Integrali per sostituzione

Gli integrali per sostituzione sono integrali da calcolare mediante il metodo di sostituzione: si passa ad una nuova variabile indipendente mediante una sostituzione del tipo t=g(x), in modo da semplificare l'integranda e gli estremi di integrazione.

 

Tra le varie tecniche di calcolo degli integrali una delle più importanti e più ricorrenti è la cosiddetta integrazione per sostituzione. Mediante un'opportuna sostituzione si passa a calcolare un integrale equivalente al primo dal punto di vista analitico, ma molto più gestibile all'atto pratico.

 

In questa lezione esporremo il procedimento di calcolo degli integrali per sostituzione sia nel caso degli integrali indefiniti che per quelli definiti.

 

Integrali indefiniti per sostituzione

 

Come al solito quando introduciamo una nuova tecnica di integrazione partiamo dal caso degli integrali indefiniti, per poi estendere successivamente il discorso al caso definito. 

 

Il metodo di integrazione per sostituzione segue dalla regola di derivazione delle funzioni composte. Ora non lasciatevi spaventare: tale metodo è molto più facile da applicare che da formalizzare, come molte cose in Matematica, ma per completezza (e per allenarvi ad un corretto approccio matematico) iniziamo presentandolo in astratto.

 

Siano f:I\to \mathbb{R} una funzione continua e g: J\to I una fuzione derivabile con derivata continua. Si ha che:

 

\mbox{(prima forma)}\quad\int f(g(x)) g'(x)dx=\left[\int f(t)dt\right]_{t= g(x)}

 

Nel caso in cui la funzione g(t) sia invertibile, allora vale la seguente formula di integrazione:

 

\mbox{(seconda forma)}\quad\int f(x)dx= \left[\int f(g(t)) g'(t) dt\right]_{t=g^{-1}(x) }

 

Le due forme proposte sono del tutto equivalenti e in base a come si presenta la funzione integranda dovremo saper scegliere quali delle due formule conviene utilizzare.

 

Prima di vedere la dimostrazione dobbiamo mettere in chiaro il significato del simbolo al secondo membro. Se indichiamo con F(t) una primitiva della funzione f(t) sull'intervallo I, allora risulta:

 

\left[\int f(t)dx\right]_{t= g(x)}= [F(t)+c]_{t= g(x)}= F(g(x))+c 

 

Interviene quindi il concetto di funzione composta ed è per questo motivo che si chiede che la funzione g abbiamo codominio in I.

 

Dimostrazione della formula di integrazione per sostituzione - caso definito

 

È sufficiente effettuare le seguenti considerazioni. Sia F(x) una primitiva della funzione f(x) su I, allora per la regola di derivazione per le funzioni composte si ha che:

 

\frac{d}{dx}F(g(x))= F'(g(x))g'(x)= f(g(x))g'(x)

 

Integrando membro a membro rispetto alla variabile x:

 

 \overbrace{\int \frac{d}{dx} F(g(x))dx}^{F(g(x))+c}= \int f(g(x))g'(x)dx

 

che è proprio la tesi.

 

Sostituzioni nel calcolo degli integrali indefiniti

 

Con tutte le premesse teoriche appena viste possiamo finalmente addentrarci nel metodo pratico per gli integrali per sostituzione. Vi proponiamo due strade che consentono di applicare tale tecnica: starà a voi allenarvi a più riprese, in modo da sviluppare l'esperienza necessaria per comprendere quale delle due convenga utilizzare di esercizio in esercizio.

 

Integrazione con sostituzioni di prima specie

 

Supponiamo di voler calcolare un integrale che si presenta nella forma:

 

\int f(g(x))g'(x)dx

 

1) Poniamo

 

t=g(x)

 

e deriviamo membro a membro, così da ottenere il nuovo differenziale

 

dt= g'(x) dx

 

2) Sostituiamo nell'integrale, così da ottenere:

 

\int f(\overbrace{g(x)}^{t})\overbrace{g'(x)dx}^{dt}= \int f(t)dt

 

3) Calcoliamo l'integrale nella nuova variabile sperando che sia effettivamente più semplice di quello di partenza, così da ottenere la famiglia delle primitive della funzione f in funzione della variabile t, cioè

 

F(t)+c

 

4) Sostituiamo a t l'espressione analitica della funzione g(x) nella famiglia di funzioni F(t)+c. Abbiamo finito.

