Integrali per parti

La formula di integrazione per parti (o teorema) è un utile risultato della teoria degli integrali secondo Riemann che permette di calcolare agevolmente integrali definiti e indefiniti, nel caso in cui l'integranda sia data dal prodotto di funzioni in cui una delle due è una derivata facile da integrare.

 

Lo sappiamo, la precedente frase potrebbe suonare strana ai meno esperti. In realtà non lo è: tra pochissimo vedremo come usare la regola che discende dal teorema di integrazione per parti, e soprattutto come fare per capire quando è opportuno usarla oppure no.

 

Formula di integrazione per parti

 

Esistono due varianti della tecnica di integrazione per parti. La prima riguarda gli integrali definiti, la seconda gli integrali indefiniti. In linea di massima conviene ricordarle entrambe per due motivi: innanzitutto perché non sono così diverse l'una dall'altra; in secondo luogo, anche se potremmo limitarci a quella per gli integrali indefiniti e poi applicare il teorema fondamentale del calcolo integrale, nella pratica tale approccio potrebbe risultare scomodo.

 

Integrazione per parti per integrali definiti

 

Siano f,g:[a,b]\to \mathbb{R} due funzioni continue e supponiamo che le loro derivate siano pure continue su [a,b]. Allora

 

\int_{a}^{b}{f(x)g'(x)dx}=f(b)g(b)-f(a)g(a)-\int_{a}^{b}{f'(x)g(x)dx}

 

Integrazione per parti per integrali indefiniti

 

Applicando la precedente formula al caso di un intervallo [a,x]\subseteq [a,b] abbiamo subito la formula di integrazione per parti per gli integrali indefiniti


\int{f(x)g'(x)dx}=f(x)g(x)-\int{f'(x)g(x)dx}+c


dove c è una costante arbitraria.

 

Significato della formula di integrazione per parti

 

Sostanzialmente, la regola per gli integrali per parti fornisce un metodo di calcolo ben preciso. Se dobbiamo calcolare l'integrale di un prodotto di due funzioni f,g', di cui g' è la derivata di una terza funzione g, allora possiamo passare a calcolare un nuovo integrale, in cui sostituiamo la derivata g' con la sua primitiva g e la funzione f con la sua derivata f'.

 

Ritrovate queste parole nella formula di integrazione per parti nel caso indefinito?

 

\int{f(x)g'(x)dx}=f(x)g(x)-\int{f'(x)g(x)dx}+c

 

Un modo più compatto per ricordare la logica di integrazione per parti, anche se particolarmente criptico, consiste nel ricordare il seguente schema

 

 

Integrale (Primitiva1 · Derivata2) = Primitiva1 · Primitiva2 - Integrale (Derivata1 · Primitiva2)

 

 

Il senso pratico della formula di integrazione per parti, o meglio il principio che dovrebbe indurci ad usarla, consiste in due punti:

 

1) individuare la Primitiva2 della Derivata2 non deve essere un bagno di sangue;

 

2) passare ad un integrale più semplice da calcolare rispetto al precedente, altrimenti quale sarebbe l'utilità del teorema? ;)

 

 

Esempio

 

Supponiamo di voler calcolare l'integrale

 

\int_{0}^{1}{xe^xdx}

 

Così, su due piedi, non sapremmo come fare. Qui la tecnica base dell'antiderivata che abbiamo studiato nella lezione sugli integrali fondamentali non basta. Se però proviamo ad integrare per parti, e prendiamo

 

\\ g'(x)=e^{x}\ \to\ g(x)=e^{x}\\ \\ f(x)=x\ \to\ f'(x)=1

 

otteniamo come prodotto nel nuovo integrale

 

f'(x)g(x)=e^{x}

 

e dunque

 

\int_{0}^{1}{xe^xdx}=[xe^x]_{0}^{1}-\int_{0}^{1}{1\cdot e^xdx}=(\bullet)

 

Il nuovo integrale che abbiamo ricavato è nettamente più semplice di quello di partenza:

 

(\bullet)=1\cdot e-0\cdot e^0-[e^x]_0^1=e-[e^1-e^0]=1

 

Come usare la formula di integrazione per parti

 

Prima di buttarci negli esempi e nei casi particolari, abbiate fiducia e leggete il seguente schemino con le indicazioni generali da adottare per calcolare gli integrali per parti.

 

Supponiamo di dover o voler calcolare un integrale per parti (perché dovremmo volerlo? Di questo ce ne occupiamo tra poco). Il procedimento da seguire consiste di diversi passaggi e lo analizziamo nel caso indefinito.

 

1) Riconoscere le due funzioni che costituiscono l'integranda come un prodotto di due funzioni.

 

2) Individuare, tra le due, la derivata g'(x) e la primitiva f(x). Come si può fare? Il principio è molto semplice, e l'esperienza la fa da padrona.

 

2.a) La derivata da individuare, g'(x), deve avere una primitiva g(x) immediata da calcolare.

