Integrali con delta negativo

Gli integrali con delta negativo sono integrali di funzioni razionali fratte in cui il denominatore è un polinomio di secondo grado con discriminante associato minore di zero.

 

Nella precedente lezione, dedicata agli integrali di funzioni razionali, abbiamo trattato tutti i possibili casi relativi all'integrazione delle funzioni razionali fratte. È rimasto un solo caso da trattare: quello in cui la funzione integranda presenta numeratore di grado 0 o 1 e denominatore di grado 2, con la condizione aggiuntiva del discriminante negativo.

 

Il metodo per gli integrali con delta negativo è piuttosto delicato, ma una volta appreso e digerito diventerà pura meccanica. Promesso. ;)

 

Cosa sono gli integrali con delta negativo

 

In generale un integrale con delta negativo, è un qualsiasi integrale che si presenta nella forma

 

\int{\frac{N(x)}{ax^2+bx+c}}dx

 

dove: N(x) è un polinomio di grado n nella variabile x ed il denominatore ax^2+bx+c è un polinomio di secondo grado con discriminante associato (\Delta=b^2-4ac) minore di zero.

 

Esempi di integrali con delta negativo sono

 

\int{\frac{1}{x^2-x+2}} \ dx \quad \quad \int{\frac{3x+2}{2x^2+2x+1}} \ dx \quad \quad \int{\frac{x^2+2}{x^2+x+1}} \ dx

 

Dalla lezione precedente sappiamo già che, nel caso n\geq 2, si procede con il metodo basato sulla divisione tra polinomi. Gli unici casi che al momento non sappiamo risolvere sono quelli in cui:

 

\mbox{deg}(N)=0\ \ ;\ \ \mbox{deg}(N)=1

 

Questi a prima vista sembrerebbero integrali da risolvere col metodo dei fratti semplici, ma sappiamo che non è così; infatti il polinomio a denominatore, avendo discriminante minore di zero, non è scomponibile nell'insieme \mathbb{R} dei numeri reali.

 

Come calcolare gli integrali di funzioni razionali fratte con delta negativo

 

Per risolvere gli integrali di funzioni razionali con delta negativo occorre distinguere due casi che si differenziano in base al grado del polinomio a numeratore; nello specifico utilizzeremo due metodi di risoluzione diversi a seconda che il numeratore sia di grado zero (una costante) o un polinomio lineare (di primo grado).

 

Caso I - funzioni razionali con delta negativo e numeratore costante

 

Spoiler: gli integrali con delta negativo e numeratore costante si riconducono sempre ad un'arcotangente. Consideriamo

 

\int{\frac{k}{ax^2+bx+c}} \ dx, \ \mbox{ con } k \in \mathbb{R}-\{0\} \mbox{ e } \Delta=b^2-4ac<0

 

Per calcolare l'integrale dobbiamo scrivere il denominatore come somma tra una costante ed un quadrato perfetto, in modo da ricondurci alla derivata di un'arcotangente.

 

C'è chi vi dirà che per scrivere il denominatore ax^2+bx+c come somma tra un quadrato perfetto ed una costante si possono usare svariati trucchetti algebrici come, ad esempio, raccogliere a fattor comune un certo fattore o sommare e sottrarre una certa quantità.

 

Più precisamente esiste un metodo rigoroso ed infallibile che permette di scrivere un polinomio di secondo grado come somma tra una costante ed un quadrato perfetto senza possibilità d'errore.

 

Tale metodo consiste nel raccogliere a fattor comune il coefficiente a del termine ax^2 per poi aggiungere e sottrarre \frac{b^2}{4a^2}. Vediamo subito un esempio.

 

 

Esempio di risoluzione di un integrale con delta negativo e numeratore costante

 

\int{\frac{5}{2x^2+2x+1}} \ dx

 

La funzione integranda è una funzione razionale fratta avente a numeratore una costante non nulla e a denominatore un polinomio di secondo grado il cui discriminante è minore di zero.

 

\Delta=b^2-4ac=2^2- 4 \cdot 2 = 4-8=-4<0

 

Prendiamo da parte il denominatore e, procedendo come suggerito poc'anzi, scriviamolo come somma tra un quadrato perfetto ed una costante.

