Integrali fondamentali

Gli integrali fondamentali sono gli integrali delle funzioni elementari, vale a dire gli integrali delle funzioni che ricorrono maggiormente in Analisi Matematica e che vengono calcolati una volta per tutte, per poi essere usati come risultati assodati.

 

Lo scopo che ci prefiggiamo in questa lezione è duplice, ed è molto arduo. Fino a qui abbiamo trattato argomenti molto teorici promettendovi che, ad un certo punto, avremmo iniziato a parlare del calcolo integrale. Pratica, esercizi, in buona sostanza calcoli concreti.

 

Premessa per il calcolo degli integrali

 

Se vi ricordate ciò che abbiamo fatto nelle lezioni sulle derivate potete dormire sonni tranquilli, perché qui seguiremo un approccio simile. Per spiegarvi come calcolare gli integrali partiremo da:

 

- la definizione di integrale indefinito e primitiva di una funzione;

 

- il teorema fondamentale del calcolo integrale.

 

Questi due teoremi in linea teorica ci consentono di calcolare qualsiasi integrale. Nella pratica la faccenda è ben più complicata, perché dovremo imparare ad utilizzare parecchie tecniche di calcolo esplicito.

 

Esattamente come nel caso delle derivate, però, le definizioni e i teoremi base ci permettono di fissare i primi mattoncini. Qui vogliamo vedere come usare ciò che abbiamo studiato finora per iniziare a calcolare gli integrali delle funzioni elementari, detti anche integrali fondamentali:

 

- per calcolarne gli integrali indefiniti useremo la semplice definizione di primitiva di una funzione come antiderivata;

 

- per calcolarne gli integrali definiti useremo la combinazione "primitiva come antiderivata + formula fondamentale del calcolo integrale".

 

Come calcolare gli integrali fondamentali

 

Supponiamo di voler calcolare l'integrale indefinito di una funzione elementare f(x)

 

\int f(x)dx

 

Come dobbiamo ragionare per individuare le primitive della funzione integranda f(x)\ ?

 

Ricordando che la primitiva di una funzione ha il significato di antiderivata, cerchiamo una funzione F(x) la cui derivata coincida con f(x)

 

F(x)=?\ \mbox{ t.c. }F'(x)=f(x)

 

e, fatto ciò, scriviamo tutte le primitive della funzione integranda aggiungendo una costante additiva e arbitraria c

 

\int f(x)dx=F(x)+c

 

È quindi superfluo sottolineare che ricordare le derivate notevoli è piuttosto importante in questo frangente.

 

 

Esempi

 

1)\ \int adx

 

Poiché la funzione integranda è costante, f(x)=a, dobbiamo trovare una funzione F(x) la cui derivata sia F'(x)=a. Facile:

 

F'(x)=a\ \to\ \frac{d}{dx}F(x)=a\ \to\ \overbrace{\frac{d}{dx}[ax]=a}^{\mbox{ragionamento}}\ \to\ F(x)=ax

 

Quindi la famiglia di primitive è data da

 

\int cdx=ax+c

 

dove c è una costante additiva che individua tutte le primitive della funzione integranda.

 

 

2)\ \int xdx

 

Ripetiamo il ragionamento precedente: f(x)=x, per cui cerchiamo una funzione F(x) la cui derivata sia F'(x)=x.

 

F'(x)=x\ \to\ \frac{d}{dx}F(x)=x\ \to\ \overbrace{\frac{d}{dx}\left[\frac{x^2}{2}\right]=\frac{1}{2}\cdot 2x=x}^{\mbox{ragionamento}}\ \to\ F(x)=\frac{x^2}{2}

 

Ne ricaviamo che la famiglia di primitive è data da

 

\int xdx=\frac{x^2}{2}+c

 

dove c è una costante additiva arbitraria, da lasciare indicata.

