Significato geometrico dell'integrale di Riemann

In questa lezione introdurremo il significato geometrico dell'integrale secondo Riemann, e vedremo che il valore dell'integrale definito di una funzione su un intervallo corrisponde all'area sottesa dal grafico della funzione sull'intervallo di integrazione, intesa come area dotata di segno.

 

Vi ricordate quanto abbiamo visto nella lezione in cui abbiamo introdotto il concetto di integrale definito? E vi ricordate tutte quelle nozioni apparentemente complicate, quali ad esempio le somme inferiori e superiori e l'integrale inferiore e superiore? Bene: ora rimarrete a bocca aperta perché l'interpretazione grafica dell'integrale definito metterà a nudo la semplicità di quei concetti. ;)

 

Significato geometrico dell'integrale definito

 

L'interpretazione geometrica degli integrali deriva direttamente dalla definizione di integrale definito. Sia f:[a,b]\to \mathbb{R} una funzione integrabile e consideriamo l'integrale

 

I=\int_{a}^{b}{f(x)dx}

 

Sappiamo che I è il comune valore che assumono:

 

- l'estremo superiore delle somme inferiori di f su [a,b], detto anche integrale inferiore

 

s_{[a,b]}(f)=\mbox{sup}_{\{x_i\}_i}\sum_{i=1}^{N}{(x_i-x_{i-1})\mbox{ min}_{x\in [x_{i-1},x_i]}f(x)}

 

- l'estremo inferiore delle somme superiori di f su [a,b], detto anche integrale superiore

 

S_{[a,b]}(f)=\mbox{inf}_{\{x_i\}_{i}}\sum_{i=1}^{N}{(x_i-x_{i-1})\mbox{ Max}_{x\in [x_{i-1},x_i]}f(x)}

 

Abbiamo scritto volontariamente le notazioni in modo generico. Non fateci caso, per il momento è importante cogliere determinati concetti e non farsi distrarre da eventuali dubbi sul significato dei simboli.

 

Se la funzione f è integrabile su [a,b], abbiamo per definizione


\\ \mbox{sup}_{\{x_i\}_{i}}\sum_{i=1}^{N}{(x_i-x_{i-1})\mbox{ min}_{x\in [x_{i-1},x_i]}f(x)}=

 

=\int_{a}^{b}{f(x)dx}=

 

=\mbox{inf}_{\{x_i\}_{i}}\sum_{i=1}^{N}{(x_i-x_{i-1})\mbox{ Max}_{x\in [x_{i-1},x_i]}f(x)}


Consideriamo una partizione dell'intervallo [a,b], e indichiamola con \{x_i\}_{i=1}^{N}, dove

 

a=x_1<x_2<...<x_{N-1}<x_N=b

 

Consideriamo poi la corrispondente somma inferiore

 

\sum_{i=1}^{N}{(x_{i}-x_{i-1})\mbox{Min}_{x\in [x_{i-1},x_{i}]}f(x)

 

Che cosa rappresenta in soldoni la precedente scrittura? La sommatoria ci dice semplicemente che stiamo sommando N termini. Ciascuno di questi termini è dato dal prodotto tra (x_i-x_{i-1}), cioè dalla lunghezza del sottointervallo [x_{i-1},x_i], per il minimo valore della funzione sul sottointervallo.

 

Su ogni sottointervallo stiamo considerando l'area del rettangolo avente come base la lunghezza del sottointervallo e come altezza il minimo valore assunto dalla funzione sul sottointervallo.

 

Complessivamente stiamo approssimando per difetto l'area sottesa dal grafico della funzione.

 

 

Somme inferiori negli integrali

Somma inferiore come area per difetto

 

 

Per la corrispondente somma superiore sulla medesima partizione abbiamo

 

\sum_{i=1}^{N}{(x_{i}-x_{i-1})\mbox{Max}_{x\in [x_{i-1},x_{i}]}f(x)

 

Che sarà mai? Niente di meno che l'approssimazione per eccesso dell'area sottesa dal grafico della funzione.

 

 

Somme superiori negli integrali

Somma superiore come area per eccesso

 

 

Fin qui tutto ok. I più scettici penseranno sicuramente che il passaggio dall'interpretazione geometrica di somme inferiori e superiori all'interpretazione geometrica dell'integrale definito non sia immediato, ma non è così. ;)

 

Ora viene il bello: se prendiamo partizioni sempre più fini, è facile intuire che le corrispondenti somme inferiori approssimeranno l'area da sotto sempre più accuratamente, mentre le somme superiori forniranno approssimazioni sempre più precise per eccesso.

 

 

Raffinamento delle somme superiori

Raffinamento della partizione: approssimazione migliore
(in figura una somma superiore) 

 

 

Se consideriamo tutte le possibili partizioni dell'intervallo [a,b] e prendiamo l'estremo inferiore delle somme superiori, l'estremo superiore delle somme inferiori, e se questi due valori coincidono (ossia la funzione è integrabile)...

 

 

Integrale definito come area sottesa dal grafico della funzione

Integrale della funzione sull'intervallo

 

 

...otteniamo proprio l'area sottesa dal grafico della funzione f sull'intervallo [a,b].

 

Osservazione 1 (Qual è la funzione dei grafici?)


La funzione che abbiamo preso come riferimento nei grafici è f(x)=\sin{(x)}, mentre l'intervallo è [0,\pi].

 

Osservazione 2 (Area sì, ma con il segno!)


In generale un'area è, per definizione, un valore reale positivo (o al più nullo nel caso degenere).

 

Asserire che l'integrale definito ha il significato geometrico di area sottesa dal grafico della funzione sull'intervallo di integrazione non è sufficiente. Gli integrali definiti infatti possono assumere valori positivi, negativi o nulli; ad esempio possiamo considerare una funzione f(x) positiva su un intervallo [a,b], per cui dalle proprietà degli integrali sappiamo che

 

\int_a^b f(x)dx>0

 

Nel medesimo esempio possiamo considerare la funzione -f(x), per cui per omogeneità risulta che

 

\int_a^b (-f(x))dx=-\int_a^bf(x)dx<0

 

Ma allora l'integrale secondo Riemann che tipo di area rappresenta? In effetti dire che il significato geometrico dell'integrale è quello di valore d'area è improprio, e costituisce un abuso di linguaggio. È molto più preciso dire che è l'area con segno sottesa dal grafico della funzione.

 

In parole povere, se l'area (sottesa dal grafico della funzione sull'intervallo) è interamente contenuta nel semipiano delle ordinate positive, oppure se la "maggior parte" dell'area è contenuta nel semipiano delle ordinate positive, allora l'integrale avrà segno positivo. In caso contrario, l'integrale (della funzione sull'intervallo) sarà negativo. Nel caso in cui l'area sottesa dovesse essere equipartita tra il semipiano negativo e quello positivo, avremmo necessariamente a che fare con un integrale nullo.

 

 


 

Con questo è tutto. Più avanti passeremo alle formule ed al metodo pratico per calcolare l'area sottesa dal grafico di una funzione, ma non prima di aver acquisito tutte le tecniche di calcolo integrale. ;)

 

Se volete potete giochicchiare un po' con i tool per il grafico di funzioni e con quello per gli integrali definiti online, in modo da procacciarvi tutti gli esempi che volete. E se avete letto questa lezione in fase di ripasso, potete dare uno sguardo alla scheda correlata di esercizi svolti. ;)

 

 

Namasté!

Fulvio Sbranchella (Agente Ω)

 

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