Volume dei solidi di rotazione con gli integrali

Il calcolo del volume dei solidi di rotazione è un procedimento basato su alcune formule integrali che consente di determinare il volume di particolari solidi, ottenuti ruotando sezioni piane attorno ad uno degli assi cartesiani.

 

In questa lezione esporremo le relazioni che legano il concetto di integrale definito al concetto di volume di un solido di rotazione, facendo una distinzione tra i solidi ottenuti ruotando una superficie attorno all'asse x e quelli che si ottengono ruotando una superficie rispetto all'asse y.

 

In particolare presenteremo le formule che permettono di calcolare il volume di un solido generato dalla rotazione della parte di piano limitata dai grafici delle funzioni, mostrando come vengono ricavate nei vari casi.

 

Volume dei solidi di rotazione attorno all'asse x

 

Il caso più elementare di solido di rotazione si presenta quando il solido viene generato ruotando un trapezoide associato ad una funzione f(x) attorno all'asse x.

 

Se abbiamo una funzione f(x) che è continua in un intervallo [a,b] possiamo considerare la parte di piano limitata dal grafico della funzione f(x), dall'asse delle ascisse e dalle rette di equazione x=a, \ x=b.

 

Se facciamo ruotare tale superficie piana attorno all'asse x di 360° otteniamo un solido, detto solido di rotazione attorno all'asse x.

 

 

Volume di un solido di rotazione attorno all'asse x

 

 

La formula per il volume di un solido di rotazione attorno all'asse x è data da

 

\mbox{Volume}_x=\pi\int_{a}^{b}(f(x))^2dx

 

A parole, per calcolare il volume dobbiamo integrare il quadrato di f(x) sull'intervallo [a,b] che individua la superficie da ruotare, e moltiplicare il tutto per \pi.

 

Forniamo una giustificazione della formula. Fissiamo un punto x\in [a,b] e consideriamo la sezione del solido perpendicolare all'asse delle ascisse.

 

 

Sezione del solido di rotazione asse x

 

 

Tale sezione risulta essere un cerchio che ha per raggio il valore assoluto di f(x):

 

r=|f(x)|

 

Osserviamo che il valore assoluto applicato ad f(x) è necessario perché a priori non conosciamo il segno di f(x); nel caso fosse negativa non potrebbe di certo rappresentare una lunghezza.

 

Al fine di determinare l'integrale che fornisce il volume, calcoliamo l'area della sezione, che equivale all'area del cerchio di raggio r=|f(x)|:

 

\mbox{Area}_{cerchio}=\pi r^2=\pi |f(x)|^2=\pi|(f(x))^2|=\pi (f(x))^2

 

Nel penultimo passaggio abbiamo usato una nota proprietà del valore assoluto, mentre nell'ultimo passaggio abbiamo eliminato il modulo grazie alla non negatività del quadrato (f(x))^2.

 

Calcolando infine l'integrale definito sull'intervallo [a,b] otteniamo esattamente quello che volevamo: il volume del solido di rotazione attorno all'asse x

 

\mbox{Volume}_x=\int_{a}^{b}\pi (f(x))^2dx= \pi \int_{a}^{b}(f(x))^2dx

 

Osserviamo che nell'ultimo passaggio abbiamo fatto intervenire una nota proprietà degli integrali.

 

 

Esempio

 

Calcoliamo il volume V del solido ottenuto dalla rotazione completa della regione del piano delimitata dal grafico della seguente funzione attorno all'asse delle ascisse, sull'intervallo specificato.

 

f(x)=x^2+1\ \mbox{con }x\in [0,1]

 

La funzione in esame è continua nell'intervallo [0,1] ed il suo grafico è un tratto di parabola convessa con estremi il vertice (0,1) e il punto (1,2).

 

Il volume del solido generato dalla rotazione completa attorno all'asse x del trapezoide di f(x) sull'intervallo [0,1] è dato da:

 

\\ V=\pi\int_{0}^{1}(x^2+1)^2dx=

 

sviluppiamo il quadrato del binomio e procediamo

 

=\pi \int_{0}^{1}(x^4+2x^2+1)dx=\pi\left[\frac{x^5}{5}+2 \frac{x^3}{3}+x\right]_{x=0}^{x=1}=\frac{28}{15}\pi

 

 

Volume di un solido di rotazione ottenuto ruotando la parte di piano limitata dai grafici di due funzioni attorno all'asse x

 