 

 

3)\ \int \sqrt{x}dx

 

Procediamo un po' più veloci: grazie alla definizione di radicale possiamo esprimere la funzione integranda nella forma

 

\int x^{\frac{1}{2}}dx

 

Quindi procediamo con l'usuale ragionamento

 

\\ F'(x)=x^{\frac{1}{2}}\ \to\ \frac{d}{dx}F(x)=x^{\frac{1}{2}}\ \to\ \overbrace{\frac{d}{dx}\left[\frac{x^{\frac{3}{2}}}{\frac{3}{2}}\right]=\frac{1}{\frac{3}{2}}\cdot \frac{3}{2}x^{\frac{3}{2}-1}=x^{\frac{1}{2}}}^{\mbox{ragionamento}}\ \to\ \\ \\ \to\ F(x)=\frac{x^{\frac{3}{2}}}{\frac{3}{2}}=\frac{2}{3}x^{\frac{3}{2}}

 

Ne ricaviamo che la famiglia di primitive è data da

 

\int \sqrt{x}dx=\frac{2}{3}x^{\frac{3}{2}}+c

 

dove c è una costante additiva arbitraria.

 

 

4)\ \int \sin(x)dx

 

Ormai abbiamo intuito come procedere: la funzione che cerchiamo deve avere come derivata il seno di x. Sappiamo che la derivata del coseno è

 

\frac{d}{dx}[\cos(x)]=-\sin(x)

 

per cui consideriamo la derivata del coseno di x cambiato di segno

 

\frac{d}{dx}[-\cos(x)]=\sin(x)

 

e ci siamo:

 

\int \sin(x)dx=-\cos(x)+c

 

dove c è una costante additiva arbitraria.

 

 

E se volessimo calcolare integrali definiti di funzioni elementari?

 

Procediamo con la precedente logica usando nel contempo la formula fondamentale del calcolo integrale:

 

\int_a^b f(x)dx

 

Prima di tutto ci chiediamo se l'integrale ha senso, ossia se la funzione integranda è integrabile sull'intervallo [a,b]. In caso affermativo individuiamo una primitiva della funzione integranda, ossia una funzione F(x) la cui derivata F'(x) coincida con f(x)

 

F(x)=?\ \mbox{ t.c. }F'(x)=f(x)

 

Nel contempo usiamo il teorema fondamentale del calcolo integrale

 

\int_a^b f(x)dx=[F(x)]_a^b=F(b)-F(a)

 

 

Esempi

 

1) \int_1^2 e^x

 

Poniamoci le giuste domande: l'integrale definito ha senso? Sì, perché la funzione f(x) è addirittura continua, e dunque integrabile, sull'intervallo [1,2]. Qual è quella funzione la cui derivata coincide con l'integranda? Poiché

 

\frac{d}{dx}e^x=e^x

 

abbiamo

 

\int e^xdx=e^x+c

 

e dunque, in forza della formula fondamentale del calcolo integrale

 

\int_1^2 e^x=[e^x]_1^2=e^2-e^1

 

 

2)\ \int_{0}^{\pi}\cos(x)

 

L'integrale ha perfettamente senso perché f(x)=\cos(x) è continua su [0,\pi], e la continuità è condizione sufficiente per l'integrabilità, come abbiamo visto nella lezione sulle classi di funzioni integrabili.

 

La funzione che ha come derivata il coseno è il seno di x: \frac{d}{dx}[\sin(x)]=\cos(x), per cui

 

\int_{0}^{\pi}\cos(x)=[\sin(x)]_0^\pi=\sin(\pi)-\sin(0)=0-0=0

 

Il risultato vi sorprende? Non dovrebbe, perché basta pensare al grafico del coseno e all'interpretazione geometrica dell'integrale di Riemann. ;)

 

 

Osservazione (il dx non va mai omesso!)

 

Ogni volta che scriverete un integrale non dimenticate mai di riportare il dx accanto alla funzione integranda. Non scriverlo è un errore formale che viene giustamente punito dai professori con una valutazione nulla degli esercizi!

 

 

Osservazione (integrali non calcolabili esplicitamente)

 

Come vi renderete conto alla fine delle lezioni sugli integrali, c'è un aspetto che viene sottovalutato da molti studenti. Sappiate che non tutti gli integrali possono essere calcolati esplicitamente, o per meglio dire non tutte le funzioni ammettono una primitiva esprimibile in termini di funzioni elementari.