 

Iniziamo col raccogliere a fattor comune il coefficiente di x^2:

 

2x^2+2x+1=2\left(x^2+x+\frac{1}{2}\right)

 

All'interno della coppia di parentesi tonde sommiamo e sottraiamo

 

\frac{b^2}{4a^2}=\frac{2^2}{4\cdot 2^2} = \frac{1}{4}

 

Pertanto

 

\begin{align*}2x^2+2x+1 & = 2\left(x^2+x+\frac{1}{2}\right) = \\ \\ & = 2\left(x^2+x+\frac{1}{4}-\frac{1}{4}+\frac{1}{2}\right)\end{align*}

 

Osserviamo ora che x^2+x+\frac{1}{4} è lo sviluppo di un quadrato di binomio, mentre -\frac{1}{4}+\frac{1}{2}=\frac{1}{4} è una costante, quindi

 

\begin{align*}2x^2+2x+1 & = 2\left(x^2+x+\frac{1}{2}\right) = \\ \\ & = 2\left(x^2+x+\frac{1}{4}-\frac{1}{4}+\frac{1}{2}\right) = \\ \\ & = 2 \left[\left(x+\frac{1}{2}\right)^2+\frac{1}{4}\right] \end{align*}

 

Abbiamo così scritto il denominatore come somma tra un quadrato ed una costante. Sostituiamolo nell'integrale di partenza:

 

\int{\frac{5}{2x^2+2x+1}} \ dx = \int {\frac{5}{2\left[\left(x+\frac{1}{2}\right)^2+\frac{1}{4}\right]}} \ dx = \frac{5}{2}\int{\frac{1}{\left(x+\frac{1}{2}\right)^2+\frac{1}{4}}} \ dx

 

L'integrale così ottenuto ricorda il seguente integrale notevole

 

\int \frac{f'(x)}{f^2(x)+1} \ dx = \arctan\left[f(x)\right]+k, \ k \in \mathbb{R}

 

Per ricondurci ad esso è sufficiente raccogliere a fattor comune, a denominatore, la costante 1/4. Non ci rimane altro da fare che cimentarci in qualche altro conticino algebrico, ed il gioco è fatto.

 

\begin{align*}\int{\frac{5}{2x^2+2x+1}} \ dx & = \frac{5}{2}\int{\frac{1}{\left(x+\frac{1}{2}\right)^2+\frac{1}{4}}} \ dx = \\ \\ & = \frac{5}{2}\int{ \frac{1}{\frac{1}{4}\left[\frac{\left(x+\frac{1}{2}\right)^2}{\frac{1}{4}}+1\right]} } \ dx = \\ \\ & = \frac{5}{2} \cdot 4 \int { \frac{1}{4\left(x+\frac{1}{2}\right)^2+1} } \ dx = \\ \\ & = 10 \int { \frac{1}{4\left(\frac{2x+1}{2}\right)^2+1} } \ dx = \\ \\ & = 10 \int { \frac{1}{4 \cdot \frac{(2x+1)^2}{4}}+1 } \ dx = \\ \\ & = 5 \int { \frac{2}{(2x+1)^2+1} } \ dx = \\ \\ & = 5\arctan(2x+1)+k, \ k \in \mathbb{R}\end{align*}

 

Formula risolutiva per integrali con delta negativo e numeratore costante

 

Per gli integrali di funzioni razionali fratte aventi a numeratore una costante e a denominatore un polinomio di secondo grado con discriminante negativo esiste una vera e propria formula risolutiva.

 

Supponendo che k sia una costante non nulla e che ax^2+bx+c sia un polinomio di secondo grado con discriminante associato minore strettamente di zero (\Delta<0) allora:

 

\int{ \frac{k}{ax^2+bx+c} } \ dx = \frac{2k \cdot \arctan\left(\frac{2ax+b}{\sqrt{-\Delta}}\right)}{\sqrt{-\Delta}}+k_1, \ k_1 \in \mathbb{R}

 

Dimostrare la formula risolutiva per integrali con delta negativo e numeratore costante è a dir poco immediato. È infatti sufficiente calcolare la derivata della primitiva ottenuta e verificare che coincide proprio con la funzione integranda. Lasciamo ai più volenterosi il compito di farlo. ;)

 

Osservazione (utilità della formula)

 

Dubitiamo che vi siano docenti o professori che lascino utilizzare tale formula in sede di verifica o d'esame: dovrete usare sempre e solo il metodo algebrico che abbiamo presentato in precedenza. Ciononostante potete usare la formula per conto vostro per verificare l'esattezza dei vostri calcoli.

 

Caso II: funzioni razionali fratte con delta negativo e numeratore di primo grado

 

Gli integrali di funzioni razionali fratte aventi a numeratore un polinomio di primo grado, e a denominatore un polinomio di secondo grado con delta negativo, si riconducono sempre alla somma tra un logaritmo ed un'arcotangente.

