Tabella degli sviluppi di Taylor-Mc Laurin

La tabella degli sviluppi di Taylor-McLaurin, o tabella degli sviluppi fondamentali, è un elenco che fornisce gli sviluppi in serie di Taylor con centro x0=0 per le funzioni elementari e che può essere usato nelle applicazioni teoriche e pratiche, dandoli per assodati.

 

Nella precedente lezione abbiamo introdotto gli sviluppi in serie di Taylor, mostrando la definizione e spiegando sotto quali ipotesi si può rappresentare localmente una funzione con un opportuno polinomio. Ora vogliamo proporvi una tabella con i principali sviluppi di Taylor - Mc Laurin; gli sviluppi in serie costituiscono certamente uno degli strumenti più potenti che abbiamo per affrontare lo studio dell'Analisi Matematica, e non solo...

 

Basti pensare all'uso che se ne fa nel calcolo dei limiti, o nel calcolo della somma di una serie numerica. È dunque evidente la necessità di saper riconoscere ed eventualmente ricordare gli sviluppi in serie di Taylor delle funzioni elementari, e di questo, ne siamo certi, non ve ne pentirete! :)

 

Tavola degli sviluppi di Taylor-Mc Laurin di funzioni elementari

 

Premessa: con sviluppo di Taylor - McLaurin si intende uno sviluppo di Taylor con centro x0=0.

 

 

Sviluppo di Taylor-Mc Laurin della funzione esponenziale

 

e^{x}=1+x+\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{6}+\frac{x^4}{24}+\frac{x^5}{120}+\cdots +\frac{x^n}{n!}+o(x^n)\mbox{ }\forall x\in\mathbb{R}

 

in forma compatta

 

e^x= \sum_{n=0}^{\infty}\frac{x^n}{n!}\quad\forall x\in \mathbb{R}

 

 

Sviluppo di Taylor-Mc Laurin della funzione logaritmica

 

\ln(1+x)= x-\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{3}- \frac{x^4}{4}+\frac{x^5}{5}+\cdots +\frac{(-1)^{n+1}}{n}x^n+ o(x^n)\quad\mbox{per } |x|\textless 1

 

in forma compatta

 

\ln(1+x)=\sum_{n=1}^{+\infty}(-1)^{n+1}\frac{x^n}{n}\mbox{ per }|x|\textless 1

 

 

Sviluppo di Taylor-Mc Laurin del binomio

 

\begin{align*}(1+x)^{\alpha}&=1+\alpha x +\frac{\alpha (\alpha-1)}{2}x^2+\frac{\alpha(\alpha-1)(\alpha-2)}{6}x^3+\cdots + {\alpha\choose n}x^{n}+ o(x^n)\\&= \sum_{n=0}^{\infty}{\alpha\choose n}x^n\quad\mbox{ per }|x|\textless 1\end{align}

 

dove con

 

{\alpha\choose n}= \frac{\alpha(\alpha-1)(\alpha-2)\cdots (\alpha-n+1)}{n!}

 

non si intende il coefficiente binomiale standard, bensì il coefficiente binomiale generalizzato.

 

 

Dallo sviluppo della precedente funzione, ne riportiamo due particolari che ricorrono spesso negli esercizi. 

 

\sqrt{1+x}=(1+x)^{\frac{1}{2}}= 1+\frac{x}{2}-\frac{x^2}{8}+\frac{x^3}{16}-\frac{5}{128}x^4+\frac{7}{256}x^5-\frac{21}{1024}x^6+o(x^6)

 

\sqrt[3]{1+x}= (1+x)^{\frac{1}{3}}=1+\frac{x}{3}-\frac{x^2}{9}+\frac{5}{81}x^3-\frac{10}{243}x^4-\frac{22}{729}x^5-\frac{154}{6561}x^6+ o(x^6)

 

 

Sviluppi di Taylor-Mc Laurin delle funzioni razionali fondamentali

 

\frac{1}{1-x}= \sum_{n=0}^{\infty}x^n\quad\forall |x|\textless 1

 

\frac{1}{1+x^2}= \sum_{n=0}^{\infty}(-1)^n x^{2n}\quad\forall |x|\textless 1

 

 

Sviluppo di Taylor-Mc Laurin del seno

 

\sin(x)= \sum_{n=0}^{\infty}\frac{(-1)^n}{(2n+1)!}x^{2n+1}\quad \forall x\in\mathbb{R}

