Integrali di funzioni razionali

Gli integrali di funzioni razionali sono integrali di funzioni date dal rapporto tra due polinomi. Tra le varie tecniche di risoluzione che permettono di calcolarli, il metodo dei fratti semplici è quello più comunemente utilizzato, ove applicabile.

 

In questa lezione faremo vedere come si calcolano gli integrali di funzioni razionali fratte. Prestate molta attenzione perché si tratta di un argomento fondamentale per tutti gli studenti delle scuole superiori e degli universitari.

 

Per darvi un quadro completo passeremo in rassegna tutti i metodi di calcolo degli integrali di funzioni razionali, soffermandoci in particolare sulla tecnica dei fratti semplici. L'unico caso che non tratteremo qui è quello degli integrali con delta negativo, cui abbiamo dedicato la lezione successiva.

 

Cosa sono gli integrali di funzioni razionali

 

Cominiciamo col ripassare una definizione fondamentale: quella di funzione razionale.

 

Definizione di funzione razionale

 

Diciamo che f(x) è una funzione razionale se è data dal rapporto tra due polinomi N(x),D(x), ossia se è della forma

 

f(x)=\frac{N(x)}{D(x)}

 

In particolare se D(x) è un polinomio di grado zero, ossia una costante, allora f(x) si dirà funzione razionale intera; se invece il denominatore D(x) ha grado maggiore di zero, allora chiameremo f(x) funzione razionale fratta.

 

Alla luce della precedente definizione si capisce subito che l'espressione integrali di funzioni razionali si riferisce agli integrali della forma

 

\int \frac{N(x)}{D(x)}dx

 

Poiché il caso delle funzioni razionali intere è banale (integrali fondamentali - si tratta di saper integrare un polinomio), noi ci soffermeremo sul caso degli integrali di funzioni razionali fratte. In altri termini supporremo che N(x) sia un polinomio di grado n\geq 0 e che D(x) sia un polinomio di grado m\geq 1.

 

Esempi di integrali razionali sono:

 

\int \frac{3+4x^3}{2x^2+3x-1}dx\qquad \int \frac{x^2+3}{x^2+2x+1}dx\qquad \int \frac{x+1}{x^2+4x+1}dx

 

Come calcolare gli integrali di funzioni razionali

 

I tre esempi appena riportati, nonostante appartengano alla stessa tipologia, non si risolvo allo stesso modo. Per ognuno di essi è necessario applicare una tecnica diversa. La classificazione dei metodi di risoluzione per gli integrali di funzioni razionali avviene in base al confronto dei gradi al numeratore e al denominatore.

 

Caso 1 - funzioni razionali con numeratore di grado maggiore o uguale al denominatore

 

\int \frac{N(x)}{D(x)}dx\ \ \ \mbox{con }\mbox{deg}(N)\geq \mbox{deg}(D)

 

Se il grado del polinomio al numeratore è maggiore o uguale al grado del polinomio al denominatore dobbiamo effettuare la divisione polinomiale tra numeratore e denominatore, così da determinare il polinomio quoziente Q(x), di grado minore a quello di N(x), ed il polinomio resto R(x), di grado minore di quello di D(x):

 

N(x)= Q(x)D(x)+R(x)

 

In questo modo, sostituendo tale espressione nella funzione integranda

 

\frac{N(x)}{D(x)}= \frac{Q(x)D(x)+R(x)}{D(x)}= Q(x)+\frac{R(x)}{D(x)}

 

possiamo riscrivere l'integrale nella forma

 

\int \frac{N(x)}{D(x)}dx= \int Q(x)dx+\int \frac{R(x)}{D(x)}dx\ \ \ (\heartsuit)

 

Abbiamo espresso l'integrale di partenza come una somma di integrali di più facile risoluzione. Osserviamo che il primo integrale è di tipo polinomiale ed è praticamente immediato.

 

Il secondo è un integrale di una funzione razionale fratta con grado del numeratore minore del grado del denominatore: esso ricade nel caso 2, di cui ci occupiamo or ora. Prima però vediamo un semplice esempio.

 

Esempio

 

\int \frac{x^2+1}{x+1}dx

 

La funzione integranda è razionale fratta ed il grado del numeratore è maggiore del grado al denominatore. Ricadiamo quindi nel caso 1).

