Integrali irrazionali con sostituzioni trigonometriche

Dopo aver introdotto le prime tecniche per il calcolo degli integrali irrazionali eccoci ad una nuova lezione nella quale ci dedicheremo agli integrali irrazionali da calcolare con sostituzioni trigonometriche.

 

Tipi di integrali irrazionali con sostituzioni trigonometriche

 

Gli integrali irrazionali di cui ci occuperemo qui di seguito sono essenzialmente di tre tipi.

 

1) Integrali con radice di una differenza di quadrati (tipo 1), in cui compaiono termini del tipo

 

\sqrt{a^2-x^2}

 

2) Integrali con radice di una somma di quadrati, in cui compaiono termini del tipo

 

\sqrt{a^2+x^2}

 

3) Integrali con radice di una differenza di quadrati (tipo 3), in cui compaiono termini del tipo

 

\sqrt{x^2-a^2}

 

dove a\,\,\textgreater 0 è una generica costante positiva.

 

Prima di procedere è fondamentale notare la differenza tra gli integrali irrazionali del tipo 1) e 3), in cui l'ordine dei termini che compaiono nella differenza è estremamente importante.

 

La tecnica risolutiva, in ciascuno dei tre casi, consisterà di due passaggi:

 

- applicare il metodo di integrazione per sostituzione mediante le funzioni trigonometriche, che ci faciliteranno il compito notevolmente. Per le sostituzioni esiste uno schema ben preciso da seguire.

 

- Lavorare algebricamente per esprimere la famiglia di primitive nella "vecchia" variabile x. Come avremo modo di dedurre dagli esempi, qui purtroppo non c'è uno schema bene definito e possiamo limitarci a suggerirvi di conoscere bene le varie formule trigonometriche. ;)

 

Integrali con radice e differenza di quadrati

 

Vogliamo calcolare un integrale indefinito di una radice con una differenza di quadrati, con integranda in cui compare un termine della forma \sqrt{a^2-x^2} con a\,\,\textgreater 0.

 

\sqrt{a^2-x^2},\ \ \ a>0

 

In un caso del genere conviene integrare per sostituzione e porre:

 

x= a\sin(t)\ \ \ \mbox{con }t\in \left[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right]

 

È importante osservare che t varia proprio in quell'intervallo indicato; in esso infatti la funzione a\sin(t) è invertibile.

 

Vediamo come si trasforma il termine irrazionale mediante la sostituzione proposta

 

\sqrt{a^2-x^2}=\sqrt{a^2-a^2\sin^2(t)}=

 

Effettuiamo un raccoglimento totale

 

=\sqrt{a^2(1-\sin^2(t))}=

 

Applichiamo l'identità fondamentale della Trigonometria

 

=\sqrt{a^2\cos^2(t)}=

 

ed estraiamo la radice

 

=|a\cos(t)|=

 

Qui possiamo eliminare il valore assoluto perché nell'intervallo \left[-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\right] la funzione coseno è non negativa, mentre la costante a è maggiore di zero.

 

=a\cos(t)

 

Riguardo al differenziale associato alla sostituzione, si vede facilmente che è dato da

 

dx= a\cos(t)dt

 

Il caso più banale per la famiglia di integrali del tipo 1) è quello in cui l'integranda coincide esattamente con il termine irrazionale considerato

 

\int\sqrt{a^2-x^2}dx=\int a^2\cos^2(t)dt

 

e che si calcola facilmente, essendo l'integrale del coseno al quadrato. Ci teniamo comunque a ribadire che il metodo per gli integrali irrazionali del tipo 1) con sostituzioni trigonometriche vale per tutti gli integrali le cui integrande presentano termini del tipo \sqrt{a^2-x^2}.

