Come studiare massimi e minimi di una funzione

Lo studio dei massimi e minimi di una funzione è un procedimento che, mediante alcuni teoremi sulle derivate, consente di determinare e classificare i punti di massimo e minimo mediante lo studio della derivata prima della funzione.

 

Veniamo al nocciolo della questione, e vediamo il metodo pratico che permette di determinare i massimi e i minimi di una funzione reale di variabile reale. Abbiamo visto le definizioni di punto di massimo e minimo relativo e assoluto, e abbiamo introdotto il teorema di Fermat, che serve ad individuare i candidati punti estremanti nel caso delle funzioni derivabili.

 

Ora ci occupiamo del metodo per determinare, all'atto pratico, i massimi e i minimi assoluti e relativi di una funzione derivabile (siamo ripetitivi, è vero, ma questo aggettivo è molto importante).

 

Come determinare i punti di massimo e minimo di una funzione

 

Per spiegare il metodo per calcolare i massimi e minimi di una funzione ripartiamo da qui:

 

"Cosa ci dice il teorema di Fermat? Per essere sintetici dovremmo dire che l'annullamento della derivata prima di una funzione in un punto x0 del dominio è condizione necessaria affinché x0 sia un punto di massimo o minimo relativo (quindi eventualmente anche assoluto) per la funzione."

 

Cosa dobbiamo fare praticamente per trovare i punti candidati ad essere massimi e minimi relativi per una funzione derivabile y=f(x)?

 

1) Calcoliamo la derivata prima y=f'(x);


2) Risolviamo l'equazione f'(x)=0.

 

Le soluzioni x1,...,xn di questa equazione sono i punti candidati al ruolo di punti estremanti relativi che cercavamo. Questo significa che i punti di massimo e minimo relativo vanno cercati tra questi punti, ma non è detto che tutti questi punti siano effettivamente massimi e minimi relativi.

 

Detto in modo più elegante: l'annullarsi della derivata prima in un punto è condizione necessaria per avere un massimo o un minimo relativo, ma non è condizione sufficiente.

 

Esempio: derivata prima nulla e candidati punti di massimo e minimo

 

Abbiamo appena scritto che l'annullamento della derivata prima in un punto è condizione necessaria ma non sufficiente affinché tale punto sia di massimo o minimo relativo. Per capire fino in fondo questa affermazione vediamo un controesempio: consideriamo la funzione

 

y=x^5

 

Calcoliamone la derivata con la regola della derivata di una potenza

 

y=5x^4

 

Poniamo la derivata uguale a zero e risolviamo l'equazione

 

5x^4=0

 

da cui otteniamo come soluzione x=0.

 

Attenzione però: se ci ricordiamo l'andamento delle funzioni del tipo potenze di x con esponente dispari, il punto x=0 non è né di massimo né di minimo per la funzione y=x5, che è strettamente crescente su tutto \mathbb{R}.

 

Se non siete convinti vi basterà dare un'occhiata al grafico:

 

 

Funzione che ha derivata nulla in un punto né di massimo né di minimo

 

Segno della derivata prima e punti di massimo o minimo

 

Cosa ci dà la garanzia che un punto x0 tale che f '(x0)=0, sia effettivamente un punto di massimo o minimo?

 

Per capire se un punto in cui si annulla la derivata è un punto di massimo o minimo relativo dobbiamo studiare il comportamento della funzione nell'intorno del punto e vedere se essa è crescente o decrescente. Questo studio viene effettuato mediante le derivate e si basa sul seguente teorema fondamentale.

 

 

Teorema (segno della derivata e monotonia della funzione)

 

Sia [a,b]\subseteq Dom(f) un intervallo in cui la funzione è definita. Supponiamo che f sia continua in [a,b] e derivabile in (a,b). Allora:

 

 

1) se f'(x)\geq 0\ \forall x\in (a,b), risulta che f è monotona non decrescente in (a,b) (cresce o resta costante).

 

 

2) Se f'(x)>0\ \forall x\in (a,b), risulta che f monotona crescente in (a,b).

 

 

3) Se f'(x)\leq 0\ \forall x\in (a,b), risulta che f è monotona non crescente in (a,b) (decresce o resta costante).

 

 

4) Se f'(x)< 0\ \forall x\in (a,b), risulta che f è monotona decrescente in (a,b).

