Teorema di Fermat

Il teorema di Fermat per le derivate e i punti stazionari stabilisce che una funzione che ammette un massimo od un minimo relativo o assoluto in un punto, e che sia ivi derivabile, ha necessariamente la derivata prima nulla nel punto.

 

Entriamo nel vivo della questione e introduciamo un risultato che si rivelerà di fondamentale importanza: il teorema di Fermat. Ancora prima di enunciarlo, anticipiamo che esso ci permetterà di individuare i candidati punti di massimo e minimo relativo per le funzioni, che abbiamo definito nella lezione precedente.

 

Il teorema cui dobbiamo fare riferimento è il seguente.

 

Enunciato e dimostrazione del teorema di Fermat

 

Sia y=f(x) una funzione con dominio Dom(f)\subseteq\mathbb{R}. Se x_0\in Dom(f) è un punto estremante per f, e la funzione è derivabile in quel punto, allora si ha che

 

f'(x_0)=0

 

 

Dimostrazione

 

Prima di tutto osserviamo che per ipotesi f(x) è derivabile nel punto x0, dunque vale la condizione

 

\lim_{x\rightarrow x_0^-}f'(x)=\lim_{x\rightarrow x_0^+}f'(x)

 

Dimostriamo il teorema nel caso in cui x0 sia un punto di massimo relativo; il caso in cui è un punto di minimo si dimostra in maniera del tutto analoga.

 

Poiché x0 è un punto di massimo relativo, dato un incremento h vale

 

f(x_0+h)-f(x_0)\leq 0

 

Infatti se x0 è un punto di massimo spostandoci sull'asse delle ascisse troveremo, localmente, valori della funzione più piccoli di f(x0).

 

Dividiamo la disuguaglianza per h. Otteniamo:

 

- se h è positivo

 

\frac{f(x_0+h)-f(x_0)}{h}\leq 0

 

- se h è negativo

 

\frac{f(x_0+h)-f(x_0)}{h}\geq 0

 

Ora: se passiamo al limite per h→0 in entrambe le disuguaglianze, otteniamo

 

\\ \lim_{h\rightarrow 0}{\frac{f(x_0+h)-f(x_0)}{h}}\leq 0\ \ \ (h>0)\\ \\ \\ \lim_{h\rightarrow 0}{\frac{f(x_0+h)-f(x_0)}{h}}\geq 0\ \ \ (h<0)

 

I due limiti sono rispettivamente limite destro e limite sinistro della derivata prima,

 

f_+'(x_0)=f_-'(x_0)

 

Per l'ipotesi di derivabilità di f in x0 in due limiti devono coincidere, quindi essendo

 

f_+'(x_0)\leq 0\ \mbox{ e }\ f_-'(x_0)\geq 0

 

l'unico caso possibile è

 

f_+'(x_0)=0=f_-'(x_0)

 

Ossia

 

f'(x_0)=0

 

C.V.D.

 

 

Cosa ci dice il teorema di Fermat? Per essere sintetici, dovremmo dire che l'annullamento della derivata prima di una funzione derivabile in un punto x0 del dominio è condizione necessaria affinché x0 sia un punto di massimo o minimo relativo (quindi eventualmente anche assoluto) per la funzione.

 

 


 

Nelle lezioni successive passeremo ai risultati teorici e al metodo pratico che consente di calcolare i punti di massimo e minimo, di distinguerne la natura (il tipo: max o min) e di studiare la monotonia delle funzioni, cioè il comportamento sul dominio.

 

Se qualcosa non fosse chiaro, non indugiare! Puoi usare la barra di ricerca interna e trovare tutto quello che ti serve tra le migliaia di domande e di esercizi svolti presenti su YM. ;)

 

 

Xudafiz, see you soon guys!

Fulvio Sbranchella (Agente Ω)

 

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