 

Un esempio classico

 

\int e^{x^2}dx

 

Qualunque cosa proviate a fare, non c'è modo di trovare una funzione F(x) che sia una primitiva della funzione integranda e che sia esprimibile mediante funzioni elementari. Per questo genere di integrali l'unica cosa che si può fare è tenerli così come sono, e a seconda degli scopi fare riferimento alla funzione integrale corrispondente

 

F(x)=\int_a^x e^{x^2}dx

 

Tabella degli integrali fondamentali

 

Abbiamo capito qual è la logica che permette di calcolare gli integrali. Questa logica funziona teoricamente per qualsiasi integrale, ma praticamente si applica solo ai cosiddetti integrali notevoli.

 

Ciò che faremo ora è fornirvi una tabella completa degli integrali fondamentali (o integrali notevoli), che vi permetta di calcolare un qualsiasi integrale basilare. Potete usarla per mettervi alla prova con il metodo di integrazione visto in precedenza, oppure per ripassare in vista di una verifica/esame.

 

Non dovrete imparare a memoria tutti gli integrali fondamentali: se acquisite il metodo di calcolo degli integrali indefiniti mediante il metodo dell'antiderivata, il continuo esercizio li imprimerà a caldo nella vostra memoria e nel momento del bisogno li ricorderete in automatico.

 

Attenzione, concentrazione: nella colonna a sinistra trovate gli integrali delle funzioni elementari; in quella di destra la generalizzazione degli integrali notevoli corrispondenti (tali generalizzazioni discendono principalmente da un'applicazione inversa del teorema per la derivata della funzione composta). Per concludere in bellezza in fondo vi proporremo una tabella di integrali che non possono considerarsi "fondamentali", ma che ricorrono spesso e volentieri negli esercizi.

 

 

Integrale notevole

Integrale notevole in forma generale

\int{f'(x)dx}=f(x)+c \int{f'(g(x))\cdot g'(x)dx}=f(g(x))+c

\int{a\cdot dx}=ax+c

 

Integrale di dx

\int{x^n dx}=\frac{x^{n+1}}{n+1}+c

se n\neq -1

 

Integrale di x

 

Integrale di una potenza

 

Integrale di una radice

\int{[f(x)]^nf'(x)dx}=\frac{[f(x)]^{n+1}}{n+1}+c

se n\neq -1

\int{\frac{1}{x}dx}=\ln{(|x|)}+c

 

(vedi "integrale di una potenza")

\int{\frac{f'(x)}{f(x)}dx}=\ln{(|f(x)|)}+c

\int{\sin{(x)}dx}=-\cos{(x)}+c

 

Integrale del seno

\int{\sin{(f(x))}\cdot f'(x)dx}=-\cos{(f(x))}+c

\int{\cos{(x)}dx}=\sin{(x)}+c

 

Integrale del coseno

\int{\cos{(f(x))}\cdot f'(x)dx}=\sin{(f(x))}+c

\int{\frac{1}{\cos^2{(x)}}dx}=\tan{(x)}+c

 

Integrale di 1/cos^2(x)

\int{\frac{1}{\cos^2{(f(x))}}\cdot f'(x)dx}=\tan{(f(x))}+c

\int{\frac{1}{\sin^2{(x)}}dx}=-\cot{(x)}+c

\int{\frac{1}{\sin^2{(f(x))}}\cdot f'(x)dx}=-\cot{(f(x))}+c

\int{e^x dx}=e^x+c

 

