Integrazione di funzioni trigonometriche

Continuiamo con la trattazione sugli integrali parlando di integrali di funzioni trigonometriche, e in particolare di integrali da calcolare mediante le sostituzioni parametriche.

 

In parole povere incominciamo a vedere come calcolare gli integrali di funzioni in cui compaiono sin(x), cos(x), tan(x) e loro combinazioni. Partiamo con calma.

 

Integrali di funzioni trigonometriche con sostituzioni parametriche

 

Vogliamo calcolare l'integrale di una funzione dipendente dalle funzioni trigonometriche sin(x), cos(x), tan(x)

 

\int f(\sin(x), \cos(x), \tan(x))dx

 

Uno dei possibili metodi per semplificare il calcolo dell'integrale prevede di ricorrere al metodo di integrazione per sostituzione e di fare riferimento alle formule parametriche, dalle quali sappiamo che

 

t= \tan\left(\frac{x}{2}\right)\quad x\in (-\pi, \pi)

 

Scriviamo x in funzione di t, applicando membro a membro l'arcotangente

 

\frac{x}{2}= \arctan(t)\ \to\  x= 2\arctan(t)

 

Ora che abbiamo la legge che esprime la sostituzione inversa possiamo calcolare il differenziale derivando entrambi i membri per le rispettive variabili, così da ottenere:

 

dx=\frac{2}{1+t^2}dt

 

Vale la pena di ricordare quali sono le espressioni delle funzioni seno, coseno e tangente in funzione di t. In accordo con le formule parametriche:

 

\\ \sin(x)= \frac{2t}{1+t^2}\\ \\ \\ \cos(x)=\frac{1-t^2}{1+t^2}\\ \\ \\  \tan(x)= \frac{2t}{1-t^2}

 

Il nuovo integrale da risolvere avrà dunque una funzione integranda della forma

 

\int f\left(\frac{2t}{1+t^2}, \frac{1-t^2}{1+t^2},\frac{2t}{1-t^2}\right)\cdot\frac{2}{1+t^2}dt

 

e che spesso e volentieri potrà essere risolto con il metodo dei fratti semplici o comunque con le regole relative agli integrali notevoli. Spesso e volentieri purtroppo non equivale a sempre, quindi occhi aperti! ;)

 

Esempi di integrale trigonometrico con sostituzioni parametriche

 

Proviamo a calcolare il seguente integrale trigonometrico, in cui l'integranda dipende da sin(x) e tan(x), applicando le sostituzioni parametriche

 

\int\frac{\tan(x)}{\sin(x)+\tan(x)}dx

 

Poniamo

 

t=\tan\left(\frac{x}{2}\right)

 

da cui risulta

 

x=2\arctan(t)

 

Per determinare il nuovo differenziale dobbiamo ricordare la formula per la derivata dell'arcotangente:

 

dx=\frac{2}{1+t^2}dt

 

Utilizziamo le formule parametriche così da esprimere le funzioni in termini di t

 

 \\ \sin(x)= \frac{2t}{t^2+1}\\ \\ \\ \tan(x)= \frac{2t}{1-t^2}

 

Sostituiamo nell'integrale 

 

\int \frac{\frac{2t}{1-t^2}}{\frac{2t}{1+t^2}+\frac{2t}{1-t^2}}\cdot\frac{2}{1+t^2}dt=

 

Benissimo: a questo punto non ci resta che semplificare le frazioni algebriche che costituiscono l'integranda e giungere a

 

=\int dt=t+c

 

Per concludere dobbiamo semplicemente ripristinare la variabile x

 

\int\frac{\tan(x)}{\sin(x)+\tan(x)}dx= \tan\left(\frac{x}{2}\right)+c

 

Integrali trigonometrici in cui NON usare le sostituzioni parametriche

 

Attenzione: le cose non funzionano altrettanto bene se nella funzione interanda appaiono i quadrati delle funzioni seno, coseno o tangente. In un caso del genere dobbiamo far ricorso a qualche nuova sostituzione.