 

Per procedere al calcolo dovremo fare in modo di ottenere a numeratore la derivata prima del denominatore, ricorrendo a qualche opportuno trucco algebrico, per poi spezzare l'integrale nella somma di due integrali notevoli.

 

Il primo sarà della forma

 

\int{ \frac{f'(x)}{f(x)} } \ dx = \log\left|f(x)\right|+k, \ k \in \mathbb{R}

 

mentre il secondo sarà del tipo trattato nel caso I)

 

\int{ \frac{k}{ax^2+bx+c} } \ dx

 

ed ormai sappiamo come procedere per risolverlo.

 

 

Esempio di risoluzione di un integrale con delta negativo e numeratore di primo grado

 

\int{ \frac{4x}{x^2-x+1} } \ dx

 

La funzione integranda è data dal rapporto tra un polinomio di primo grado

 

N(x)=4x

 

ed un polinomio di secondo grado con delta negativo

 

x^2-x+1\ \to\ \Delta=b^2-4ac=(-1)^2-4=-3<0

 

La prima cosa da fare è ottenere a numeratore la derivata prima del denominatore, che è

 

\frac{d}{dx}\left(x^2-x+1\right)=2x-1

 

A numeratore abbiamo un 4x, quindi portiamo fuori dal segno di integrale un fattore 2.

 

\int{ \frac{4x}{x^2-x+1} } \ dx = 2 \int { \frac{2x}{x^2-x+1} } \ dx

 

Come possiamo notare, per ottenere a numeratore la derivata del denominatore ci manca un -1. Pertanto aggiungiamo e sottraiamo 1

 

\int{ \frac{4x}{x^2-x+1} } \ dx = 2 \int { \frac{2x}{x^2-x+1} } \ dx = 2 \int { \frac{2x-1+1}{x^2-x+1} } \ dx

 

Per una nota proprietà degli integrali possiamo spezzare l'integrale di una somma nella somma degli integrali:

 

\begin{align*}\int{ \frac{4x}{x^2-x+1} } \ dx & = 2 \int { \frac{2x-1+1}{x^2-x+1} } \ dx = \\ \\ & = \underbrace {2 \int{ \frac{2x-1}{x^2-x+1} } \ dx}_{(1)} + \underbrace{2\int{ \frac{1}{x^2-x+1} } \ dx}_{(2)} \end{align*}

 

Il primo integrale è a dir poco immediato:

 

2\int { \frac{2x-1}{x^2-x+1} } \ dx = 2\log(x^2-x+1)+k, \ k \in \mathbb{R}

 

dove il valore assoluto nell'argomento del logaritmo si può tranquillamente omettere in quanto, avendo discriminante negativo, il polinomio x^2-x+1 assume valori positivi per ogni valore di x.

 

Il secondo integrale

 

2\int { \frac{1}{x^2-x+1} } \ dx

 

è invece un integrale con delta negativo e numeratore costante, per la cui risoluzione si procede come visto nel caso I) di questa lezione.

 

Dopo aver sommato e sottratto \frac{b^2}{4a^2}=\frac{1}{4} a denominatore, lo si potrà scrivere come somma tra un quadrato perfetto ed una costante

 

x^2-x+1=x^2-x+\frac{1}{4}-\frac{1}{4}+1=\left(x-\frac{1}{2}\right)^2+\frac{3}{4}

 

Da cui

 

2\int { \frac{1}{x^2-x+1} } \ dx = 2 \int { \frac{1}{\left(x-\frac{1}{2}\right)^2+\frac{3}{4}} } \ dx

 

A questo punto si dovrà raccogliere 3/4 a fattor comune e fare qualche conticino puramente algebrico per ricondursi all'integrale notevole

 

\int \frac{f'(x)}{f^2(x)+1} \ dx = \arctan\left[f(x)\right]+k, \ k \in \mathbb{R}

 

Per completezza vi mostriamo i passaggi principali

 

\begin{align*} 2\int { \frac{1}{x^2-x+1} } \ dx & = 2 \int { \frac{1}{\left(x-\frac{1}{2}\right)^2+\frac{3}{4}} } \ dx = \\ \\ & = 2 \int{ \frac{1}{\frac{3}{4}\left[\frac{\left(x-\frac{1}{2}\right)^2}{\frac{3}{4}}+1\right] } } \ dx = \\ \\ & = 2 \cdot \frac{4}{3} \int { \frac{1}{\frac{4}{3}\left(\frac{2x-1}{2}\right)^2+1 } } \ dx = \\ \\ & = \frac{8}{3} \int { \frac{1}{\frac{1}{3}\left(2x-1\right)^2 +1} } \ dx = \\ \\ & = \frac{8}{3} \int { \frac{1}{\left(\frac{2x-1}{\sqrt{3}}\right)^2+1} } \ dx = \\ \\ & = \frac{4}{3} \cdot \sqrt{3} \int { \frac{\frac{2}{\sqrt{3}}}{\left(\frac{2x-1}{\sqrt{3}}\right)^2+1} } \ dx = \\ \\ & = \frac{4\sqrt{3}}{3} \arctan \left(\frac{2x-1}{\sqrt{3}}\right) + k, \ k\in \mathbb{R}\end{align*}