Nel caso fossimo interessati al volume di un solido ottenuto ruotando attorno all'asse x la parte di piano limitata dal grafico di due funzioni continue e aventi lo stesso segno in un intervallo [a,b]

 

 

Volume del solido di rotazione dall'area compresa tra due grafici attorno all'asse x

 

 

allora dovremmo ricorrere alla seguente formula:

 

\mbox{Volume}=\pi\int_{a}^{b}|(f(x))^2-(g(x))^2|dx

 

La concordanza delle due funzioni è fondamentale perché se esse assumessero segni opposti in un sottointervallo di [a,b], la rotazione genererebbe un solido che si autointerseca, casistica che non è contemplata dalla teoria che stiamo trattando.

 

Osserviamo inoltre che la presenza del valore assoluto è necessaria perché a priori non sappiamo se f(x)<g(x) in tutto l'intervallo [a,b]. In accordo con quanto visto nella lezione sull'area con gli integrali, il modulo ci permette di ovviare a tale problema e di considerare una superficie con area positiva. 

 

Per dimostrare la precedente formula si procede in modo del tutto analogo al caso precedente: si procede sezionando verticalmente il solido di rotazione. La differenza sostanziale riguarda il tipo di sezione: fissato x\in [a,b], la sezione perpendicolare all'asse x non è più un cerchio ma una corona circolare.

 

 

Sezione del solido di rotazione dall'area compresa tra due grafici

 

 

Non riportiamo esempi su questa tipologia di solidi di rotazione per non appesantire la lezione; nel caso foste interessati ad approfondire potete consultare diversi esercizi svolti nella scheda correlata. ;)

 

Volumi dei solidi di rotazione attorno all'asse y

 

Vediamo ora come determinare il volume dei solidi di rotazione attorno all'asse y con gli integrali definiti. Quando l'asse di rotazione coincide con l'asse delle ordinate ci sono due diversi tipi di solidi di rotazione da prendere in considerazione, i cui volumi si ottengono con integrali diversi.

 

Volume di un solido di rotazione attorno all'asse y - superficie riferita all'asse x

 

La prima tipologia di solidi di rotazione che analizziamo si ottiene ruotando attorno all'asse y la regione di piano limitata dal grafico di una funzione f(x), dall'asse x e dalle rette x=a, \ x=b. Per semplicità supponiamo che la funzione f(x) sia continua sull'intervallo [a,b]

 

 

Volume di un solido di rotazione attorno all'asse y riferita all'asse x

 

 

In tal caso l'integrale definito che fornisce il volume del solido di rotazione è:

 

\mbox{Volume}_y=2\pi\int_{a}^{b}|xf(x)|dx

 

Prima di proseguire dobbiamo fare alcune considerazioni sugli estremi dell'intervallo [a,b]. Se gli estremi sono entrambi non nulli, allora dobbiamo pretendere che essi siano concordi, altrimenti la rotazione del trapezoide attorno all'asse x genererebbe un solido che si autointerseca, casistica esclusa dalla teoria che stiamo trattando.

 

Un caso particolare si presenta quando f(x) è non negativa e 0\le a <b. In tal caso, il prodotto xf(x) è a sua volta non negativo perché prodotto di quantità non negative, di conseguenza il valore assoluto presente nella formula per il volume diventa inutile e l'integrale per il calcolo del volume si riduce a:

 

\mbox{Volume}_y=2\pi \int_{a}^{b}xf(x)dx

 

A titolo puramente informativo tale relazione proviene dal metodo dei gusci cilindrici, una tecnica che consiste nel determinare il volume di un solido di rotazione con dei cilindroidi cavi (o gusci cilindrici appunto) e caratterizzati da uno spessore infinitesimo. Ne omettiamo la dimostrazione in questa sede, poiché richiede strumenti matematici avanzati.

 

 

Esempio

 

Determiniamo il volume del solido di rotazione ottenuto facendo ruotare il trapezoide associato alla funzione

 

f(x)=x^2+1\mbox{ con }x\in [0, 1]

 

attorno all'asse y.

 

Osserviamo preliminarmente che la funzione f(x) è continua e positiva nell'intervallo considerato, e che ha come grafico un ramo di parabola. Il volume V del solido di rotazione attorno all'asse y è dato da

 

\\ V=2\pi \int_{0}^{1}xf(x)dx=\\ \\ \\ =2\pi \int_{0}^{1}[x(x^2+1)]dx=2\pi \int_{0}^{1}(x^3+x)dx=2\pi \left[\frac{x^4}{4}+\frac{x^2}{2}\right]_{x=0}^{x=1}=\frac{3}{2}\pi

 

Il volume del solido è dunque V=\frac{3}{2}\pi .