 

Se l'integrale presenta la seguente forma

 

\int f(\sin^2(x), \cos^2(x), \tan^2(x))dx

 

la sostituzione che ci potrà aiutare è

 

t= \tan(x)

 

Scriviamo le funzioni seno e coseno in funzione della tangente. Per farlo dobbiamo ricorrere alla definizione di tangente di un angolo e all'identità fondamentale della Trigonometria (cfr formule trigonometriche)

 

\begin{cases}\tan(x)=\frac{\sin(x)}{\cos(x)}\\ \sin^2(x)+\cos^2(x)=1\end{cases}

 

Con semplici passaggi algebrici ricaviamo

 

\\ \sin(x)=\frac{\tan(x)}{\sqrt{1+\tan^2(x)}}\\ \\ \\ \cos(x)=\frac{1}{\sqrt{1+\tan^2(x)}}

 

ossia

 

\\ \sin(x)=\frac{t}{\sqrt{1+t^2}}\\ \\ \\ \cos(x) = \frac{1}{\sqrt{1+t^2}}

 

Dalla sostituzione effettuata dobbiamo inoltre esprimere la variabile x in funzione di t applicando membro a membro l'inversa della funzione tangente.

 

x=\arctan(t)

 

Derivando membro a membro otteniamo l'espressione del nuovo differenziale:

 

dx=\frac{1}{1+t^2}dt

 

Una volta effettuati questi ragionamenti preliminari potremo andare a lavorare con il nuovo integrale che ne scaturirà. :)

 

Esempio di integrale trigonometrico ponendo t=tan(x)

 

Abbiamo detto che le sostituzioni parametriche non vanno bene per integrali con quadrati di funzioni trigonometriche. Vediamolo nel concreto in un esempio:

 

\int \frac{12\sin^2(x)}{4\sin^2(x)+\cos^2(x)}dx

 

Poniamo

 

t= \tan(x)\implies x= \arctan(t)\implies dx= \frac{1}{1+t^2}dt

 

Scriviamo le funzioni seno e coseno in funzione di t:

 

\\ \sin(x)= \frac{t}{\sqrt{1+t^2}}\implies \sin^2(x)= \frac{t^2}{1+t^2}\\ \\ \\ \cos(x)= \frac{1}{\sqrt{1+t^2}}\implies \cos^2(x)= \frac{1}{1+t^2}

 

Sostituiamo il tutto nell'integrale e vediamo cosa succede:

 

\\ \int \frac{12\cdot \frac{t^2}{1+t^2}}{4\cdot \frac{t^2}{1+t^2}+\frac{1}{1+t^2}}\cdot \frac{1}{t^2+1}dt= \\ \\ \\ =\int \frac{12 t^2}{(1+4t^2)(1+t^2)}dt=

 

Grazie al metodo dei fratti semplici possiamo scrivere la funzione integranda come:

 

\frac{12 t^2}{(1+4 t^2)(1+t^2)}= \frac{4}{1+t^2}-\frac{4}{1+4t^2}

 

Dovremo risolvere quindi:

 

\begin{align*}\int \frac{4}{1+t^2}-\frac{4}{1+4t^2}dx&= \int \frac{4}{1+t^2}dt- \int \frac{4}{1+4t^2}dt\\ \\&=4\arctan(t)- 2\arctan(2t)+c\end{align}

 

Facciamo riapparire la variabile x ricordando che t=\tan(x)

 

\begin{align*}\int \frac{12\sin^2(x)}{4\sin^2(x)+\cos^2(x)}dx&= 4\arctan(\tan(x))-2\arctan(2\tan(x))+c\\ \\&= 4 x-2\arctan(2\tan(x))+c\end{align}

 

È bene sottolineare che queste sostituzioni sono solo dei suggerimenti: integrare è un'arte in cui è richiesta molta fantasia!

 

 


 

Fermi tutti! Questa è solo la prima parte della lezione: nella successiva approfondiremo gli integrali con potenze di funzioni trigonometriche. Come al solito vi ricordiamo che, in caso di necessità, potete ricorrere al tool per il calcolo degli integrali online e che usando la barra di ricerca interna potete consultare tantissimi esercizi svolti nel dettaglio. ;)

 

 

Buona Matematica a tutti!

Salvatore Zungri (Ifrit)

 

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