Area con gli integrali

In una delle precedenti lezioni abbiamo spiegato il significato geometrico dell'integrale di Riemann e, partendo dalla definizione, abbiamo visto che un integrale definito su un intervallo corrisponde al valore dell'area sottesa dal grafico dell'integranda sull'intervallo di integrazione. Abbiamo inoltre sottolineato che si tratta di un'area con segno, nel senso che può essere positiva, nulla o negativa.

 

Ora che abbiamo studiato le varie tecniche di integrazione possiamo riprendere lo stesso concetto da un punto di vista pratico e vedere come calcolare le aree con gli integrali. Per farlo introdurremo il concetto di area di un trapezoide, dove con trapezoide si intende la figura piana sottesa dal grafico dell'integranda sull'intervallo di integrazione rispetto all'asse x.

 

Per concludere proporremo il metodo per calcolare l'area compresa tra i grafici di due funzioni

 

Area sottesa dal grafico di una funzione con gli integrali

 

Come vi abbiamo già anticipato, il punto di partenza per introdurre il metodo di calcolo dell'area sottesa dal grafico di una funzine su un intervallo è il concetto di trapezoide.

 

Consideriamo una funzione f(x) continua e non negativa su un intervallo chiuso e limitato [a,b]. Si definisce trapezoide la parte di piano limitata dal grafico della funzione f(x), dall'asse delle x e dalle rette verticali x=a, \ x=b.

 

Volendo esprimere la definizione di trapezoide in simboli puramente matematici:

 

T=\{(x, y)\in\mathbb{R}^2\ :\ a\le x\le b,\ 0\le y\le f(x)\}

 

Trapezoide

Area di un trapezoide.

 

 

Nella lezione sull'interpretazione geometrica degli integrali abbiamo ribadito più volte che un integrale definito ha il significato di area con segno. Non sottovalutate mai questo aspetto, perché è il punto dolente che porta moltissimi studenti a sbagliare... E non è proprio il caso dato che l'argomento in oggetto trova moltissimi riscontri negli esercizi alle scuole superiori e all'università.

 

Poiché noi siamo interessati all'area sottesa dal grafico di una funzione, che in quanto area deve essere positiva, procederemo per passi considerando prima il caso di una funzione a segno positivo o nullo, poi di una funzione a segno negativo o nullo ed infine il caso di una funzione a segno variabile. In particolare vedremo qual è il metodo per usare correttamente il concetto di area con segno allo scopo di calcolare l'area sottesa dai grafici delle funzioni.

 

Area sottesa dal grafico di una funzione positiva o nulla

 

Sia f(x) è una funzione continua positiva o nulla (ossia non negativa) su un intervallo chiuso e limitato [a,b]. Se consideriamo il trapezoide T

 

- di base [a,b]

 

- limitato dalle rette x=a,\ x=b

 

- limitato dal tratto di grafico della funzione y=f(x) sull'intervallo [a,b].

 

 

Area sottesa grafico funzione non negativa

Area sottesa dal grafico di una funzione non negativa su un intervallo.

 

 

In tal caso l'area del trapezoide coincide con l'area dell'integrale definito di f(x) sull'intervallo [a,b]

 

\mbox{Area}_{f,[a,b]}=\int_a^b f(x)dx

 

Si noti che l'ipotesi di funzione non negativa fa in modo che il concetto di area ed il concetto di area con segno (valore dell'integrale definito) coincidano. Nella malaugurata eventualità di una funzione identicamente nulla su [a,b], ossia f(x)=0\ \forall x\in [a,b], ci troviamo di fronte ad un caso limite in cui non ha senso parlare di area ed in cui con abuso di linguaggio di dice che l'area sottesa dal grafico è zero.

 

Area sottesa al grafico di una funzione negativa o nulla

 

Nel caso di una funzione non positiva (negativa o nulla), e dunque con grafico giacente nel terzo e/o quarto quadrante, allora l'integrale definito fornisce una quantità negativa in forza delle proprietà degli integrali. Più precisamente, com'è facile intuire, esso dà come risultato l'opposto dell'area sottesa dal grafico sull'intervallo di integrazione.

 

È chiaro, quindi, che se f(x) è una funzione continua e non positiva su un intervallo chiuso e limitato [a,b] allora l'area del trapezoide T limitato dal grafico della funzione, dall'asse delle ascisse e dalle rette di equazioni x=a,\ x=b è dato dall'integrale di f(x) sull'intervallo [a,b] cambiato di segno:

 

\mbox{Area}_{f,[a,b]}=-\int_{a}^{b}f(x)dx

 

Un modo più elegante per calcolare l'area nel caso in esame prevede di ricorrere al valore assoluto.

