Integrali indefiniti e primitiva di una funzione

Una primitiva di una funzione f(x), detta anche antiderivata di f(x), è una qualsiasi funzione derivabile F(x) con derivata che coincide con la funzione assegnata: F'(x)=f(x). L'integrale indefinito è un operatore che assegna ad una funzione integrabile, detta funzione integranda, un insieme di primitive.

 

In questa lezione daremo la definizione di primitiva di una funzione (o antiderivata) e presenteremo la definizione di integrale indefinito.

 

Nelle lezioni a seguire ne proporremo invece le principali proprietà e tutti i metodi di calcolo (fondamentali nella pratica e nella risoluzione degli esercizi).

 

Primitiva di una funzione (antiderivata)

 

Partiamo dalla definizione di primitiva. Prestate moltissima attenzione all'enunciato perché in questo frangente è estremamente facile fare confusione.

 

Sia f: [a,b]\to \mathbb{R} una funzione. Una funzione F(x) derivabile nell'intervallo [a,b] è una primitiva (o antiderivata) di f(x) se

 

F'(x)= f(x)\quad \forall x\in [a,b]

 

La derivata della primitiva deve coincidere con la funzione f. Sebbene ora non vi sia chiaro del perché sia necessario definire questo nuovo concetto, sappiate che ha avuto/ha notevoli ripercussioni in tutti i campi scientifici(1). Per il momento dovete fidarvi!

 

Osservazione (definizione per le scuole superiori)

 

Per semplificare le cose, alle scuole superiori la precedente definizione viene data sotto un'ipotesi più forte e si richiede che la funzione f(x) di cui si definisce una primitiva F(x) sia continua sul proprio dominio. Procedete come preferite, ma ricordate che le ipotesi più deboli sono da prediligere; noi procederemo in tal senso.

 

Osservazione (l'importanza degli articoli indeterminativi)

 

Avete notato che abbiamo scritto: "si definisce una primitiva" e non "la primitiva"? Questo aspetto viene trascurato da moltissimi studenti, con conseguenze apocalittiche. ;)

 

Le infinite primitive di una funzione

 

Consideriamo un semplice esempio che non richieda nulla di più oltre alla definizione di primitiva di una funzione. La funzione

 

F(x)= \frac{x^2}{2}

 

è una primitiva di f(x)= x, infatti:

 

F'(x)= D\left[\frac{x^2}{2}\right]= \frac{2x}{2}= x

 

D'altra parte anche

 

F(x)= \frac{x^2}{2}+1

 

è una primitiva della funzione f(x)= x, infatti:

 

F'(x)= D\left[\frac{x^2}{2}+1\right]= x

 

Riflettiamo un momento: abbiamo determinato due primitive diverse della stessa funzione. Ma quante ce ne saranno? Esiste una relazione che lega tutte le primitive di una funzione? 

 

La prima questione è di facile risoluzione, è sufficiente ricordare che la derivata di una costante è zero e con questa informazione possiamo enunciare il seguente teorema

 

Teorema (sommando una costante ad una primitiva si ha ancora una primitiva)

 

Sia f:[a,b]\to \mathbb{R} una funzione. Se F(x) è una sua primitiva su [a,b] allora anche G(x)=F(x)+c con  c\in\mathbb{R} è una primitiva di f su [a,b].


Dimostrazione

 

Per ipotesi sappiamo che F è una primitiva di f su [a,b] e per definizione di primitiva abbiamo che:

 

F'(x)= f(x)\quad\forall x\in [a,b]

 

Per come è definita G(x) abbiamo che:

 

G'(x)= D[F(x)+c]= F'(x)=f(x)\quad \forall x\in [a,b]

 

ciò vuol dire che anche la funzione G soddisfa la definizione di primitiva.

 

Questo semplice teorema mostra che se una funzione f ammette una primitiva allora ne ha infinite.

 

Ora proviamo a rispondere alla seconda domanda: andremo alla ricerca di una relazione che lega le primitive di una funzione, e per farlo ci serviremo del seguente teorema.


Teorema (caratterizzazione delle primitive di una funzione in un intervallo)

 

Siano F,G:[a,b]\to \mathbb{R} due primitive di una funzione f:[a,b]\to \mathbb{R} nell'intervallo [a,b]. Allora esiste una costante reale c tale che:

 

G(x)= F(x)+c\quad\forall x\in [a,b]

 

Dimostrazione

 

Poniamo H(x)=G(x)-F(x). Si ha che:

 

H'(x)=G'(x)-F'(x)=f(x)-f(x)=0\quad\forall x\in [a,b]

 

Applichiamo il teorema di Lagrange alla funzione H nell'intervallo [a,x], grazie al quale possiamo asserire che esiste x_0\in [a,x] tale che:

 

H(x)-H(a)= H'(x_0)(x-a) 

 

Abbiamo visto che la derivata prima di H è zero in ogni punto di [a,x], come conseguenza di ciò il secondo membro della precedente uguaglianza è zero.