 

2.b) La primitiva f(x) deve avere una derivata f'(x) che semplificherà il nuovo integrale. Può essere di grande aiuto immaginarsi, o scrivere a parte, il prodotto

 

g(x)f'(x)

 

che sarà l'integranda nel nuovo integrale. È facile da integrare? Se sì, buttatevi e non esitate. ;)

 

3) Applicare la formula.

 

Notate come, nell'esempio visto poche righe sopra

 

\int_{0}^{1}{xe^xdx}

 

siano soddisfatte le "condizioni di utilizzo" 2.a) e 2.b).

 

Come si capisce se e quando integrare per parti

 

Purtroppo non è possibile dare un ricettario che permetta di andare a colpo sicuro con un qualsiasi integrale, anche perché molto spesso vi sono più strade percorribili, ma ci proviamo lo stesso.

 

A) Se l'integranda è il prodotto di due funzioni conviene raddrizzare le antenne, è probabile che convenga procedere per parti.

 

B) Se l'integranda è il prodotto di due funzioni, e una di queste è la derivata di una primitiva immediata (funzioni esponenziali, trigonometriche, potenze di x, e così via), allora vale la pena di fare un tentativo.

 

C) Se l'integranda è il prodotto di due funzioni e, derivandone una delle due (la candidata f(x) ), si ottiene un nuovo integrale semplice moltiplicando f'(x) per la primitiva g(x) dell'altra, allora ci si può fare un pensierino.

 

D) Nei casi particolarissimi che vediamo alla fine di questa lezione.

 

Esempi di applicazione della formula per parti

 

Sotto con gli esempi sugli integrali per parti! Come sempre ciò che conta e comprendere e digerire la logica, in modo da poterla utilizzare nella risoluzione degli esercizi.

 

 

Esempio 1

 

Immaginiamo di voler calcolare

 

\int{x^2\ln{(x)}dx}

 

In questo caso sono soddisfatte tutte e tre le eventualità A), B), C), infatti possiamo ricavare agilmente una primitiva di g'(x)=x^2

 

g'(x)=x^2\ \ \to\ \ g(x)=\frac{x^3}{3}

 

ed inoltre la funzione f(x)=\ln{(x)} è molto semplice da derivare (eventualmente si veda derivate fondamentali)

 

f(x)=\ln(x)\ \ \to\ \ f'(x)=\frac{1}{x}

 

E a proposito del prodotto g(x)f'(x)\ ? Se lo calcoliamo a parte, prima di partire a razzo, vediamo che

 

f'(x)g(x)=\frac{x^3}{3}\cdot \frac{1}{x}=\frac{x^2}{3}

 

Di conseguenza la formula per parti ci condurrebbe ad un integrale semplicissimo. Vale la pena di applicarla:

 

\\ \int{x^2\ln{(x)}dx}=\frac{x^3}{3}\ln{(x)}-\int{\frac{x^3}{3}\cdot\frac{1}{x}dx}+c=\\ \\ \\ =\frac{x^3}{3}\ln{(x)}-\int{\frac{x^2}{3}dx}+c

 

Facile, no? :)

 

 

Esempio 2

 

Scherzetto! Non vi proponiamo solo un altro esempio, ma molti altri. Poiché non vogliamo appesantire troppo la lezione, a fine lettura vi raccomandiamo di consultare la scheda correlata di esercizi svolti sugli integrali per parti. Lì potrete leggere esempi su esempi, fino allo sfinimento. ;)

 

Integrare per parti due o più volte

 

Certi integrali possono richiedere più di una applicazione della formula per parti. Tipicamente il caso principale in cui bisogna reiterare l'integrazione per parti è quello in cui abbiamo funzioni con derivate cicliche, come ad esempio l'esponenziale y=e^{x} oppure seni e coseni.

 

Inoltre, quando nell'integranda la funzione da derivare si semplifica in più passi di derivazione, come nel caso delle potenze di x, che perdono un grado ad ogni iterazione.

 

Consideriamo ad esempio

 

\int{x^3\cos{(x)}dx}

 

Proviamo scegliendo:

 

\\ g'(x)=\cos(x)\\ \\ f(x)=x^3

 

e applichiamo il teorema di integrazione per parti nel caso indefinito. Calcoliamo la derivata f'(x) e una primitiva g(x) a parte

 

\\ g(x)=\sin(x)\\ \\ f'(x)=3x^2

 

Quindi ricaviamo

 

\int{x^3\cos{(x)}dx}=x^3\sin{(x)}-\int{3x^2\sin{(x)}dx}

 

Limitiamoci a considerare il nuovo integrale, tralasciando il primo addendo (per non appesantire troppo la spiegazione) e applicando una semplice proprietà degli integrali

 

3\int{x^2\sin{(x)}dx}

 

e scegliamo di applicare la formula una seconda volta, considerando

 

