Partizione di un intervallo

Una partizione di un intervallo è un insieme i cui elementi sono sottoinsiemi dell'intervallo, e tali da godere di due proprietà: essere disgiunti a due a due e avere un'unione che coincide con l'intervallo dato.

 

La definizione di partizione di un intervallo è un presupposto essenziale per poter affrontare la teoria dell'integrazione secondo Riemann, ed è un prerequisito che consolideremo nel corso di questa lezione.

 

Come vedremo tra un istante, in realtà è possibile definire la nozione di partizione di un insieme qualsiasi e successivamente restringere tale definizione al contesto degli intervalli reali.

 

Definizione di partizione di un insieme

 

Sia X\neq \emptyset un insieme qualsiasi. Definiamo partizione dell'insieme X, e la indichiamo con P, una famiglia di sottoinsiemi di X - ossia un sottoinsieme dell'insieme delle parti di X

 

P\subset \mathbb{P}(X)

 

che soddisfa le seguenti proprietà:

 

1) l'unione degli elementi della partizione coincide con l'insieme: \cup_{A\in P}{A}=X;

 

2) gli insiemi della partizione sono a due a due disgiunti: A\cap B=\emptyset per ogni A,B\in P con A\neq B.

 

Nel caso degli intervalli la definizione di partizione si caratterizza facilmente.

 

Definizione di partizione di un intervallo

 

Dato un intervallo I=[a,b]\subset \mathbb{R} finito, ossia con -\infty<a<b<+\infty, chiamiamo partizione dell'intervallo I una qualsiasi famiglia di sottointervalli

 

\{I_i\}_{i=1}^{n}\subset \mathbb{P}(I)

 

tali che:

 

1) l'unione dei sottointervalli della famiglia coincide con l'intervallo: \cup_{i=1}^{n}{I_i}=I;

 

2) i sottointervalli della partizione sono a due a due disgiunti: I_i\cap I_j=\emptyset per ogni i\neq j.

 

In modo del tutto equivalente, possiamo individuare una partizione di sottointervalli di I mediante una successione finita di (n+1) punti \{x_i\}_{i=0}^{n}, richiedendo che

 

a=x_0<x_1<x_2<...<x_{n-1}<x_n=b

 

e considerando gli intervalli dati da

 

[a,x_1),[x_1,x_2),...,[x_{n-2},x_{n-1}),[x_{n-1},b]

 

Prima di iniziare a fare sul serio diamo la definizione di ampiezza di una partizione di un intervallo: data una partizione \{x_i\}_{i=0}^{n} di un intervallo reale I, chiamiamo ampiezza della partizione il valore h dato da

 

h=\mbox{Max}_{i=1,...,n}(x_i-x_{i-1})

 

ossia la massima lunghezza dei sottointervalli che costituiscono la partizione.

 

 


 

Nella prossima lezione introdurremo un concetto essenziale per la definizione dell'integrale di Riemann: le somme superiori e inferiori su una fissata partizione e la nozione di integrale superiore e inferiore. Nel frattempo, se doveste avere dubbi, non esitate: abbiamo risolto tonnellate di problemi e potete trovare tutto quello che vi serve con la barra di ricerca interna. ;)

 

 

Namasté, see you soon guys!

Fulvio Sbranchella (Agente Ω)

 

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