 

H(x)-H(a)= \overbrace{H'(x_0)}^{=0}(x-a)=0\implies H(x)= H(a) 

 

La funzione H(x) è costante, H(x)= c\quad\forall x\in [a,b] e dalla relazione

 

G(x)-F(x)= H(x)\implies G(x)-F(x)= c\mbox{ segue che }G(x)= F(x)+c

 

Fine. Questo teorema dimostra che due primitive qualsiasi definite in un intervallo [a,b] differiscono di una costante additiva, o equivalentemente che coincidono a meno di una costante additiva.

 

Tirando le somme possiamo sintetizzare i due teoremi precedenti in un unico enunciato.

 

Teorema (infinite primitive che coincidono a meno di una costante)

 

Se in un intervallo [a,b] una funzione f ammette una primitiva F, allora ne ha infinite che differiscono da F di una costante additiva.

 

Da qui segue un'ovvia considerazione: avendo il grafico di una primitiva, il grafico delle altre si ottiene per semplice traslazione verticale, in accordo con le regole del grafico intuitivo.

 

Integrali indefiniti

 

A questo punto sappiamo che una funzione che ammette una primitiva, ne ammette infinite che differiscono di una costante additiva. Ha quindi senso definire l'insieme di tutte le primitive di una funzione e di attribuirli un nome: lo chiameremo integrale indefinito della funzione.

 

Ribadiamo ancora una volta che nel caso più generale possibile la definizione di primitiva di una funzione, e dunque la definizione di integrale indefinito, non richiede l'ipotesi di continuità. Tale ipotesi aggiuntiva viene proposta alle scuole superiori solamente per fissare le idee.

 

Definizione di integrale indefinito

 

Sia f una funzione definita su un intervallo [a,b]. Si definisce integrale indefinito di f su [a,b] l'insieme di tutte le primitive della funzione f in [a,b] e si indica con il simbolo 

 

\int f(x)dx

 

In base a quanto detto sulle primitive possiamo asserire che:

 

\int f(x)dx= F(x)+c\quad \mbox{ dove } F(x)\ \grave{\mbox{e}}\mbox{ una primitiva di }f 

 

Anche se la notazione non lo lascia intendere esplicitamente sottolineamo che l'integrale indefinito identifica un insieme di funzioni e non una funzione particolare. Questo fatto viene messo in evidenza dalla costante additiva c, che è arbitraria e non deve mai e poi mai essere omessa... Soprattutto negli esercizi delle verifiche e degli esami. ;)

 

Proprietà fondamentali dell'integrale indefinito

 

Dalla definizione seguono immediatamente le seguenti proprietà degli integrali indefiniti.

 

1) Per ogni funzione derivabile vale l'uguaglianza:

 

\int f'(x)dx= f(x)+k 

 

2) Per ogni funzione che ammette primitive vale invece:

 

\frac{d}{dx}\left(\int f(x)dx\right)= f(x)

 

3) Le prime due proprietà ci permettono di dimostrarne altre che ci verranno in soccorso nella risoluzione degli esercizi.

 

\begin{align*}\mbox{Additivit}\grave{\mbox{a}}:&\int (f(x)+g(x)) dx= \int f(x)dx+\int g(x)dx\\\mbox{Omogeneit}\grave{\mbox{a}}:& \int \alpha f(x)dx= \alpha \int f(x)dx \quad \forall \alpha \in \mathbb{R}\end{align}

 

La dimostrazione segue direttamente dalla linearità della derivata ed è piuttosto semplice da redigere. Vi invitiamo a farlo come esercizio. ;)

 

 


 

Date le impressionanti applicazioni pratiche che nasconde questo nuovo strumento matematico, dobbiamo subito apprendere le tecniche che consentono il calcolo esplicito di un integrale indefinito. Nelle lezioni successive entriamo nel vivo della questione, ma per ora ci fermiamo qui.

 

Chi ha già dimestichezza con il calcolo integrale ed è qui per ripassare può subito mettersi alla prova con la scheda correlata di esercizi svolti, ed eventualmente usare il tool per gli integrali online. In caso di dubbi vi suggeriamo di cercare le risposte alle vostre domande mediante la barra di ricerca interna. ;)

 

 

Buona Matematica a tutti!

Salvatore Zungri (Ifrit)

 

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(1) Giusto per farvi qualche esempio, l'integrale è utile nel calcolo delle aree di superfici, o ancora di volumi di solidi. In Fisica, lo utilizziamo per determinare il lavoro che una forza compie nello spostare una massa. Potremmo continuare nell'elenco, ma rimarrebbe sempre una sfilza di concetti che molto probabilmente ancora non avete incontrato. :)

 


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