\\ g'(x)=\sin(x)\\ \\ f(x)=x^2

 

da cui le relative primitiva e derivata

 

\\ g(x)=-\cos(x)\\ \\ f'(x)=2x

 

e, grazie alla formula

 

\\ 3\int{x^2\sin{(x)}dx}=3\left[x^2(-\cos{(x)})-\int{2x(-\cos{(x)})dx}\right]=\\ \\ =-3x^2\cos{(x)}+6\int{x\cos{(x)}dx}

 

Per concludere in bellezza, rimane da calcolare

 

6\int{x\cos{(x)}dx}

 

e il completamento dell'esempio viene lasciato a voi, care lettrici e cari lettori. :)

 

 

Osservazione (il rischio della tecnica di integrazione per parti reiterata)

 

La distrazione è sempre dietro l'angolo in Matematica. Nel momento in cui reiteriamo la formula per parti, quando la catena ci conduce al risultato finale e dobbiamo ricomporre tutti i risultati ottenuti nelle varie iterazioni, attenzione a non perdere per strada coefficienti e segni!

 

Integrali per parti particolarissimi

 

Per concludere, ci occupiamo di due tipi di integrali molto particolari che si possono integrare per parti, anche se non si direbbe: i finti prodotti e gli integrali che conducono ad equazioni.

 

Finti prodotti

 

Nel caso di molte funzioni elementari, volendone determinare le primitive non siamo in grado di procedere con nessuno dei metodi che conosciamo. È ciò che capita quando ad esempio vogliamo integrare il logaritmo naturale e l'arcotangente

 

\int{\ln{(x)}dx}\ \ \ ;\ \ \ \int{\arctan{(x)}dx}

 

In questi casi sembra che non si possa nemmeno effettuare il calcolo per parti, perché non abbiamo dei prodotti. Sembra, ma non è così. Se il prodotto non c'è, lo facciamo saltare fuori. Possiamo infatti considerare come secondo fattore

 

g'(x)=1

 

e integrare per parti prendendo proprio come derivata

 

g'(x)=1\ \to\ g(x)=x

 

indi per cui, ad esempio

 

\int \ln(x)dx=\int 1\cdot \ln(x)dx

 

Scegliamo come derivata e primitiva

 

\\ g'(x)=1\\ \\ f(x)=\ln(x)

 

da cui le corrispondenti primitiva e derivata

 

\\ g(x)=x\\ \\ f'(x)=\frac{1}{x}

 

e in definitiva

 

\\ \int\ln(x)dx=\int{1\cdot \ln{(x)}dx}=x\ln{(x)}-\int{x\cdot \frac{1}{x}dx}=\\ \\ =x\ln{(x)}-\int{1dx}=x\ln{(x)}-x+c

 

Integrali per parti che conducono ad equazioni

 

Nei casi in cui l'integranda sia costituita dal prodotto di due funzioni con derivate cicliche, l'integrazione per parti non conduce ad un integrale calcolabile direttamente, ma con una doppia integrazione possiamo giungere ad un integrale che coincide con quello di partenza. A questo punto si può trattare l'uguaglianza come un'equazione.

 

Consideriamo ad esempio

 

\\ \int{e^x\sin{(x)}dx}=e^{x}\sin{(x)}-\int{e^x\cos{(x)}dx}=\\ \\ =e^{x}\sin{(x)}-\left[e^{x}\cos{(x)}-\int{e^x(-\sin{(x)})dx}\right]=\\ \\ = e^{x}\sin{(x)}-e^{x}\cos{(x)}-\int{e^x\sin{(x)}dx}

 

Riscrivendo l'uguaglianza costituita dal primo e dall'ultimo termine della catena come un'equazione nell'incognita

 

I=\int{e^x\sin{(x)}dx}

 

passiamo all'equazione

 

I=e^{x}\sin{(x)}-e^{x}\cos{(x)}-I

 

e ricaviamo

 

\\ 2I=e^{x}\sin{(x)}-e^{x}\cos{(x)}\\ \\ I=\frac{1}{2}e^{x}(\sin{(x)}-\cos{(x)})

 

Ops! Ci siamo dimenticati della costante additiva: rimediamo subito

 

\int{e^x\sin{(x)}dx}=\frac{1}{2}e^{x}(\sin{(x)}-\cos{(x)})+c

 

 


 

Con questo è tutto, ragazzuoli. Ricordatevi che c'è una scheda di esercizi risolti che vi aspetta, e che potrete sempre fare affidamento al tool per gli integrali indefiniti online e a quello per gli integrali definiti online. Inoltre in caso di dubbi o di difficoltà, o per consultare migliaia e migliaia di esercizi, avete sempre a disposizione la barra di ricerca interna. ;)

 

 

Gule gule, see you soon guys!

Fulvio Sbranchella (Agente Ω)

 

Lezione precedente..........Esercizi correlati...........Lezione successiva


 

pba1