 

 

Esempio sugli integrali indefiniti con sostituzioni di prima specie

 

\int 2x e^{x^2}dx 

 

La prima cosa da fare è capire quale funzione sostituire. Se siete alle primissime armi probabilmente dovrete andare a tentativi fino a quando non capirete il meccanismo. Possiamo pensare di porre

 

t= x^2

 

e differenziando membro a membro ricaviamo

 

dt= 2 x dx

 

Se guardiamo in faccia la funzione integranda, ci accorgiamo che il nuovo differenziale è praticamente già presente. 

 

\int 2x e^{x^2}dx= \int e^{\overbrace{x^2}^t}\cdot \overbrace{2x dx}^{dt}

 

Abbiamo così ottenuto un integrale elementare che sappiamo calcolare velocemente e senza difficoltà

 

\int e^{t}dt= e^t+c

 

A questo punto dobbiamo tornare nella variabile x. Ricordando che t=x^2 si ha che:

 

\int 2 x e^{x^2}dx= e^{x^2}+c

   

Integrali con sostituzioni di seconda specie

 

Supponiamo di voler calcolare l'integrale:

 

\int f(x)dx

 

In questo caso andremo alla ricerca di una funzione g(t) da sostituire alla variabile x. Qui però dobbiamo richiedere che la funzione g sia non soltanto derivabile, ma anche invertibile!

 

I passi da effettuare sono i seguenti.

 

1)  Poniamo

 

x=g(t)

 

e derivare membro a membro così da ottenere il nuovo differenziale

 

dx= g'(t) dt 

 

2)  Sostituiamo il tutto nell'integrale in modo da ricavare

 

\int f(\overbrace{x}^{g(t)})\overbrace{dx}^{g'(t) dt}= \int f(g(t)) g'(t) dt

 

3)  Calcoliamo l'integrale ottenuto (nella speranza che sia di più facile risoluzione) e ricaviamo una funzione nella variabile t.

 

4) Torniamo nella variabile x. Per farlo è necessario esprimere la variabile t in funzione di x, determinando la funzione inversa

 

x= g^{-1}(t)

 

Ecco perché è necessario richiedere che la funzione g sia invertibile: se così non fosse l'ultimo passaggio verrebbe meno!

 

 

Esempio sugli integrali indefiniti con sostituzioni di seconda specie

 

\int \sqrt{1-x^2}dx

 

Innanzitutto osserviamo che l'integrale è ben posto sotto le condizioni che individuano il dominio della funzione integranda, vale a dire -1\le x\le 1.

 

Poniamo

 

x=\sin(t)\mbox{ con } t\in \left[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right]

 

Abbiamo scelto questo intervallo perché dobbiamo pretendere che la funzione seno sia invertibile, e quello è un intervallo in cui il essa è monotona e continua e quindi invertibile.

 

Il nuovo differenziale è

 

dx= \cos(t)dt

 

e l'integrale diventa:

 

\int \sqrt{1-\underbrace{x^2}_{\sin^2(t)}}\overbrace{dx}^{\cos(t) dt}= \int \sqrt{1-\sin^2(t)}\cos(t)dt

 

In forza dell'identità fondamentale della Trigonometria nell'intervallo considerato vale la seguente uguaglianza

 

\sqrt{1-\sin^2(t)}= \cos(t)\quad \forall t\in \left[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right]

 

quindi l'integrale da risolvere diventa l'integrale del coseno al quadrato

 

\int \cos^2(t) dt=\frac{1}{2}\int [1+\cos(2 t)]dt= \frac{t}{2}+\frac{\sin(2 t)}{4}+c

 

Dalla sostituzione x= \sin(t) segue che t= \arcsin(x), per cui

 

