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Sviluppo in serie di Taylor

Questa lezione è di fondamentale importanza per tutti gli studenti universitari che affrontano un qualsiasi corso di Analisi 1, perché tratta un argomento che è uno dei capisaldi dello studio delle funzioni reali di variabile reale: gli sviluppi in serie di Taylor.

 

 

Sviluppare una funzione in serie di Taylor in un punto x_0 consiste, sotto opportune ipotesi, nel fornire una rappresentazione esatta della funzione nell'intorno del punto. Tale rappresentazione avviene per mezzo di un polinomio (lo sviluppo in serie di Taylor della funzione data). Gli utilizzi dei risultati che stiamo per introdurre sono pressoché illimitati, perché ci forniscono una rappresentazione locale alternativa (e semplice, poiché polinomiale) della funzione.

 

Perché locale? Perché uno sviluppo in serie di Taylor coincide con la funzione nell'intorno del centro dello sviluppo.

 

Teorema (Formula di Taylor)

 

Sia f:[a,b]\to \mathbb{R} una funzione, sia x_0\in(a,b) e supponiamo che esistano le derivate f^{(1)}(x_0),f^{(2)}(x_0),...,f^{(n-1)}(x_0). Preso h tale che f sia definita in [x_0-h,x_0+h] (intorno chiuso di centro x_0 e raggio h), vale la formula

 

f(x_0+h)=\sum_{i=0}^{n-1}{\frac{f^{(i)}(x_0)}{i!}h^i}+R_n(h)

 

o, equivalentemente, prendendo x=x_0+h

 

f(x)=\sum_{i=0}^{n-1}{\frac{f^{(i)}(x_0)}{i!}(x-x_0)^i}+R_n(x)

 

Dove R_n è un'opportuna funzione, detta resto di ordine n, mentre x_0 è detto centro dello sviluppo.

 

Non sappiamo a priori che faccia precisa abbia la funzione R_n, e nemmeno ci interessa: ciò che conta è disporre di informazioni qualitative e/o quantitative su tale resto.

 

Vi sono due principali tipi di resto che possiamo prendere in considerazione: il resto di Peano e il resto di Lagrange. Vediamo a tal proposito i seguenti teoremi.

 

Teorema (Formula di Taylor con resto di Peano)

 

Nelle ipotesi della formula di Taylor, e con l'ipotesi aggiuntiva che esista f^{n}(x_0), vale la formula

 

f(x)=\sum_{i=0}^{n-1}{\frac{f^{i}(x_0)}{i!}(x-x_0)^i}+\frac{f^{n}(x_0)}{n!}(x-x_0)^n+o[(x-x_0)^n]

 

dove il resto di Peano di ordine n è dato da

 

R_n(x)=\frac{f^{n}(x_0)}{n!}(x-x_0)^n+o[(x-x_0)^n]

 

Il termine o[(x-x_0)^n], dove o(\cdot) indica l'o-piccolo, è dato da una qualsiasi funzione g(x) tale che

 

\lim_{x\to x_0}{\frac{g(x)}{(x-x_0)^n}}=0

 

Dimostrazione:puoi trovare la dimostrazione della formula di Taylor con resto di Peano qui (grazie Ifrit Tongue).

 

Significato del resto di Peano: il precedente resto fornisce informazioni di tipo qualitativo. È cruciale capire sin da subito che non importa sapere quale sia la funzione precisa che porta all'uguaglianza, mentre è importante capire qual è il comportamento qualitativo della funzione R_n(x). Il termine o[(x-x_0)^n] individua una funzione qualsiasi che nell'intorno di x_0 tende a zero più velocemente di (x-x_0)^n. E tanto basta...

 

Teorema (Formula di Taylor con resto di Lagrange)

 

Nelle ipotesi della formula per lo sviluppo in serie di Taylor, e con l'ulteriore ipotesi che esista la derivata f^{(n)}(x_0), (allora) esiste un punto c\in(a,b) tale che

 

f(x)=\sum_{i=0}^{n-1}{\frac{f^{(i)}(x_0)}{i!}(x-x_0)^i}+\frac{f^{(n)}(c)}{n!}(x-x_0)^n

 

dove

 

R_n(x)=\frac{f^{(n)}(c)}{n!}(x-x_0)^n

 

è detto resto di Lagrange.

 

Dimostrazione: trovi la dimostrazione relativa al resto di Lagrange qui.

 

Significato del resto di Lagrange: il resto di Lagrange, a differenza di quello di Peano, fornisce informazioni quantitative sul resto. Anche in questo caso non sappiamo né ci interessa capire quale sia il punto c per cui vale l'asserto. È sufficiente sapere che c'è e che la valutazione della derivata n-esima in tale punto conduce ad una rappresentazione esatta.

 

Prima di concludere...

 

Sviluppo in serie di Taylor-Mc Laurin

 

Talvolta capita di sentir parlare di sviluppo in serie di Mc Laurin o di Taylor-Mc Laurin. Non c'è niente di nuovo né di difficile: uno sviluppo in serie di Mc Laurin è semplicemente uno sviluppo in serie di Taylor in cui si considera come centro dello sviluppo x_0=0.

 


 

Vogliamo passare all'azione? Vogliamo vedere un po' di sviluppi in serie di Taylor di funzioni elementari? Ne parliamo nella prossima lezione...Nel frattempo, se dovessi avere difficoltà o dubbi, non esitare a chiedere aiuto nel Forum, e prova a cercare qui su YM con l'apposita barra. Tra le migliaia di problemi risolti, potrebbe esserci anche il tuo. Tongue

 

సలాము, see you soon guys!

Agente Ω

 

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Utile?  

 


Tags: dimostrazione della formula per gli sviluppi in serie di Taylor con resto di Peano e con resto di Lagrange.

 

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