Seconda parte - integrali di funzioni trigonometriche

In questa lezione continueremo a parlare di metodi di integrazione per integrali con funzione integranda che dipende da funzioni trigonometriche, proponendo i vari metodi di calcolo oltre a quelli già visti nella prima parte della lezione.

 

Nella fattispecie tratteremo gli integrali della forma

 

\begin{align*}1)&\,\,\int\cos^n(x)\sin^m(x)dx\\ \\2) &\,\,\int \sin(n x)\sin(m x)dx\quad\int\sin(n x)\cos(m x)dx\quad\int \cos(n x)\cos(m x)dx\end{align}

 

Integrali con potenze di funzioni trigonometriche

 

Supponiamo d'avere un integrale con un prodotto di potenze di funzioni trigonometriche, che si presenta nella forma

 

\int \sin^m(x)\cos^n(x)dx

 

Ci sono tre possibili approcci a seconda degli esponenti con cui si presentano le potenze.

 

 

A) Se n è dispari, cioè

 

\int \sin^m(x)\cos^n(x)dx\ \ \ \ \ n=2k+1\ \mbox{ con }k\in\mathbb{N}

 

allora facciamo ricorso alle proprietà delle potenze

 

\int \sin^m(x)\cos^{2k+1}(x)dx=\int\sin^m(x)\cos^{2k}(x)\cos(x)dx

 

usiamo l'identità trigonometrica fondamentale (formule trigonometriche)

 

\cos^2(x)=1-\sin^2(x)

 

ed esprimiamo i fattori rimanenti in termini del seno

 

\int \sin^m(x)(1-\sin^2(x))^k\cos(x)dx

 

Procediamo con il metodo di integrazione per sostituzione ponendo t=\sin(x). In questo modo non dobbiamo nemmeno ricavare la legge di sostituzione inversa, poiché differenziando direttamente la legge della sostituzione abbiamo

 

dt=\cos(x)dx

 

e la sostituzione permette di scrivere l'integrale come

 

\int t^m(1-t^2)^kdt

 

Tendenzialmente questo integrale dovrebbe essere ben più commestibile di quello di partenza. ;)

 

 

B) Se invece è m ad essere dispari, cioè

 

\int \sin^m(x)\cos^n(x)dx\ \ \ \ \ m=2k+1\ \mbox{ con }k\in\mathbb{N}

 

allora procederemo in modo simmetrico rispetto ai passi precedenti:

 

\begin{align*}\int \sin^m(x)\cos^n(x)dx&= \int \sin^{2k+1}(x)\cos^{n}(x)dx\\ \\ &=\int\sin^{2k}(x)\cos^{n}(x)\sin(x)dx\\ \\&=\int (1-\cos^{2}(x))^k\cos^n(x)\sin(x)dx\end{align}

 

Fatto ciò procediamo con la sostituzione

 

t=\cos(x)

 

da cui determiniamo direttamente il differenziale

 

dt=-\sin(x)dx

 

il che ci conduce all'integrale

 

-\int (1-t^2)^k t^ndt

 

 

C) Nel caso in cui sia m che n siano numeri pari

 

\int \sin^m(x)\cos^n(x)dx\ \ \ \ \ m=2k,\ \ n=2h\ \mbox{ con }k,h\in\mathbb{N}

 

Qui non ci addentriamo nei dettagli del metodo di risoluzione e ci limitiamo a darvi un incipit:

 

- se m\neq n useremo le identità goniometriche che discendono dalla formule di duplicazione

 

\\ \sin^2(x)=\frac{1-\cos(2x)}{2}\\ \\ \cos^2(x)=\frac{1+\cos(2x)}{2}

 

- se invece m=n ci appelleremo alla seguente formula

 

\sin(x)\cos(x)=\frac{\sin(2x)}{2}

 

Esempio di integrale trigonometrico con potenze

 

Proviamo a calcolare l'integrale del coseno al cubo con il metodo appena descritto

 

\int \cos^3(x)dx

 

Abbiamo una potenza dispari del coseno. Scomponiamo la potenza come \cos^3(x)=\cos^2(x)\cos(x)

 

\int \cos^2(x)\cos(x)dx

 

e applichiamo l'identità fondamentale della Trigonometria

 

\int (1-\sin^2(x))\cos(x)dx

 

Poniamo t=\sin(x), da cui per differenziazione dt =\cos(x), e giungiamo all'integrale:

 

\int(1-t^2)dt=t-\frac{t^3}{3}+c

 

Esprimiamo il tutto nella variabile x:

 

\int \cos^3(x)dx= \sin(x)-\frac{\sin^3(x)}{3}+c

 

(Lo stesso svolgimento qui: integrale del coseno al cubo)

 

 

Un altro esempio

 

\int \sin^3(x)\cos^2(x)dx

 

Abbiamo una potenza dispari del seno, quindi seguendo il suggerimento scriviamo \sin^3(x)=\sin(x)\sin^2(x)  

 

\int\sin^3(x)\cos^2(x)dx=\int\sin^3(x)\cos^2(x)dx

 