 

Possiamo così concludere che

 

\begin{align*}\int{ \frac{4x}{x^2-x+1} } \ dx & = 2 \int { \frac{2x-1+1}{x^2-x+1} } \ dx = \\ \\ & = 2 \int{ \frac{2x-1}{x^2-x+1} } \ dx + 2\int{ \frac{1}{x^2-x+1} } \ dx = \\ \\ & = 2 \log(x^2-x+1)+\frac{4\sqrt{3}}{3} \arctan \left(\frac{2x-1}{\sqrt{3}}\right)+k, k \in \mathbb{R} \end{align*}

 

Bonus: esempio nel caso generale degli integrali di funzioni razionali

 

Per chiudere in bellezza, vediamo di mettere in pratica quanto imparato qui e nella precedente lezione. A tal proposito consideriamo l'integrale di una funzione razionale con:

 

- numeratore di grado n\geq 2

 

- denominatore di grado 2 con delta negativo

 

Poiché il numeratore ha grado maggiore rispetto a quello del denominatore, sappiamo già di dover eseguire la divisione polinomiale tra numeratore e denominatore. In questo modo ricaviamo

 

\int{ \frac{N(x)}{ax^2+bx+c} } \ dx = \int{ Q(x) } \ dx + \int{ \frac{R(x)}{ax^2+bx+c} } \ dx

 

dove Q(x)\mbox{ ed }R(x) sono rispettivamente quoziente e resto della divisione.

 

Ci siamo così ricondotti alla somma di due integrali, il primo dei quali è immediato (trattandosi dell'integrale di una funzione polinomiale) mentre il secondo sarà un integrale o di quelli trattati nel caso I) o nel caso II) della qui presente lezione.

 

 

Esempio di risoluzione di un integrale con delta negativo e numeratore di grado maggiore o uguale a due

 

\int{ \frac{x^3-4x^2+7x-1}{x^2-3x+4} } \ dx

 

Come possiamo osservare il polinomio a numeratore è di terzo grado, mentre il polinomio a denominatore ha discriminante negativo (a voi il compito di verificarlo).

 

Procedendo ad una divisione polinomiale tra numeratore e denominatore si otterranno come quoziente e come resto

 

Q(x)=x-1 \ \mbox{ e } \ R(x)=3

 

Pertanto

 

\int{ \frac{x^3-4x^2+7x-1}{x^2-3x+4} } \ dx = \int{ (x-1) } \ dx + \int{ \frac{3}{x^2-3x+4} } \ dx

 

Il primo integrale è immediato

 

\int{ (x-1) } \ dx = \int{ x } \ dx - \int { 1 } \ dx = \frac{x^2}{2}-x+k, \ k \in \mathbb{R}

 

Il secondo si risolve come visto nel caso I), abbiamo infatti un integranda con numeratore costante e denominatore con delta negativo. Procedendo come abbiamo spiegato o utilizzando la formula risolutiva si ottiene

 

\int{ \frac{3}{x^2-3x+4} } \ dx = \frac{6 \arctan\left( \frac{2x-3}{\sqrt{7}} \right) }{\sqrt{7}}+k, \ k \in \mathbb{R}

 

Quindi

 

\begin{align*}\int{ \frac{x^3-4x^2+7x-1}{x^2-3x+4} } \ dx & = \int{ (x-1) } \ dx + \int{ \frac{3}{x^2-3x+4} } \ dx = \\ \\ & = \frac{x^2}{2}-x + \frac{6 \arctan\left(\frac{2x-3}{\sqrt{7}}\right) }{\sqrt{7}}\end{align*}

 

 


 

Per questa lezione è tutto! Se siete alla ricerca di altri esempi ne potete trovare a decine utilizzando la barra di ricerca interna, oppure potete svolgere gli integrali proposti nella scheda correlata di esercizi svolti. A voi la scelta. Se invece volete correggere i risultati dei vostri esercizi servitevi pure del tool per gli integrali online. ;)

 

 

Buon proseguimento su YouMath,

Giuseppe Carichino (Galois)

 

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