Integrale dell'esponenziale

\int{e^{f(x)}\cdot f'(x) dx}=e^{f(x)}+c

\int{a^x dx}=\frac{a^x}{\ln{(a)}}+c

\int{a^{f(x)}\cdot f'(x) dx}=\frac{a^{f(x)}}{\ln{(a)}}+c

\int{\sinh{(x)}dx}=\cosh{(x)}+c

\int{\sinh{(f(x))}\cdot f'(x)dx}=\cosh{(f(x))}+c

\int{\cosh{(x)}dx}=\sinh{(x)}+c

\int{\cosh{(f(x))}\cdot f'(x)dx}=\sinh{(f(x))}+c

\int{\frac{1}{1+x^2}dx}=\arctan{(x)}+c

\int{\frac{1}{1+[f(x)]^2}\cdot f'(x)dx}=\arctan{(f(x))}+c

\int{\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}dx}=\arcsin{(x)}+c

\int{\frac{1}{\sqrt{1-[f(x)]^2}}\cdot f'(x)dx}=\arcsin{(f(x))}+c

\int{\frac{-1}{\sqrt{1-x^2}}dx}=\arccos{(x)}+c

\int{\frac{-1}{\sqrt{1-[f(x)]^2}}\cdot f'(x)dx}=\arccos{(f(x))}+c

 

Somme di integrali fondamentali e prodotto per una costante

 

A ben vedere conoscere gli integrali fondamentali e ricordare le proprietà degli integrali è un ottimo punto di partenza per il calcolo integrale, perché ci consente di calcolare integrali che coinvolgono somme e prodotti per una costante.

 

Esempio

 

\int\left(\frac{x}{2}+\cos(x)+\pi e^x\right)dx=

 

Grazie all'additività possiamo riscrivere l'integrale della somma come la somma dei singoli integrali

 

=\int \frac{x}{2}dx+\int \cos(x)dx+\int \pi e^xdx=

 

A questo punto ci ricordiamo che l'integrale è omogeneo, per cui possiamo portare fuori i coefficienti numerici

 

=\frac{1}{2}\int xdx+\int \cos(x)dx+\pi\int e^xdx=

 

Per concludere applichiamo il solito metodo sui singoli integrali

 

\\ =\frac{1}{2}\cdot \frac{x}{2}+c_1+\sin(x)+c_2+\pi e^x+c_3=\\ \\ =\frac{x}{4}+\sin(x)+\pi e^x+c

 

Come potete notare abbiamo riportato un'unica costante additiva che racchiude le costanti additive di ogni singolo integrale.

 

Tabella degli integrali non notevoli, ma ricorrenti!

 

Dato che conosciamo bene le esigenze degli studenti, passiamo ora in rassegna un elenco di integrali che non sono fondamentali, in quanto vanno con le varie tecniche di integrazione che vedremo nel seguito, ma che sono comunque di particolare interesse e che spesso ricorrono negli esercizi e negli esami.

 

Nota bene: attenzione a quel che dice il vostro professore! Alcuni degli integrali che seguono potrebbero esser dati per buoni nel vostro particolare corso/classe!

 

Per non appesantire troppo l'elenco, evitiamo di riportare la generalizzazione dell'integrale. ;)

 

 

\int{|x|dx}=\frac{x|x|}{2}+c

 

Integrale del valore assoluto

\int{\frac{1}{1-x^2}dx}=\frac{1}{2}\ln{\left|\frac{1+x}{1-x}\right|}+c
\int{\frac{1}{\sqrt{x^2+1}}dx}=\ln{(x+\sqrt{1+x^2})}+c

\int{\frac{1}{\sqrt{x^2-1}}dx}=\ln{|x+\sqrt{x^2-1}|}+c

\int{\frac{1}{\sqrt{x^2\pm a^2}}dx}=\ln{(|x+\sqrt{x^2\pm a^2}|)}+c
\int{\sqrt{x^2\pm a^2}dx}=\frac{x}{2}\sqrt{x^2\pm a^2}\pm \frac{a^2}{2}\ln{(x+\sqrt{x^2\pm a^2})}+c

\int{\sqrt{a^2-x^2}dx}=\frac{1}{2}\left(a^2\arcsin{\left(\frac{x}{a}\right)}+x\sqrt{a^2-x^2}\right)+c

 

Esempio: integrale di sqrt(1-x^2)

\int{\frac{1}{\sqrt{a+bx}}dx}=\frac{2}{b}\sqrt{a+bx}+c
\int{\sqrt{a+bx}dx}=\frac{2}{3b}\sqrt{(a+bx)^3}+c
\int{\frac{1}{a+bx^2}dx}=\frac{1}{\sqrt{ab}}\arctan{\left(\sqrt{\frac{b}{a}}x\right)}+c\mbox{ con }a>0,\ b>0
\int{\frac{1}{a-bx^2}dx}=\frac{1}{2\sqrt{ab}}\ln{\left(\left|\frac{\sqrt{ab}+bx}{\sqrt{ab}-bx}\right|\right)}+c\mbox{ con }a>0,\ b>0