Grazie all'identità trigonometrica fondamentale passiamo a

 

\int (1-\cos^2(x))\cos^2(x)\sin(x)dx

 

Poniamo t= \cos(x)\implies dt= -\sin(x)dx:

 

\int(-(1-t^2)t^2)dt=-\int(t^2-t^4)dt=-\frac{t^3}{3}+\frac{t^5}{5}+c

 

Manifestiamo x:

 

\int \sin^3(x)\cos^2(x)dx=-\frac{\cos^3(x)}{3}+\frac{\cos^5(x)}{5}+c

 

Integrali con funzioni trigonometriche e argomento multiplo intero

 

Per gli integrali della forma 2), in cui l'argomento delle funzioni goniometriche coinvolte è un multiplo intero di x. è necessario utilizzare un po' di memoria. Dobbiamo infatti ricordare un po' di formule... Ma non abbattiamoci: conoscendole, gli integrali di questa forma saranno una bazzecola. 

 

Ecco il primo gruppo di formule da ricordare:

 

\\ \int \sin(\alpha x)dx=-\frac{\cos(\alpha x)}{\alpha}\mbox{ con }\alpha \ne 0\\ \\ \int \cos(\alpha x)=\frac{\sin(\alpha x)}{\alpha}\mbox{ con }\alpha \ne 0

 

Sappiate che tali formule possono essere ricavate procedendo per sostituzione, ma data la loro ricorrenza sarebbe opportuno ricordarle. Ora passiamo alle linee guida che ci permetteranno di risolvere gli integrali del tipo 2).

 

 

Caso 1

 

\int \sin(n x)\sin(m x)dx

 

Grazie alle formule di addizione inverse, possiamo esprimere la funzione integranda come

 

\sin(n x)\sin(m x)=\frac{1}{2}\left[\cos\left((n-m) x\right)-\cos\left((n+m)x\right)\right]

 

Grazie a questa formula, possiamo utilizzare la linearità dell'integrale:

 

\begin{align*}\int \sin(n x)\sin(mx)dx&= \frac{1}{2}\int\cos\left((n-m) x\right)-\cos\left((n+m)x\right)dx\\ \\ &= \frac{1}{2}\int \cos((n-m)x)-\frac{1}{2}\int \cos((n+m)x)\end{align}

 

e questi integrali sono elementari. ;)

 

 

Caso 2

 

Se l'integrale da risolvere è del tipo

 

\int \cos(n x)\cos(m x)dx

 

Grazie alla relazione

 

\cos(n x )\cos(m x)= \frac{1}{2}\left[\cos((n-m)x)+\cos((n+m)x)\right]

 

l'integrale diventa 

 

\begin{align*}\int \cos(n x)\cos(m x)dx&= \frac{1}{2}\int \left[\cos((n-m)x)+\cos((n+m)x)\right]dx\\ &=\frac{1}{2}\left[\int \cos((n-m)x)dx+\int\cos((n+m)x)dx\right]\end{align}

 

e ancora una volta ci riconduciamo alla risoluzione di integrali elementari.

 

 

Caso 3 

 

\int \sin(n x)\cos(m x)dx

 

Grazie alla formula

 

\sin(n x)\cos(m x)= \frac{1}{2}\left[\sin((n-m)x)+\sin((n+m)x)\right]

 

arriviamo ad avere:

 

\int\sin(n x)\cos(m x)dx= \frac{1}{2}\left[\int\sin((n-m)x)dx+\int \sin((n+m)x)dx\right]

 

 

Esempi di integrali con prodotto tra coseno e seno

 

Caso 1

 

\begin{align*}\int \sin(3x)\sin(2x)dx&=\frac{1}{2}\int \left[\cos(x)-\cos(5 x)\right]dx\\&= \frac{1}{2}\left[\int \cos(x)dx-\int \cos(5x) dx\right]\\&=\frac{\sin(x)}{2}-\frac{1}{10}\sin(5x)+c\end{align}

 

Caso 2

 

\begin{align*}\int \cos(3x)\cos(2x)dx&=\frac{1}{2}\int \left[\cos(x)+\cos(5 x)\right]dx\\&= \frac{1}{2}\left[\int \cos(x)dx+\int \cos(5x) dx\right]\\&=\frac{\sin(x)}{2}+\frac{1}{10}\sin(5x)+c\end{align}

 

Caso 3

 

\begin{align*}\int \sin(3x)\cos(x)dx&=\frac{1}{2}\int \left[\sin(2x)-\sin(4 x)\right]dx\\&= \frac{1}{2}\left[\int \sin(2x)dx+\int \sin(4x) dx\right]\\&=-\frac{\cos(2x)}{4}-\frac{1}{8}\cos(4x)+c\end{align}

 

 


 

Come di consueto vi invitiamo a servirvi del tool per gli integrali online nel caso vogliate controllare gli esercizi che svolgerete autonomamente; sappiate inoltre che c'è una scheda correlata di esercizi svolti e spiegati nel dettaglio. ;)

 

Buona Matematica a tutti!

Salvatore Zungri (Ifrit)

 

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