\int \sqrt{1-x^2}dx=\frac{\arcsin(x)}{2}+\frac{\sin(2 \arcsin(x))}{4}+c=

 

Volendo potremmo lasciare il risultato così com'è, ma possiamo fare qualcosa di più. Possiamo infatti applicare la formula di duplicazione del seno

 

=\frac{\arcsin(x)}{2}+\frac{2\sin(\arcsin(x))\cos(\arcsin(x))}{4}+c=

 

e applicare le formule dell'arcoseno

 

=\frac{\arcsin(x)}{2}+\frac{x\sqrt{1-x^2}}{2}+c

 

Integrali definiti per sostituzione

 

Se avete compreso la logica del metodo di sostituzione allora estendere il discorso al caso degli integrali definiti è assolutamente immediato.

 

Date una funzione f:I\to\mathbb{R} continua ed una funzione g:J\to I derivabile, vale la prima forma del metodo di sostituzione

 

(\mbox{prima forma})\ \ \ \int_{\alpha}^{\beta} f(g(t))g'(t)dt= \int_{g(\alpha)}^{g(\beta)} f(x)dx

 

Nel caso in cui la funzione g sia anche invertibile, allora sussiste anche la relazione:

 

(\mbox{seconda forma})\ \ \ \int_{a}^{b} f(x)dx= \int_{g^{-1}(a)}^{g^{-1}(b)}f(g(x))g'(x)dx

 

 

Esempi sugli integrali definiti per sostituzione

 

1) Vogliamo calcolare l'integrale

 

\int_{1}^{e} \frac{\ln(x)}{x} dx

 

Il metodo che dobbiamo utilizzare è del primo tipo. Per prima cosa dobbiamo determinare la funzione da sostituire:

 

t= \ln(x)\implies dt = \frac{1}{x}dx

 

In base alla sostituzione calcoliamo i nuovi estremi di integrazione, che vengono modificati a seconda della sostituzione scelta:

 

\\ t(1)=\ln(1)=0\\ \\ t(e)=\ln(e)=1

 

Sostituendo nell'integrale:

 

\int_{ 0}^{1} t dt= \left[\frac{t^2}{2}\right]_{0}^{1}= \frac{1}{2}

 

 

2) Supponiamo di voler calcolare l'integrale:

 

\int_{0}^{1} \frac{e^{x}}{e^{x}+1} dx

 

In questo caso utilizzeremo la seconda relazione. Poniamo

 

t= e^{x}\implies x= \ln(t)\quad \mbox{ con }t\,\,\textgreater 0

 

Gli estremi di integrazione si ottengono risolvendo le equazioni

 

\\ \ln(t)= 0\iff t=1\\ \\ \ln(t)= 1 \implies t= e

 

Il nuovo differenziale è invece

 

dx= \frac{1}{t} dt

 

L'integrale da risolvere diventa quindi:

 

\begin{align*}\int_{1}^{e} \frac{e^{\ln(t)}}{e^{\ln(t)}+1}\frac{1}{t}dt &= \int_{1}^{e} \frac{t}{1+t}\cdot \frac{1}{t}dt\\ \\ &= \int_{1}^{e}\frac{1}{1+t}dt\\ \\&= [\ln|1+t|]_{1}^{e}= \ln(1+e)-\ln(2)\end{align}

 

 


 

Vi sono alcune sostituzioni classiche da utilizzare in presenza di particolari integrali, ma per il momento ci fermiamo qui. Ce ne occuperemo nelle lezioni successive. :)

 

Se volete approfondire consultando ulteriori esempi vi invitiamo a leggere la scheda correlata di esercizi svolti, e in caso di necessità ad usare il tool per gli integrali online in modo da verificare i risultati dei vostri esercizi.

 

Per tutto il resto la barra di ricerca vi permetterà di trovare tutto quello che vi serve tra le migliaia di esercizi risolti presenti su YM. ;)

 

 

Buona Matematica a tutti!

Salvatore Zungri (Ifrit)

 

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