\int{\frac{1}{ax^2+bx+c}dx}=\frac{1}{\sqrt{b^2-4ac}}\ln{\left(\left|\frac{2ax+b-\sqrt{b^2-4ac}}{2ax+b+\sqrt{b^2-4ac}}\right|\right)}+c

 

se b^2-4ac>0\mbox{ e }a>0

\int{\frac{1}{ax^2+bx+c}dx}=\frac{2}{\sqrt{4ac-b^2}}\arctan{\left(\frac{2ax+b}{\sqrt{4ac-b^2}}\right)}+c

 

se b^2-4ac<0\mbox{ e }a>0

\int{\ln{(x)}dx}=x\ln{(x)}-x+c

 

Integrale del logaritmo

\int{\log_{a}{(x)}dx}=x\log_a{(x)}-x\log_{a}{(e)}+c

\int{\tan{(x)}dx}=-\ln{(|\cos{(x)}|)}+c

 

Integrale della tangente

\int{\cot{(x)}dx}=\ln{(|\sin{(x)}|)}+c

 

Integrale della cotangente

\int{\csc{(x)}dx}=\log{\left(\left|\tan{\left(\frac{x}{2}\right)}\right|\right)}+c

 

Integrale della cosecante

\int{\sec{(x)}dx}=\log{\left(\left|\tan{\left(\frac{x}{2}+\frac{\pi}{4}\right)}\right|\right)}+c

 

Integrale della secante

\int{\sin^2{(x)}dx}=\frac{1}{2}(x-\sin{(x)}\cos{(x)})+c

 

Integrale del seno al quadrato

\int{\cos^2{(x)}dx}=\frac{1}{2}(x+\sin{(x)}\cos{(x)})+c

 

Integrale del coseno al quadrato

\int{\frac{1}{1+\cos{(x)}}dx}=\tan{\left(\frac{x}{2}\right)}+c

\int{\frac{1}{1-\cos{(x)}}dx}=-\cot{\left(\frac{x}{2}\right)}+c

\int{\arcsin{(x)}dx}=x\arcsin{(x)}+\sqrt{1-x^2}+c

 

Integrale dell'arcoseno

\int{\arccos{(x)}dx}=x\arccos{(x)}-\sqrt{1-x^2}+c

\int{\arctan{(x)}dx}=x\arctan{(x)}-\frac{1}{2}\ln{(1+x^2)}+c

 

Integrale dell'arcotangente

\int{\mbox{arccot}(x)dx}=x\mbox{arccot}(x)+\frac{1}{2}\ln{(1+x^2)}+c

\int{\frac{1}{\cosh^2{(x)}}dx}=\tanh{(x)}+c
\int{\mbox{sech}(x)dx}=\arctan{(\sinh{(x)})}+c

\int{\mbox{coth}(x)dx}=\ln{(|\sinh{(x)}|)}+c

\int{\mbox{tanh}(x)dx}=\ln{(\cosh{(x)})}+c

\int{\mbox{csch}(x)dx}=\ln{\left(\left|\tanh{\left(\frac{x}{2}\right)}\right|\right)}+c

 

 

Ragazzuoli non spaventatevi: gli integrali ricorrenti sono tantissimi, ma non vanno saputi a memoria! Volendo potete tralasciarli completamente. Noi abbiamo deciso di riportarli per completezza, l'uso che ne vorrete fare dipende solo da voi. ;)

 

 


 

Non perdetevi la prossima lezione! ;) Inoltre sappiate che qui su YM ci sono due comodissimi tools per gli integrali indefiniti online e per gli integrali definiti online, oltre a tonnellate di esercizi svolti che potete reperire con la barra di ricerca interna.

 

 

Namasté!

Fulvio Sbranchella (Agente Ω)

 

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