 

In forma estesa,

 

\sin(x)=x-\frac{x^3}{6}+\frac{x^5}{120}-\frac{x^7}{5040}+...+\frac{(-1)^n x^{2n+1}}{(2n+1)!}+o(x^{2n+1})

 

 

Sviluppo di Taylor-Mc Laurin del coseno

 

\cos(x)= \sum_{n=0}^{\infty}\frac{(-1)^n}{(2n)!}x^{2n}\quad\forall x\in\mathbb{R}

 

In forma estesa:

 

\cos(x)= 1-\frac{x^2}{2}+\frac{x^4}{24}-\frac{x^6}{720}+\frac{x^8}{40320}-...+\frac{(-1)^n x^{2n}}{(2n)!}+o(x^{2n})

 

 

Per le funzioni trigonometriche successive, riportiamo lo sviluppo troncato. L'espressione generale infatti è molto complicata e comunque poco utile per la risoluzione degli esercizi

 

 

 

Sviluppo di Taylor-Mc Laurin della tangente

 

\tan(x)= x+\frac{x^3}{3}+\frac{2}{15}x^5+ o(x^6)\quad \mbox{ per }|x|\textless \frac{\pi}{2}

 

 

Sviluppo di Taylor-Mc Laurin della secante

 

\sec(x)= 1+\frac{x^2}{2}+\frac{5}{24}x^4 +\frac{61}{720}x^6+\frac{277}{8064}x^8+\frac{50521}{3628800}x^{10}+o(x^{10})\quad \mbox{ per }|x|\textless \frac{\pi}{2}

 

 

Sviluppo di Taylor-Mc Laurin dell'arcoseno

 

\arcsin(x)= x +\frac{x^3}{6}+\frac{3}{40}x^5+\frac{5}{122}x^7+\frac{35}{1152}x^9+o(x^9)\quad\mbox{ per }|x|\textless 1

 

 

Sviluppo di Taylor-Mc Laurin dell'arcocoseno

 

\arccos(x)=\frac{\pi}{2}-x -\frac{x^3}{6}-\frac{3}{40}x^5-\frac{5}{122}x^7-\frac{35}{1152}x^9+o(x^9)\quad\mbox{ per }|x|\textless 1

 

 

Sviluppo di Taylor-Mc Laurin dell'arcotangente

 

\arctan(x)= x-\frac{x^3}{3}+\frac{x^5}{5}-\frac{x^7}{7}+\frac{x^9}{9}+o(x^9)\mbox{ per }|x|\textless 1

 

 

Anche nel caso delle funzioni iperboliche riportiamo lo sviluppo troncato.

 

 

Sviluppo di Taylor-Mc Laurin del seno iperbolico

 

\sinh(x)= x+\frac{x^3}{6}+\frac{x^5}{120}+\frac{x^7}{5040}+\frac{x^9}{362880}+o(x^9)

 

 

Sviluppo di Taylor-Mc Laurin del coseno iperbolico

 

\cosh(x)= 1+\frac{x^2}{2}+\frac{x^4}{24}+\frac{x^6}{720}+\frac{x^8}{40320}+o(x^9)

 

 

Sviluppo di Taylor-Mc Laurin dell'arcotangente iperbolica

 

\mbox{arctanh}(x)= x+\frac{x^3}{3}+\frac{x^5}{5}+\frac{x^7}{7}+\frac{x^9}{9}+ o(x^9)

 

 

Sviluppo di Taylor-Mc Laurin dell'arcoseno iperbolico

 

\mbox{arcsinh}(x)= x-\frac{x^3}{6}+\frac{3}{40}x^5-\frac{5}{112}x^7+\frac{35}{1152}x^9+o(x^9)

 

 

Nota: puoi anche calcolare online lo sviluppo di Taylor di una funzione a tua scelta! ;)

 

 


 

C'è qualcosa che non torna? Abbiamo risposto a migliaia e migliaia di domande, e potete trovare tutto quello che vi serve facendo buon uso della barra di ricerca interna. A questo proposito vi consigliamo di partire dalla scheda correlata di esercizi svolti. ;) Nella lezione successiva ci addentreremo nella pratica e spiegheremo come calcolare gli sviluppi di Taylor in generale.

 

 

Buona Matematica a tutti!

Salvatore Zungri (Ifrit)


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