Rapporto tra continuità e derivabilità

Il rapporto tra continuità e derivabilità è una relazione teorica, di semplice dimostrazione, che stabilisce che la derivabilità implica sempre la continuità (condizione sufficiente), mentre la continuità non implica necessariamente la derivabilità (condizione necessaria).

 

In uno degli articoli precedenti abbiamo visto qual è la condizione necessaria e sufficiente per la derivabilità di una funzione f:\mathbb{R}\to\mathbb{R},\ y=f(x) di una funzione in un punto x_0 del suo dominio. Qui vogliamo invece capire qual è il legame che sussiste tra derivabilità e continuità in un punto: cosa implica cosa, e perché?

 

Prima di tutto: se avete ben presente la definizione di continuità di una funzione in un punto allora possiamo procere, in caso contrario vi raccomandiamo un ripasso preventivo e tattico. ;)

 

Relazione tra continuità e derivabilità

 

La continuità non implica necessariamente la derivabilità.

In altre parole la continuità è condizione necessaria, ma non sufficiente, per la derivabilità.

 

Di contro, la derivabilità implica sempre la continuità.

In altri termini la derivabilità è condizione sufficiente, ma non necessaria, per la continuità.

 

Che cosa significano le espressioni "condizione necessaria", "condizione sufficiente", e "condizione necessaria e sufficiente"? Lo spieghiamo in un'apposita lezione: eventualmente prendetevi 5 minuti per togliervi il dubbio una volta per tutte, e poi continuate con la lettura.

 

In parole povere:

 

- se una funzione è continua in un punto, può essere derivabile nel punto, ma non lo sarà per forza. Se però una funzione non è continua in un punto, non può certamente essere derivabile nel punto.

 

- Se una funzione è derivabile in un punto, sarà sicuramente continua in tale punto. Non è però obbligatorio che la funzione sia derivabile in un punto affinché essa sia ivi continua.

 

Rivediamo il tutto in un'ottica più rigorosa.

 

 

Osservazione (La continuità è condizione necessaria ma non sufficiente per la derivabilità)


Sia y=f(x) e sia x_0\in Dom(f) un punto. Supponiamo che f sia continua in x_0. La funzione f può essere derivabile nel punto x_0, ma non lo è necessariamente.

 

Per vederlo è sufficiente considerare un controesempio di funzione continua ma non derivabile in un punto. Ad esempio, la funzione valore assoluto f(x)=|x| è continua in x_0=0 ma non è ivi derivabile.

 

 

Teorema (Una funzione derivabile in un punto è continua nel punto)

 

Sia y=f(x) e sia x_0\in Dom(f) un punto. Supponiamo che f sia derivabile in x_0. Allora la funzione f è continua nel punto x_0.

 

Dimostrazione: la puoi trovare in questa discussione, insieme a tante altre considerazioni ed esempi.

 

 


 

 

Lezione breve ragazzuoli, ma molto importante: un dubbio come quello inerente il rapporto tra continuità e derivabilità è meglio levarselo sin da subito, se si vogliono evitare problemi in sede d'esame o di interrogazione. ;)

 

Nella prossima puntata ci occuperemo finalmente delle derivate di funzioni elementari, ovvero il punto di partenza per imparare a calcolare a mano (ergo, negli esercizi) la derivata di una qualsiasi funzione.

 

Se doveste avere dubbi puoi cercare le risposte che ti servono con la barra di ricerca: qui su YM abbiamo risposto a migliaia di domande... ;)

 

 

Sayonara, see you soon guy!

Fulvio Sbranchella (Agente Ω)

 

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Tags: relazione tra continuità e derivabilità - se una funzione è derivabile allora è continua - se una funzione è continua non è necessariamente derivabile.

 

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