 

 

5) Se f'(x)=0\ \forall x\in [a,b], risulta che f è costante in (a,b).

 

 

Dimostrazione

 

Per la dimostrazione abbiamo bisogno del teorema di Lagrange, che possiamo applicare perché abbiamo le giuste ipotesi.

 

Consideriamo due punti x1 e x2 nell'intervallo [a,b] e supponiamo x1<x2. Il teorema di Lagrange applicato alla funzione f sull'intervallo [x1,x2] ci dice che esiste almeno un punto c appartenente all'intervallo (x1,x2) tale che

 

f(x_2)-f(x_1)=f'(x_0)\cdot(x_2-x_1)

 

A questo punto è sufficiente osservare che (x2-x1) è un valore positivo, avendo supposto x1<x2. Quindi il segno del membro di destra dell'uguaglianza dipende solo da quello della derivata prima della funzione calcolata in x0 .

 

Il segno della derivata prima è quindi identico al segno della differenza f(x2)-f(x1), per cui a seconda dei casi abbiamo la tesi, perché i punti x1, x2 sono stati scelti in modo del tutto arbitrario.

 

L'unica difficoltà del teorema è ricordare la relazione tra il segno della derivata prima ed il tipo di monotonia della funzione.

 

C.V.D.

 

 

E per quanto riguarda i viceversa? Dai un'occhiata alla discussione del link.

 

 

Adesso non ci rimane che studiare il segno della derivata prima y=f'(x) e vedere su quali parti del dominio essa è positiva (>0), non negativa (≥0), negativa (<0), non positiva (≤0).

 

Indichiamo con x0 un punto del dominio in cui la derivata prima si annulla, e studiamo il segno della derivata sugli intervalli [a,x0) e (x0,b].

 

 

Se

 

 

\\ f'(x)<0 \mbox{ per } x\in (a,x_0)\ \ \Rightarrow\ \ f(x)\mbox{ decresce su }(a,x_0)\\ \\ f'(x_0)=0\\ \\ f'(x)>0 \mbox{ per } x\in (x_0,b)\ \ \Rightarrow\ \ f(x)\mbox{ cresce su }(x_0,b)

 

 

allora x0 è un punto di minimo relativo per y=f(x).

 

 

Se invece

 

 

\\ f'(x)>0 \mbox{ per } x\in (a,x_0)\ \ \Rightarrow\ \ f(x)\mbox{ cresce su }(a,x_0)\\ \\ f'(x_0)=0\\ \\ f'(x)<0 \mbox{ per } x\in (x_0,b)\ \ \Rightarrow\ \ f(x)\mbox{ decresce su }(x_0,b)

 

 

allora x0 è un punto di massimo relativo per y=f(x).

 

Sintesi: metodo per studiare la monotonia e i massimi e minimi

 

Se avete letto tutto d'un fiato questa lezione ed è la prima volta che affrontate l'argomento, potreste essere un pochettino frastornati. Comprensibilissimo, ma sappiate che il metodo non è affatto complicato e che con un po' di esercizio diventa piuttosto meccanico.

 

Ecco la sintesi del metodo che permette di calcolare i massimi e i minimi di una funzione e di studiarne la monotonia:

 

1) calcoliamo y=f'(x)

 

2) risolviamo l'equazione f'(x)=0 per trovare i candidati al ruolo di punti estremanti

 

3) risolviamo la disequazione f'(x)>0 per conoscere il segno della derivata prima

 

4) sfruttiamo il teorema e risaliamo dal segno della derivata prima alla monotonia della funzione; in questo modo possiamo anche capire quali sono i punti estremanti tra le soluzioni dell'equazione e di che tipo sono.

 

5) Non ci resta che occuparci di una questione che mette in crisi moltissimi studenti, ma che richiede 3 minuti netti per una comprensione totale e definitiva. Come distinguere i punti estremanti relativi da quelli assoluti? Ne parliamo nella prossima puntata. ;)

 

 


 

Bene, abbiamo già anticipato l'argomento della lezione successiva. Non ci resta che augurarvi un buon proseguimento su YM e, nel caso foste in fase di ripasso, consigliarvi di allenarvi con le schede correlate: ci sono esercizi proposti, esercizi svolti e un utile tool per calcolare massimi e minimi online. ;)

 

 

પેટા, see you soon guys!

Fulvio Sbranchella (Agente Ω)

 

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