Distinguere massimi e minimi assoluti da quelli relativi

Abbiamo visto praticamente tutto nelle precedenti lezioni, vita morte e miracoli sui punti di massimo e minimo relativi e assoluti, ed in particolare abbiamo imparato a studiare i massimi e i minimi di una funzione con le derivate.

 

Ora manca solo una questione di importanza essenziale: come si fa a capire se un punto di massimo o di minimo è relativo o assoluto?

 

Vediamo di capire come procedere distinguendo diversi possibili casi.

 

 

Premessa

 

Prima di tutto facciamo un piccolo richiamo teorico:

 

- un punto di massimo/minimo è un'ascissa;

 

- un (valore) massimo/minimo è un'ordinata.

 

Inoltre, teniamo presente che una funzione può avere punti di massimo e minimo assoluti e relativi, averne alcuni tipi o non averne affatto. Tutte le combinazioni sono possibili.

 

 

Caso 1: dominio chiuso e limitato e funzione continua

 

Il metodo più efficace è il seguente. In forza del teorema di Weierstrass, se abbiamo una funzione y=f(x) continua sul proprio dominio Dom(f) e se il dominio è chiuso e limitato, allora essa ammette un massimo ed un minimo assoluti.

 

In questo caso, per capire quali sono i punti di massimo relativo ed i punti di massimo assoluto, è sufficiente sostituire nell'espressione y=f(x) i punti di massimo x_1,...,x_n che abbiamo trovato e vedere quale è il più grande valore tra f(x_1),...,f(x_n).

 

Per i punti di minimo vale lo stesso ragionamento: e sufficiente valutare la funzione nei punti di minimo ed individuare i punti in cui la funzione assume il minimo valore assoluto.

 

Attenzione: bisogna anche considerare i valori che la funzione assume agli estremi del dominio in cui è definita, anche se la derivata prima non è necessariamente definita in tali punti.

 

 

Caso 2: dominio illimitato e funzione continua

 

Se abbiamo una funzione continua su un dominio illimitato c'è un ulteriore aspetto cui fare riferimento.

 

- Da un lato dobbiamo considerare i valori assunti dalla funzione in corrispondenza dei punti di massimo e minimo, come nel caso precedente.

 

- Tenere conto anche delle valutazioni della funzione in corrispondenza degli eventuali estremi finiti del dominio.

 

- Non basta: dobbiamo anche considerare l'andamento globale della funzione agli estremi illimitati del dominio. Se la funzione diverge a + infinito in uno degli estremi illimitati del dominio, allora la funzione non può avere massimo assoluto ma solo massimi relativi. In modo analogo, se la funzione diverge a - infinito in uno degli estremi illimitati del dominio, allora la funzione non può avere minimo assoluto ma solo minimi relativi.

 

 

Caso 3: funzione discontinua

 

Se la funzione ha dei punti di discontinuità dovremo prestare un po' più d'attenzione. In questo caso dobbiamo tenere conto in particolare degli eventuali punti di discontinuità di seconda specie, in corrispondenza dei quali la funzione può divergere negativamente o positivamente.

 

Ovviamente, se nell'intorno di un punto la funzione diverge a + infinito non ci può essere un massimo assoluto, e in modo analogo se la funzione diverge a - infinito non ci può essere un minimo assoluto.

 

 

In generale

 

Il miglior modo per non fare confusione consiste nel tenere a mente le definizioni sui massimi e minimi assoluti e relativi. Dopo aver determinato tutti i punti di massimo e minimo con lo studio della derivata prima, confronteremo le corrispondenti valutazioni includendo le valutazioni agli eventuali estremi finiti del dominio, e trarremo le dovute conclusioni:

 

- punti di massimo relativo: punti in cui la funzione realizza massimi locali;

 

- punti di massimo assoluto: punti in cui la funzione realizza il massimo valore su tutto il dominio;

 

- punti di minimo relativo: punti in cui la funzione realizza minimi locali;

 

- punti di minimo assoluto: punti in cui la funzione realizza il minimo valore su tutto il dominio.

 

 

Esempi

 

1) La funzione logaritmica f(x)=\log(x) non presenta massimi né minimi, né assoluti né relativi.

 

 

Esempio 1 sulla distinzione tra massimi e minimi relativi e assoluti

 

 

2) La funzione seno f(x)=\sin(x) ha infiniti massimi assoluti ed infiniti minimi assoluti, proseguendo indefinitamente sul suo dominio. Non dimentichiamoci che un estremante assoluto è anche relativo (mentre il viceversa in generale non vale).

 

 

Esempio 2 sulla distinzione tra massimi e minimi relativi e assoluti

 

 

3) La funzione coseno iperbolico f(x)=\cosh(x) presenta un minimo assoluto (che è pure relativo), ma non presenta alcun massimo (né assoluto, né relativo).

 

 

Esempio 3 sulla distinzione tra massimi e minimi relativi e assoluti

 

 

4) La funzione f(x)=\frac{e^x}{x} ha un minimo relativo che però non è assoluto; non ha massimi assoluti né relativi.

 

 

Esempio 4 sulla distinzione tra massimi e minimi relativi e assoluti

 

 

5) La funzione in figura ha, proseguendo indefinitamente sul suo dominio, un'infinita di punti di massimo relativo ed un'infinità di punti di minimo relativo. Tra questi non c'è alcun massimo assoluto, ma c'è un minimo assoluto.

 

 

Esempio 5 sulla distinzione tra massimi e minimi relativi e assoluti

 

 

6) La funzione radice di x f(x)=\sqrt{x} ha un minimo assoluto (e dunque anche relativo) nell'estremo sinistro del dominio, ma non ha massimi assoluti né relativi.

 

 

Esempio 6 sulla distinzione tra massimi e minimi relativi e assoluti

 

 


 

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Sbohem, see you soon guys!

Fulvio Sbranchella (Agente Ω)

 

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