdots,\frac{\alpha_n}{\beta_n}

 

sono numeri razionali irriducibili ed ovviamente \beta_i\ne 0\quad\forall\,\, i= 1,...,n.

 

Non fatevi spaventare dalla precedente notazione. Ricordiamoci infatti che un radicale può essere espresso come potenza con esponente fratto, per cui essa ci dice semplicemente che l'integranda deve essere una funzione razionale in cui compaiono diverse variabili, e tali variabili sono radici ciascuna con un proprio indice di radice.

 

Interviene in nostro soccorso la sostituzione:

 

t= \sqrt[s]{x}\implies x=  t^s

 

dove s è il minimo comune multiplo dei denominatori de

 

s=\mbox{m.c.m}(\beta_1, \beta_2, \cdots, \beta_n)

 

Grazie a questa sostituzione le radici spariranno e rimarrà l'integrale di una funzione razionale in t.

 

 

Esempio

 

Vogliamo calcolare l'integrale:

 

\int \frac{1}{\sqrt{x}+x}dx= \int \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}+ x}dx

 

Nulla ci vieta di considerare il termine x come un termine radicale ad indice 1. In questo modo gli esponenti sono rispettivamente 1/2 e 1 e abbiamo a che fare con una funzione "con struttura razionale con variabili radicali", per cui ci siamo.

 

Il minimo comune multiplo dei denominatori è ovviamente 2. In accordo con il metodo esposto precedentemente la sostituzione da effettuare è:

 

t= \sqrt{x}\implies x= t^2\implies dx= 2 t dt 

 

L'integrale diventa:

 

\int \frac{2t}{t+t^2}dt=

 

Semplifichiamo con un opportuno raccoglimento totale a denominatore

 

=2\int\frac{1}{1+t}dt=

 

e giungiamo alla famiglia di primitive velocemente, poiché ci siamo ricondotti ad un integrale fondamentale

 

=2\ln|1+t|+c=

 

A questo punto torniamo alla variabile x ricordando che t= \sqrt{x}:

 

=\int \frac{1}{\sqrt{x}+x}dx= 2\ln(1+\sqrt{x})+c

 

Niente di più facile, non credete? :) Facciamo un passo avanti e complichiamo leggermente le cose.

 

Seconda tipologia di integrali irrazionali

 

Il nostro obiettivo diventa ora quello di derminare una sostituzione razionalizzante per integrali con integrande irrazionali del tipo:

 

\int R\left[x, \left(\frac{ax+ b}{c x+d}\right)^{\frac{\alpha_1}{\beta_1}}, \left(\frac{a x+b}{c x+d}\right)^{\frac{\alpha_2}{\beta_2}}, \cdots, \left(\frac{a x+b}{c x+d}\right)^{\frac{\alpha_n}{\beta_n}}\right]dx

 

dove R è una funzione razionale, gli esponenti sono numeri razionali e le costanti a,b,c,d obbediscono alla condizione

 

ad-bc\ne 0

 

La sostituzione risolutiva in questo caso è:

 

t=\sqrt[s]{\frac{a x +b}{c x +d}}\implies \frac{a x +b}{c x+d}= t^s

 

dove s è il minimo comune multiplo dei denominatori degli esponenti

 

s= \mbox{m.c.m} (\beta_1, \beta_2,\cdots, \beta_n)

 

 

Esempio

 

\int \sqrt{\frac{x}{1-x}}dx

 

Per renderlo un integrale razionale, poniamo:

 

t= \sqrt{\frac{x}{1-x}}

 

Determiniamo la sostituzione inversa con semplici passaggi algebrici

 

\frac{x}{1-x}= t^2

 

da cui

 

x= \frac{t^2}{1+t^2}

 

Differenziando membro a membro otteniamo

 

dx = \frac{2t}{(1+t^2)^2}dt

 

Grazie alla sostituzione, l'integrale diventa

 

\int \frac{2 t^2}{(1+t^2)^2}dt 

 

Così facendo ci riconduciamo ad un integrale razionale fratto che può essere risolto tramite la scomposizione in fratti semplici.

 

\int \frac{2 t^2}{(1+t^2)^2}dt=-\frac{t}{1+t^2}+\arctan(t)+c

 

Ritornando in x ed effettuando alcuni passaggi di natura estetica, arriveremo alla soluzione

 

\int \sqrt{\frac{x}{1-x}}dx= -\sqrt{x (1-x)}+\arctan\left(\sqrt{\frac{x}{1-x}}\right)+c

 

 


 

La lezione si conclude qui. Nella successive continueremo a parlare di integrali irrazionali e nello specifico di:

 

- integrali irrazionali con differenziale binomio, ossia integrali irrazionali con radicandi in cui abbiamo un trinomio di secondo grado;

 

- integrali irrazionali con sostituzioni trigonometriche;

 

- integrali irrazionali da calcolare con le sostituzioni di Eulero.

 

Nel caso vogliate consultare degli esercizi svolti vi rimandiamo alla barra di ricerca interna; qui su YM avete a disposizione migliaia di esercizi risolti e spiegati, e non solo! Ad esempio c'è anche un comodo tool per calcolare gli integrali online. ;)

 

 

A presto!

Salvatore Zungri (Ifrit)

 

Lezione precedente..........Lezione successiva


Tags: integrali irrazionali, integrali di funzioni irrazionali, integrali con le radici.

 

pba1