 

Esempio di integrale con radice e differenza di quadrati

 

Calcoliamo il seguente integrale, in cui la radice compare al denominatore di una frazione:

 

\int \frac{1}{\sqrt{1-x^2}}dx

 

Poniamo

 

x=\sin(t)\ \ \ \mbox{ con }t\in \left[-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\right]

 

da cui ricaviamo il differenziale

 

dx=\cos(t)dt 

 

Sostituiamo nell'integrale, così da ottenere:

 

\begin{align*}\int \frac{1}{\sqrt{1-\sin^2(t)}}\cdot\cos(t)dt&=\int \frac{\cos(t)}{\cos(t)}dt&\mbox{ relazione trigonometrica}\\ &= \int 1 dt&\mbox{ semplificazione}\\ &= t+c \end{align}

 

Giunti a questo punto è il momento per esprimere la famiglia di primitive nella variabile x. Nell'intervallo \left[-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\right] la funzione seno è invertibile ed ha come funzione inversa l'arcoseno, quindi

 

t=\arcsin(x)

 

e possiamo concludere che

 

\int \frac{1}{\sqrt{1-x^2}}dx= \arcsin(x)+c

 

 

Un altro esempio

 

\int \sqrt{4-x^2}dx

 

La sostituzione proposta dal metodo è

 

x= \sqrt{4}\sin(x)= 2\sin(x)\implies dx= 2\cos(t)dt

 

con x\in \left[-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\right].

 

Sostituendo nell'integrale ricaviamo

 

\begin{align*}\int \sqrt{4-4\sin^2(t)}\cdot 2\cos(t)dt&= \int 2\cos(t)\cdot 2\cos(t)dt\\&= 4\int\cos^2(t)dt\\&= 2t+2\sin( t )\cos(t) \end{align}

 

Per concludere dobbiamo riscrivere l'espressione ottenuta nella variabile x. Dalla sostituzione x= 2\sin(t) segue che

 

t= \arcsin\left(\frac{x}{2}\right)

 

A meno che vi ricordiate le formule dell'arcoseno, non conviene assolutamente procedere con la sostituzione inversa di t nell'espressione generale delle primitive. È qui che interviene il lavoro algebrico che abbiamo anticipato nell'introduzione: elevando al quadrato membro a membro l'equazione che esprime la sostituzione, avremo

 

x^2= 4\sin^2(t)= 4-4\cos^2(t)\implies |\cos(t)|=\sqrt{\frac{4-x^2}{4}}  


Poiché stiamo lavorando nell'intervallo \left[-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\right] il valore assoluto è superfluo, poiché la funzione coseno è una funzione non negativa. In definitiva

 

\cos(t)= \sqrt{\frac{4-x^2}{4}}

 

Detto questo possiamo asserire che:

 

\int \sqrt{4-x^2}dx= 2\arcsin\left(\frac{x}{2}\right)+\frac{1}{2}x\sqrt{4-x^2}+c

 

Integrali con radice e somma di quadrati

 

Se nell'integrale è presente un termine irrazionale con una somma di quadrati \sqrt{a^2+x^2} con a costante positiva

 

\sqrt{a^2+x^2},\ \ \ a>0

 

Allora la sostituzione trigonometrica più conveniente sarà 

 

x=a\tan(t)\ \ \ \mbox{ con }a\,\textgreater 0\mbox{ e }-\frac{\pi}{2}< t< \frac{\pi}{2}

 

Grazie alla tabella delle derivate notevoli è facile vedere che il nuovo differenziale è

 

dx=a\sec^2(t)dt

 

Vediamo come viene modificato il termine irrazionale:

 

\sqrt{a^2+x^2}=\sqrt{a^2+ a^2\tan^2(t)}=

 

Ricordando la definizione di tangente di una angolo 

 

=\sqrt{a^2+a^2\frac{\sin^2(t)}{\cos^2(t)}}=\sqrt{\frac{a^2(\cos^2(t)+\sin^2(t))}{\cos^2(t)}}=

 

Applichiamo l'identità fondamentale della Trigonometria e la definizione di secante

 

=\sqrt{a^2\sec^2(t)}=

 

Infine estraiamo la radice

 

=|a\sec(t)|=

 

ed osserviamo che sull'intervallo in esame la funzione secante è non negativa, inoltre a è un numero positivo, per cui

 

=a\sec(t)

 

Grazie a queste considerazioni potremo ricondurci ad un integrale di una funzione trigonometrica. Per dovere di cronaca qui il caso più banale è stranamente quello che conduce all'integrale più ostico

 

\int \sqrt{a^2+x^2}dx=\int a^2\sec^3(t)dt

 

e se non sapete come calcolare l'integrale della secante al cubo vi rimandiamo alla lettura della pagina del link.