 

\mbox{Area}_{f,[a,b]}=\left|\int_{a}^{b}f(x)dx\right|

 

Area sottesa grafico funzione non positiva

L'integrale fornisce l'area con segno negativo nel caso di una funzione non positiva. 

 

Area sottesa dal grafico di una funzione a segno variabile

 

Purtroppo le formule appena presentate non funzionano correttamente nel caso in cui la funzione data sia a segno variabile sull'intervallo di riferimento. Il caso più generale è quello che richiede maggiore attenzione perché la variabilità del segno della funzione integranda comporta delle compensazioni tra la parte di area con segno negativo e la parte di area con segno positivo; noi invece siamo interessati all'area sottesa dal grafico della funzione nel vero e proprio senso del termine, cioè come area di una figura piana.

 

 

Area sottesa grafico funzione con segno variabile

L'area con segno sottesa dal grafico di una funzione con segno variabile.

 

 

Per determinare l'area sottesa dal grafico di una funzione a segno variabile f(x) è sufficiente considerare il valore assoluto della funzione f(x), grazie al quale i punti del grafico con ordinata negativa vengono ribaltati rispetto all'asse x (eventualmente si vedano le regole del grafico intuitivo).

 

Se f(x) è una funzione continua in [a,b] allora l'area sottesa dal suo grafico, dall'asse delle x e dalle rette x=a,\ x=b, è data dall'integrale di |f(x)| con estremi a\mbox{ e }b

 

\mbox{Area}_{f,[a,b]}=\int_{a}^{b}|f(x)|dx

 

Osserviamo che tale formula ha ovviamente validità generale: vale sia quando la funzione è a segno costante, sia quando la funzione è segno variabile! :)

 

Come calcolare l'area sottesa al grafico di una funzione

 

Giunti a questo punto la teoria dovrebbe essere chiara, per cui passiamo al metodo pratico e agli esempi. Poiché gli integrali di un valore assoluto possono creare diverse difficoltà agli studenti delle scuole superiori (questa tipologia di integrali viene a malapena accennata), vediamo una tecnica di calcolo che consente di bypassare il modulo seguendo 3 passi.

 

1) Studiamo il segno della funzione f(x) così da determinare i sottointervalli di [a,b] in cui essa è positiva e quelli in cui è negativa. In tali sottointervalli la funzione è a segno costante.

 

2) Su ciascun sottointervallo calcoliamo l'area sottesa dal grafico di f(x):

 

- se nel sottointervallo la funzione è positiva o nulla, allora l'integrale non deve essere cambiato di segno;

 

- se invece la funzione è negativa, allora l'integrale sarà preceduto dal segno negativo.

 

3) Sommiamo i risultati ottenuti nel passaggio precedente: la somma sarà l'area sottesa dal grafico della funzione sull'intervallo considerato.

 

Esempio sul calcolo dell'area sottesa al grafico

 

Vogliamo calcolare l'area sottesa dal grafico della seguente funzione sull'intervallo [-3,4]

 

f(x)=1-x^2

 

Studiamo il segno di f(x) nell'intervallo dato risolvendo la corrispondente disequazione di secondo grado

 

f(x)\ge 0\iff 1-x^2\ge 0\iff -1\le x\le 1

 

Possiamo asserire senza ombra di dubbio che f(x) è positiva o nulla nel sottointervallo [-1, 1], e dunque all'intervallo [-1,1] associamo

 

\int_{-1}^{1}(1-x^2)dx=\left[x-\frac{x^3}{3}\right]_{-1}^{+1}=\frac{4}{3}

 

D'altro canto f(x) è negativa nei sottointervalli [-3, -1)\mbox{ e }(1, 4]. Anche in questo caso dobbiamo calcolare gli integrali, ricordandoci di anteporre il segno negativo:

 

\\ -\int_{-3}^{-1}(1-x^2)dx=\left[x-\frac{x^3}{3}\right]_{-3}^{-1}=\frac{20}{3}\\ \\ \\ -\int_{1}^{4}(1-x^2)dx=\left[x-\frac{x^3}{3}\right]_{1}^{4}=18

 

Sommiamo i tre contributi così da ottenere l'area richiesta:

 

\\ \mbox{Area}=-\int_{-3}^{-1}(1-x^2)dx+\int_{-1}^{1}(1-x^2)dx-\int_{1}^{4}(1-x^2)dx=\\ \\ \\=\frac{20}{3}+\frac{4}{3}+18=26

 

Nel caso voleste consultare ulteriori esempi vi rimandiamo alla scheda correlata di esercizi svolti. ;)

 

Area compresa tra i grafici di due funzioni

 

Oltre all'area di un trapezoide, l'integrale definito permette di determinare l'area della superficie delimitata dai grafici di due funzioni f(x), \ g(x) in un determinato intervallo [a,b].