 

Dobbiamo effettuare la divisione polinomiale così da ottenere il polinomio quoziente e il resto. Facendo i conti, il polinomio quoziente è Q(x)=x-1, mentre il polinomio resto è R(x)=2. Applichiamo ora la formula (\heartsuit)

 

\int \frac{x^2+1}{x+1}dx= \int x-1+\frac{2}{x+1}dx

 

e passiamo così ad un nuovo integrale, che fortunatamente ;) per noi è semplice da calcolare. È sufficiente ricordare le proprietà degli integrali

 

\int \left(x-1+\frac{2}{x+1}\right)dx= \int x dx-\int 1 dx+\int\frac{2}{x+1}dx=

 

L'integrale rimanente è notevole

 

=\frac{x^2}{2}-x+2\ln|x+1|+k

 

Caso 2: funzioni razionali con numeratore di grado minore del denominatore

 

Quando abbiamo di fronte un integrale di una funzione razionale fratta in cui il grado del denominatore è maggiore di quello del numeratore ci sono essenzialmente tre possibili sotto-casi.

 

 

\\ 2.A)\ \ \ \int \frac{N(x)}{D(x)}dx\ \ \ \mbox{con }\mbox{deg}(N)=0,\ \mbox{deg}(D)=1\\ \\ \\ 2.B)\ \ \ \int \frac{N(x)}{D(x)}dx\ \ \ \mbox{con }\begin{cases}\mbox{deg}(N)=0,\ \mbox{deg}(D)=2\\ \mbox{oppure}\\ \mbox{deg}(N)=1,\ \mbox{deg}(D)=2\end{cases}\ \ \mbox{ e }\Delta_D<0\\ \\ \\ 2.C)\ \ \ \mbox{Tutti gli altri casi per cui deg}(N)<\mbox{deg}(D)

 

 

Più esplicitamente

 

 

\\ 2.A)\ \ \ \int \frac{A}{Bx+C}dx\\ \\ \\ 2.B)\ \ \ \begin{cases}\int \frac{A}{Bx^2+Cx+D}dx\\ \\ \int\frac{Ax+E}{Bx^2+Cx+D}dx\end{cases}\ \ \mbox{ con }C^2-4BD<0\\ \\ \\ 2.C)\ \ \ \mbox{Tutti gli altri casi per cui deg}(N)<\mbox{deg}(D)

 

 

2.A) Qui avremo sempre a che fare con un integranda che ammette una primitiva logaritmica, dunque un integrale fondamentale, esattamente come nell'esempio visto in precedenza.

 

2.B) Ricordiamo che \Delta_D indica il discriminante dell'equazione associata al polinomio D(x). Tale eventualità va sotto il nome di integrali di funzioni razionali con delta negativo, e per non appesantire troppo la lezione ce ne occuperemo nella successiva. Il metodo di risoluzione è infatti calcolotico e delicato.

 

2.C) Per tutti gli altri casi con grado del numeratore minore del grado del denominatore bisogna procedere con il metodo di integrazione dei fratti semplici.

 

Metodo di integrazione dei fratti semplici

 

Il metodo consiste sostanzialmente nell'esprimere la funzione integranda come somma di funzioni razionali fratte i cui integrali sono noti.

 

Per prima cosa dobbiamo prendere in considerazione il polinomio al denominatore, D(x). Poiché è un polinomio a coefficienti reali allora per esso vale il seguente teorema, di cui non riportiamo la dimostrazione (non è questa la sede più adatta).

 

Teorema sulla fattorizzazione in R di un polinomio a coefficienti reali

 

Un polinomio di grado maggiore di 2 e a coefficienti reali si fattorizza come prodotto di potenze di polinomi di grado al più 2, dove i fattori di secondo grado hanno discriminante negativo. 

 

In poche parole, nella scomposizione di un polinomio a coefficienti reali appaiono 4 tipi di fattori:

 

x-a (in questo caso diremo che a ha molteplicità 1);

 

(x-a)^n (in questo caso diremo che la radice a ha molteplicità n);

 

x^2+a x+b con discriminante associato minore di 0;

 

(x^2+a x+b)^n con discriminante associato minore di 0.

 

Vediamo qualche esempio veloce.

 

Esempi di fattorizzazione

 

\begin{align*} a)\quad x^6-1&=(x^3)^2-1\\ \\ &= (x^3-1)(x^3+1)\\ \\ &=(x-1)(x^2+x+1)(x+1)(x^2-x+1)\end{align}

 

 Abbiamo quattro fattori, due sono polinomi di primo grado, gli altri sono polinomi di secondo grado.

 

\begin{align*}b) \quad x^5-x^4-x^2+x&=x (x^4-x^3-x+1)\\ \\ &= x[x^3(x-1)-(x-1)]\\ \\ &= x(x-1)(x^3-1)\\ \\ &= x (x-1)^2(x^2+x+1)\end{align}

 

Se non doveste ricordare come fattorizzare i polinomi, vi suggeriamo un ripasso dei prodotti notevoli. Con queste premesse possiamo arrivare la metodo dei fratti semplici vero e proprio.

 

Come abbiamo detto in precedenza, il metodo dei fratti semplici consiste nello scrivere la funzione razionale fratta in somme di frazioni facili da integrare. Prima elenchiamo i passi da seguire in astratto, dopodiché applichiamo il metodo in alcuni esempi.