 

Al di là di questo esempio standard, in generale la sostituzione proposta per gli integrali irrazionali del tipo 2) conduce ad integrali piuttosto semplici.

 

Esempio di integrale con radice e somma di quadrati

 

Proponiamoci di calcolare l'integrale

 

\int \frac{1}{x^2\sqrt{x^2+4}}dx

 

e quindi, come suggerito, effettuiamo la sostituzione

 

x=2\tan(t)\implies dx=2\sec^2(t)

 

Mettiamoci all'opera:

 

\begin{align*}\int \frac{1}{x^2\sqrt{x^2+4}}dx&=\int\frac{1}{4\tan^2(t)\cdot 2\sec(t)}\cdot 2\sec^2(t)dt\\ \\ &=\frac{1}{4}\int\frac{\sec(t)}{\tan^2(t)}dt\\ \\ &=\frac{1}{4}\int \frac{\cos(t)}{\sin^2(t)}dt\end{align}

 

Per quanto concerne l'integrale rimanente la migliore strategia prevede di riscriverlo nella forma

 

=\frac{1}{4}\int (\sin(t))^{-2}\cos(t)dt=

 

e ricordare la formula per gli integrali fondamentali di potenze composte

 

=\frac{1}{4}\cdot \frac{(\sin(t))^{-2+1}}{-2+1}+c=-\frac{1}{4\sin(t)}+c

 

Ora dobbiamo far riapparire la variabile x e per farlo dobbiamo ricavare un'espressione di \sin(t) in termini di x. Ribadiamo che il lavoro algebrico è l'unica strada percorribile nella pratica, poiché l'alternativa prevede di usare la sostituzione inversa t=\arctan\left(\frac{x}{2}\right) e ricordare a memoria le formule dell'arcotangente.

 

Dalla sostituzione x=2\tan(t) eleviamo membro a membro al quadrato:

 

x^2=4\tan^2(t)\implies \frac{x^2}{4}= \frac{\sin^2(t)}{\cos^2(t)}\implies \frac{x^2}{4}\cos^2(t)= \sin^2(t)

 

Ancora un paio di passaggi: l'obiettivo consiste nel ricavare un'equazione nell'incognita \sin(t)

 

\frac{x^2}{4}(1-\sin^2(t))=\sin^2(t)\implies \frac{x^2}{4}-\frac{x^2}{4}\sin^2(t)-\sin^2(t)= 0

 

Raccogliendo \sin(t) sui due termini in cui compare ed isolandolo al primo membro scopriamo che:

 

|\sin(t)|=\frac{ |x|}{\sqrt{4+x^2}}\implies \sin(t)= \begin{cases}\frac{|x|}{\sqrt{4+x^2}}&\mbox{ se } t\in \left[0, \frac{\pi}{2}\right)\\ \\-\frac{|x|}{\sqrt{4+x^2}}&\mbox{ se }t\in \left(-\frac{\pi}{2}, 0\right)\end{cases}

 

Si noti che se t\in \left[0,\frac{\pi}{2}\right) allora x=2\tan(t)\ge 0, simmetricamente se t\in \left(-\frac{\pi}{2}, 0\right) allora x<0 conseguentemente:

 

\sin(t)=\frac{ x}{\sqrt{4+x^2}}

 

e in conclusione

 

\int \frac{1}{x^2\sqrt{x^2+4}}dx=-\frac{\sqrt{4+x^2}}{4x}+c

 

