Sviluppo in serie di Taylor

Lo sviluppo in serie di Taylor di una funzione in un punto, se esiste, permette di esprimere la funzione nell'intorno del punto come un polinomio con infiniti termini. Arrestando lo sviluppo di Taylor ad un certo ordine è possibile esprimere i restanti termini sotto forma di resto.

 

Questa lezione è di fondamentale importanza per tutti gli studenti universitari che affrontano un qualsiasi corso di Analisi 1, perché tratta un argomento che è uno dei capisaldi dello studio delle funzioni reali di variabile reale: gli sviluppi in serie di Taylor.

 

Sviluppare una funzione in serie di Taylor in un punto x_0 consiste, sotto opportune ipotesi, nel fornire una rappresentazione esatta della funzione nell'intorno del punto. Tale rappresentazione avviene per mezzo di un polinomio (lo sviluppo in serie di Taylor della funzione data). Gli utilizzi dei risultati che stiamo per introdurre sono pressoché illimitati, perché ci forniscono una rappresentazione locale alternativa (e semplice, poiché polinomiale) della funzione.

 

A proposito: perché abbiamo usato l'aggettivo locale? Perché uno sviluppo in serie di Taylor coincide con la funzione nell'intorno del centro dello sviluppo.

 

Teorema (Formula di Taylor)

 

Sia f:[a,b]\to \mathbb{R} una funzione, sia x_0\in(a,b) e supponiamo che esistano le derivate f^{(1)}(x_0),f^{(2)}(x_0),...,f^{(n-1)}(x_0). Preso h tale che f sia definita in [x_0-h,x_0+h] (intorno chiuso di centro x_0 e raggio h), vale la formula

 

f(x_0+h)=\sum_{i=0}^{n-1}{\frac{f^{(i)}(x_0)}{i!}h^i}+R_n(h)

 

o, equivalentemente, prendendo x=x_0+h

 

f(x)=\sum_{i=0}^{n-1}{\frac{f^{(i)}(x_0)}{i!}(x-x_0)^i}+R_n(x)

 

dove R_n è un'opportuna funzione, detta resto di ordine n, mentre x_0 è detto centro dello sviluppo.

 

Non sappiamo a priori che faccia precisa abbia la funzione R_n, e nemmeno ci interessa: ciò che conta è disporre di informazioni qualitative e/o quantitative su tale resto.

 

Vi sono due principali tipi di resto che possiamo prendere in considerazione: il resto di Peano e il resto di Lagrange. Vediamo a tal proposito i seguenti teoremi.

 

Teorema (Formula di Taylor con resto di Peano)

 

Nelle ipotesi della formula di Taylor, e con l'ipotesi aggiuntiva che esista f^{n}(x_0), vale la formula

 

f(x)=\sum_{i=0}^{n-1}{\frac{f^{i}(x_0)}{i!}(x-x_0)^i}+\frac{f^{n}(x_0)}{n!}(x-x_0)^n+o[(x-x_0)^n]

 

dove il resto di Peano di ordine n è dato da

 

R_n(x)=o[(x-x_0)^n]

 

Il termine o[(x-x_0)^n], dove o(\cdot) indica l'o-piccolo, è dato da una qualsiasi funzione g(x) tale che

 

\lim_{x\to x_0}{\frac{g(x)}{(x-x_0)^n}}=0

 

 

Dimostrazione: puoi trovare la dimostrazione della formula di Taylor con resto di Peano qui.

 

 

Significato del resto di Peano

 

Il precedente resto fornisce informazioni di tipo qualitativo. È cruciale capire sin da subito che non importa sapere quale sia la funzione precisa che porta all'uguaglianza, mentre è importante capire qual è il comportamento qualitativo della funzione R_n(x).

 

Il termine o[(x-x_0)^n] individua una funzione qualsiasi che nell'intorno di x_0 tende a zero più velocemente di (x-x_0)^n. E tanto basta...

 

Teorema (Formula di Taylor con resto di Lagrange)

 

Nelle ipotesi della formula per lo sviluppo in serie di Taylor, e con l'ulteriore ipotesi che esista la derivata f^{(n)}(x_0), (allora) esiste un punto c\in(a,b) tale che

 

f(x)=\sum_{i=0}^{n-1}{\frac{f^{(i)}(x_0)}{i!}(x-x_0)^i}+\frac{f^{(n)}(c)}{n!}(x-x_0)^n

 

dove

 

R_n(x)=\frac{f^{(n)}(c)}{n!}(x-x_0)^n

 

è detto resto di Lagrange.

 

 

Dimostrazione: trovi la dimostrazione relativa al resto di Lagrange qui.

 

 

Significato del resto di Lagrange

 

Il resto di Lagrange, a differenza di quello di Peano, fornisce informazioni quantitative sul resto. Anche in questo caso non sappiamo né ci interessa capire quale sia il punto c per cui vale l'asserto. È sufficiente sapere che c'è e che la valutazione della derivata n-esima in tale punto conduce ad una rappresentazione esatta.

 

Nomenclatura: sviluppo in serie di Taylor-Mc Laurin, polinomio di Taylor, ...

 

Per chiudere la lezione vogliamo precisare sin da subito la nomenclatura relativa agli sviluppi di Taylor, onde evitare possibili fraintendimenti. Useremo i seguenti nomi:

 

- sviluppo di Taylor con centro x_0 il polinomio infinito che equivale alla funzione nell'intorno del centro di sviluppo.

 

- Sviluppo di Taylor all'ordine N con centro x_0 il polinomio finito di grado N cui viene sommato il resto dello sviluppo, che complessivamente equivale alla funzione nell'intorno del centro di sviluppo.

 

- Sviluppo in serie di Mc Laurin, o sviluppo di Taylor-Mc Laurin, uno sviluppo in cui il centro è x_0=0.

 

- Polinomio di Taylor all'ordine N con centro x_0 il polinomio finito di grado N privo del resto dello sviluppo, che quindi approssima la funzione nell'intorno del centro di sviluppo.

 

 


 

Vogliamo passare all'azione e vedere un po' di sviluppi in serie di Taylor di funzioni elementari? Ne parliamo nella prossima lezione. Nel frattempo vi invitiamo a dare uno sguardo agli esercizi svolti della scheda correlata, e in caso di necessità ad usare il tool per gli sviluppi di Taylor online e la barra di ricerca interna: qui su YM abbiamo risolto migliaia di esercizi e di problemi. ;)

 

 

సలాము, see you soon guys!

Fulvio Sbranchella (Agente Ω)

 

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Tags: dimostrazione della formula per gli sviluppi in serie di Taylor con resto di Peano e con resto di Lagrange.

 

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