 

 

1. Scomporre il polinomio al denominatore, cioè D(x), come prodotto di fattori lineari e/o quadratici con discriminante associato minore di 0.

 

 

2. Associare a ciascun fattore trovato nella fattorizzazione del polinomio D(x) il fratto corrispondente. Per capire che tipo di frazione, facciamo riferimento alla seguente tabella

 

 

Se nella fattorizzazzione appare

Associamo

x-a_i \frac{A_i}{x-a_i}

(x-a_i)^n

\frac{A_{i,1}}{(x-a_i)}+\frac{A_{i,2}}{(x-a_i)^2}+...+\frac{A_{i,n}}{(x-a_i)^n}

x^2+a_i x+b_i

 

con \Delta\,\textless 0

\frac{A_i x+B_i}{x^2+ a_i x +b_i}

(x^2+a_i x+ b_i)^n

 

con \Delta\,\textless 0

\frac{A_{i,1} x+B_{i,1}}{x^2+a_i x+b_i}+\frac{A_{i,2} x+B_{i,2}}{(x^2+ a_i x +b_i)^2}+...+\frac{A_{i,n} x +B_{i,n}}{(x^2+ a_{i} x +b_i)^n}

 

 

Non esistono ulteriori casi: ce lo assicura proprio il teorema sulla fattorizzazione dei polinomi a coefficienti reali che abbiamo enunciato poco sopra.

 

 

3. Determinare le costanti reali che compaiono nei fratti semplici. Per farlo è necessario impostare un sistema lineare, che possiamo costruire grazie al principio di identità dei polinomi.

 

 

4. Integrare i fratti semplici ottenuti. Essi saranno degli integrali elementari, o comunque di facile risoluzione. 

 

 

Esempio di integrazione per fratti semplici

 

\int \frac{1}{x^3-x^2}dx

 

In questo caso l'integrale di una funzione razionale in cui il grado del numeratore è minore del grado del polinomio al denominatore, ed inoltre abbiamo:

 

\mbox{deg}(N)=0,\ \mbox{deg}(D)=3

 

per cui dobbiamo procedere con il metodo dei fratti semplici.

 

Passo 1. Fattorizziamo il polinomio al denominatore:

 

x^3-x^2= x^2(x-1)

 

Passo 2. A ciascun fattore associamo il relativo fratto semplice:

 

\\ \mbox{a }x^2 \mbox{ associamo } \frac{A}{x}+\frac{B}{x^2}\\ \\ \\ \mbox{a } x-1 \mbox{ associamo } \frac{C}{x-1}

 

Passo 3.  Dobbiamo determinare le costanti A, B e C di modo che:

 

\frac{1}{x^3-x^2}= \frac{A}{x}+\frac{B}{x^2}+\frac{C}{x-1}

 

Svolgiamo il calcolo con le frazioni algebriche coinvolte (tralasciamo i semplici passaggi):

 

\frac{1}{x^3-x^2}= \frac{(A+C)x^2+(B-A)x-B}{x^2(x-1)}

 

Il denominatore può essere semplificato, ottenendo l'uguaglianza:

 

(A+C)x^2+(B-A) x-B=1

 

Il principio di identità dei polinomi ci permette di costruire il seguente sistema lineare:

 

\begin{cases}A+C=0\\ B-A= 0\\ -B=1\end{cases}

 

Risolvendo il sistema otteniamo la terna di soluzioni

 

A= -1\,\, B=-1\,\, C=1

 

e, grazie ai fratti semplici, la funzione integranda può essere espressa nella forma:

 

 \frac{1}{x^3-x^2}= \frac{-1}{x}+\frac{-1}{x^2}+\frac{1}{x-1}

 

Passo 4. Calcoliamo l'integrale. Notiamo che non c'è più nulla di complicato a questo livello:

 

\begin{align*}\int \left(-\frac{1}{x}-\frac{1}{x^2}+\frac{1}{x-1}\right)dx&= -\int \frac{1}{x}dx-\int \frac{1}{x^2}dx+\int \frac{1}{x-1}dx\\ \\ &= -\ln|x|+\frac{1}{x}+\ln|x-1|+k\end{align}

 

 


 

Servono altri esempi? Volete cimentarvi con un po' di integrali di funzioni fratte? Su YM ne potete trovare a centinaia e tutti interamente risolti, un buon punto di partenza è dato dalla scheda correlata di esercizi svolti.

 

Nel caso non bastassero potete sempre ricorrere alla barra di ricerca interna, e in caso di necessità ricordate che c'è anche un tool per calcolare gli integrali online.

 

 

Buona Matematica a tutti!

Salvatore Zungri (Ifrit)

 

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