 

 

Volume di un solido di rotazione ottenuto ruotando la parte di piano limitata da due grafici attorno all'asse y

 

Consideriamo un solido ottenuto ruotando la parte di piano limitata dal grafico di due funzioni f(x),\ g(x) su un intervallo [a,b] attorno all'asse y

 

 

Volume del solido di rotazione con area compresa intorno asse y

 

 

Se le funzioni in esame sono continue e se gli estremi dell'intervallo sono concordi, allora la formula per il calcolo del volume è data da

 

\mbox{Volume}_y=2\pi\int_{a}^{b}|x(f(x)-g(x))|dx

 

Anche in questo caso omettiamo la dimostrazione della formula.

 

Volume di un solido di rotazione attorno all'asse y - superficie riferita all'asse y

 

Per concludere ci occupiamo dell'ultimo caso: quello relativo al volume di un solido generato dalla rotazione attorno all'asse y della superficie compresa tra il grafico e l'asse delle y.

 

Se una funzione f(x) è continua, positiva e invertibile nell'intervallo [a,b] allora la rotazione intorno all'asse y della regione di piano limitata dal grafico della funzione inversa f^{-1}(y), dall'asse delle ordinate e dalle rette y=y_1\mbox{ e }y=y_2 genera un solido

 

 

Volume di un solido di rotazione attorno all'asse y riferita all'asse y

 

 

il cui volume è dato dalla relazione:

 

\mbox{Volume}_y=\pi \int_{y_1}^{y_2} (f^{-1}(y))^2dy

 

In questo caso dobbiamo soffermarci su alcuni aspetti critici relativi agli estremi di integrazione y_1, y_2 e distinguere due casi. Poiché per ipotesi la funzione f(x) è continua, positiva e invertibile nell'intervallo [a,b], allora f(x) deve essere necessariamente una funzione strettamente monotona.

 

Se f(x) è strettamente crescente allora l'immagine tramite f(x) dell'intervallo [a,b] è [f(a),f(b)], pertanto gli estremi di integrazione sono y_1=f(a),\ y_2=f(b), e la formula per il volume diventa

 

\mbox{Volume}_y=\pi \int_{f(a)}^{f(b)}(f^{-1}(y))^{2}dy

 

Se, invece, f(x) è strettamente decrescente allora l'immagine dell'intervallo [a,b] è [f(b), f(a)]. In questo caso, quindi, l'estremo di integrazione inferiore y_1=f(b) mentre y_2=f(a)

 

\mbox{Volume}_y=\pi \int_{f(b)}^{f(a)}(f^{-1}(y))^2 dy

 

Il ragionamento che consente di scrivere le precedenti formule è identico a quello vista nel caso dei solidi di rotazione attorno all'asse x. Si affetta il solido per sezioni orizzontali, e ogni sezione è un cerchio di raggio r=f^{-1}(y).

 

 

Esempio

 

Calcoliamo il volume del solido ottenuto ruotando la parte di piano limitata dal grafico della funzione

 

f(x)=2-x

 

dall'asse delle y e dalle rette y=0,\ y=1.

 

La funzione f(x) è continua in quanto composizione di funzioni continue, è invertibile e sull'intervallo dato ammette come funzione inversa:

 

x=2-y\mbox{ con }y\in [0, 1]

 

Gli estremi di integrazione sono forniti dalla traccia dell'esercizio, 

 

\\ V=\pi \int_{0}^{1}(2-y)^2dy=\\ \\ \\= \pi \int_{0}^{1}(4-4y+y^2)dy=\pi \left[4 y-2 y^2+\frac{y^3}{3}\right]_{y=0}^{y=1}=\frac{7}{3}\pi

 

In definitiva il volume del solido di rotazione richiesto è dato da V=\frac{7}{3}\pi.

 

 


 

Con questo è tutto. :) Non perdetevi la scheda correlata di esercizi svolti, e ricordate che qui su YM ci sono migliaia di esercizi risolti e spiegati nel dettaglio; potete trovare tutto quello che vi serve con la barra di ricerca interna. ;)

 

 

Buona Matematica a tutti!

Salvatore Zungri (Ifrit)

 

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