 

Non preoccupatevi perché dal punto di vista teorico non c'è niente di diverso rispetto a quanto scritto in precedenza. Il principio consiste nel calcolare l'area compresa tra i due grafici su un intervallo come differenza delle aree sottese dai grafici delle due funzioni.

 

\mbox{Area}=\mbox{Area}_{f,[a,b]}-\mbox{Area}_{g,[a,b]}

 

Aspettiamo a scrivere la formula in termini di integrali: se rileggiamo con attenzione, notiamo che c'è un enorme se nella precedente formula, perché si presuppone che sull'intervallo [a,b] il grafico della funzione f(x) si trovi in ogni punto al di sopra del grafico della funzione g(x):

 

\mbox{Area tra }f\mbox{ e }g=\int_{a}^{b} (f(x)-g(x))dx\ \ \mbox{ se }f(x)\geq g(x)\ \forall x\in[a,b]

 

Area compresa tra i grafici di due funzioni

La precedente formula funziona solo se un grafico sovrasta interamente l'altro.

 

 

Se dovessimo avere a che fare con due funzioni i cui grafici si intersecano sull'intervallo [a,b] ragioneremo come di consueto considerando il valore assoluto della differenza

 

\mbox{Area tra }f\mbox{ e }g=\int_{a}^{b} |f(x)-g(x)|dx

 

Per aggirare le eventuali difficoltà relative al calcolo di un integrale con modulo ci basterà risolvere la disequazione di confronto tra f,g

 

f(x)\geq g(x)

 

e calcolare l'area sommando i contributi degli integrali sui singoli sottointervalli. Su ciascuno dei sottointervalli elimineremo il modulo scrivendo (f(x)-g(x)) oppure (g(x)-f(x)) a seconda che sia f(x)\geq g(x) oppure f(x)\leq g(x).

 

 

Area tra i grafici di funzioni che si intersecano

Area tra due grafici che si intersecano come somma di diversi contributi.

 

 

Ad esempio, in riferimento alla figura dovremmo calcolare

 

\mbox{Area}=\int_a^c (g(x)-f(x))dx+\int_c^b(f(x)-g(x))dx

 

 

Osservazione

 

Tenete presente che gli esercizi sull'area compresa tra i grafici di due funzioni non sempre forniscono gli estremi dell'intervallo [a,b] e che, a seconda dei contesti, potremmo essere costretti a ricavarli dalla traccia.

 

Esempio sul calcolo dell'area tra i grafici di due funzioni

 

Determinare l'area della regione di piano limitata dal grafico delle funzioni

 

y=x^2\ \ \ ;\ \ \ y=-x+2

 

Il grafico della funzione y=x^2 è una parabola convessa con vertice V(0,0) e con asse di simmetria parallelo all'asse delle ordinate.

 

Il grafico di y=-x+2 è, invece, una retta decrescente passante per i punti (0,2),\ (2, 0).

 

 

Esempio area tra due funzioni

 

 

Per determinare gli estremi a,b e per determinare le reciproche posizioni dei due grafici risolviamo la disequazione f(x)\geq g(x). In questo frangente è molto importante saper rappresentare le soluzioni di una disequazione nel piano.

 

x^2\geq -x+2\ \to\ x^2+x-2\geq 0\ \to\ x_1\leq -2\vee x_2\geq 1

 

Da qui si capisce che:

 

- per x\leq -2\ \vee\ x\geq 1 la parabola si trova al di sopra della retta;

 

- per -2\leq x\leq 1 la parabola si trova al di sotto della retta.

 

È chiaro dunque che dobbiamo considerare l'intervallo (o gli intervalli) su cui i due grafici racchiudono un'area limitata. Nel nostro esempio [a,b]=[-2,1].

 

L'area della superficie limitata dai due grafici è:

 

\\ \mbox{Area}(T)=\int_{-2}^{1}|f(x)-g(x)|dx=

 

A ben vedere il valore assoluto è superfluo perché sull'intervallo di integrazione risulta f(x)\geq g(x)

 

\\ \mbox{Area}(T)=\int_{-2}^{1}(f(x)-g(x))dx=\\ \\ \\ =\int_{-2}^{1}(-x+2-x^2)dx=\left[-\frac{x^2}{2}+2x-\frac{x^3}{3}\right]_{-2}^{1}=\frac{9}{2}

 

 


 

Con questo è tutto. :) Se volete potete utilizzare i tool per il grafico di funzioni e con quello per gli integrali definiti online, in modo da costruirvi tutti gli esempi che volete; per non farvi mancare nulla c'è anche un tool dedicato al calcolo dell'area tra grafici online. Last but not least potete dare uno sguardo alla scheda correlata di esercizi svolti. ;)

 

 

Buona Matematica a tutti!

Salvatore Zungri (Ifrit)

 

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