Integrali irrazionali per sostituzione trigonometriche del tipo 3)

 

Se nella funzione integranda è presente l'espressione irrazionale con differenza tra x^2 ed a^2, con a una costante positiva

 

\sqrt{x^2-a^2},\ \ \ a>0

 

allora la sostituzione che verrà in nostro soccorso sarà:

 

x=a\sec(t)\ \ \ \mbox{con }t\in\left[0, \frac{\pi}{2}\right)\mbox{ oppure }t\in \left(\pi, \frac{3}{2}\pi\right] 

 

La scelta degli intervalli non è casuale, ed è tale che la funzione secante sia invertibile. Anche qui dobbiamo capire come si modifica la funzione integranda:

 

\sqrt{x^2-a^2}=\sqrt{a^2 \sec^2(t)-a^2}=

 

Raccogliamo e usiamo la definizione di secante

 

=\sqrt{a^2\left(\frac{1}{\cos^2(t)}-1\right)}=\sqrt{a^2\cdot\frac{1-\cos^2(t)}{\sin^2(t)}}=

 

ed in forza dell'identità fondamentale della Trigonometria

 

=\sqrt{a^2\frac{\sin^2(t)}{\cos^2(t)}}=\sqrt{a^2\tan^2(t)}=|a\tan(t)|=

 

Il valore assoluto è superfluo perché la tangente, negli intervalli considerati, è non negativa e la costante a è positiva per ipotesi.

 

=a\tan(t)

 

Il nuovo differenziale si ottiene come di consueto per semplice differenziazione

 

dx=a\sec(t)\tan(t)dt

 

Esempio di integrale irrazionale del tipo 3)

 

Ci proponiamo di calcolare l'integrale 

 

\int \frac{dx}{\sqrt{x^2-a^2}}

 

Grazie alla sostituzione consigliata

 

x=a\sec(t)

 

e tenendo conto di come è fatto il nuovo differenziale

 

dx=a\sec(t)\tan(t)dt

 

riusciamo a riscrivere l'integrale nella forma

 

\int \frac{1}{a\tan(t)}\cdot \sec(t)\tan(t)dt=\frac{1}{a}\int\sec(t)dt=

 

Per non appesantire troppo la lezione omettiamo i passaggi che permettono di calcolare l'integrale della secante. Passiamo direttamente alla famiglia di primitive:

 

=\ln|\sec(t)+\tan(t)|+c

 

Per tornare in x dobbiamo fare il solito lavoro algebrico perché in alternativa dovremmo ricorrere alla sostituzione inversa e saremmo costretti a ricordarci le formule dell'arcosecante a memoria (insostenibile!).

 

Lasciamo a voi il compito di smanettare algebricamente e di ricavare le seguenti relazioni:

 

\\ \sec(t)= \frac{x}{a}\\ \\ \\ \tan(t)= \frac{1}{a}\sqrt{x^2-a^2}

 

Le quali ci consentono di esprimere la famiglia di primitive nella variabile x

 

\int \frac{dx}{\sqrt{x^2-a^2}}=\ln\left|\frac{x}{a}-\frac{\sqrt{x^2-a^2}}{a}\right|+c=

 

Per chiudere in bellezza applichiamo le proprietà dei logaritmi

 

=\ln|x+\sqrt{x^2-a^2}|-\ln(a)+c

 

ed inglobiamo il termine costante -\ln(a) in una nuova costante arbitraria C

 

=\ln|x+\sqrt{x^2-a^2}|+C

 

 


 

 

Abbiamo finito! Se siete in cerca di esercizi svolti vi raccomandiamo l'uso della barra di ricerca interna, mentre se volete correggere i risultati dei vostri esercizi potete fare affidamento al tool per gli integrali online. ;)

 

Alla prossima!

Salvatore Zungri (Ifrit )

 

Lezione precedente..........Lezione successiva


Tags: integrali, sostituzioni trigonometriche, integrali irrazionali, integrali con le radici.

 

pba1