Funzione derivabile e condizione di derivabilità

Una funzione derivabile in un punto è una funzione per cui esiste la derivata prima nel punto considerato: più precisamente, una funzione è derivabile in un punto se esistono finiti e coincidono il limite sinistro e destro del rapporto incrementale calcolato nel punto.

 

Molto spesso capita di incontrare, nelle verifiche delle scuole superiori (seconda prova di Matematica inclusa) e negli esami universitari, esercizi in cui è richiesto di studiare la derivabilità di una data funzione in un punto o su un insieme. Per poterlo fare, è essenziale conoscere in ogni dettaglio la definizione di funzione derivabile, e comprendere fino in fondo il significato algebrico e analitico della condizione di derivabilità - in un punto o su un intervallo.

 

Nelle puntate precedenti abbiamo visto la definizione di derivata di una funzione y=f(x) in un punto, e abbiamo anche visto che cos'è la derivata di una funzione intesa come funzione. Qui ci occupiamo di vedere la condizione di derivabilità di una funzione in un punto, o meglio la condizione necessaria e sufficiente che garantisce l'esistenza della derivata di una data funzione in un punto x_0\in Dom(f) del suo dominio. Niente di esoterico, niente di complicato. ;)

 

Condizione di derivabilità e funzione derivabile

 

Sappiamo che, per definizione, la derivata di una funzione y=f(x) in un punto x_0 è definita come il limite del rapporto incrementale della funzione nel punto:

 

f'(x_0)=\lim_{\Delta x\to 0}{\frac{\Delta y}{\Delta x}}=\lim_{h\to 0}\frac{f(x_0+h)-f(x_0)}{h}

 

La condizione di derivabilità in un punto sussiste, semplicemente, quando il suddetto limite esiste.

 

In accordo con la definizione di limite, y=f(x) è una funzione derivabile nel punto x_0 quando i due limiti sinistro e destro del rapporto incrementale esistono finiti e hanno lo stesso valore. Diamo quindi la seguente definizione.

 

 

Definizione di funzione derivabile in un punto

 

Diciamo che y=f(x) è una funzione derivabile in un punto x_0\in Dom(f) se

 

\lim_{h\to 0^-}\frac{f(x_0+h)-f(x_0)}{h}=\lim_{h\to 0^+}\frac{f(x_0+h)-f(x_0)}{h}=c\in\mathbb{R}

 

 

Funzione derivabile da sinistra, funzione derivabile da destra

 

Vi ricordate le definizioni di derivata sinistra e destra che abbiamo dato nella lezione sulla definizione di derivata? Esse ci permettono di riscrivere la precedente definizione e di dire in modo del tutto equivalente che una funzione è derivabile in un punto se la derivata sinistra e la derivata destra esistono finite e coincidono nel punto

 

f'_-(x_0)=f'_+(x_0)=c\in\mathbb{R}

 

Più in generale possiamo dire che se la derivata sinistra f'_-(x_0) esiste finita, allora f è una funzione derivabile da sinistra in x_0; in modo analogo, se la derivata destra f'_+(x_0) esiste finita, allora f è una funzione derivabile da sinistra in x_0.

 

Per fare in modo che una funzione f sia derivabile in un punto x_0 è necessario e sufficiente che essa sia ivi derivabile sia da sinistra che da destra (valori finiti) e che le derivate sinistra e destra coincidano. In caso contrario, niente derivabilità nel punto.

 

Per quanto tali definizioni aggiuntive possano apparire inutili, esse si rivelano utilissime nel caso degli estremi finiti del dominio di una funzione, ad esempio f:[a,b]\to\mathbb{R}. In tale eventualità non avrà senso parlare di derivabilità di f nel punto x_0=a ma solo di derivabilità da destra; per il punto x_0=b vale un discorso analogo da sinistra.

 

 

In una delle successive lezioni ci occuperemo del rapporto che sussiste tra la condizione di derivabilità e la continuità di una funzione. Ora vediamo due esempi: uno con funzione derivabile in un punto, uno con una funzione che non è derivabile in un punto.

 

Esempio 1: funzione derivabile in un punto

 

Consideriamo f(x)=x^2 ed il punto x_0=1.

 

Tale funzione è derivabile nel punto considerato, infatti

 

\\ \lim_{h\to 0^{+}}{\frac{f(x_0+h)-f(x_0)}{h}}=\lim_{h\to 0^{+}}{\frac{(1+h)^2-1^2}{h}}=\lim_{h\to 0^{+}}{\frac{2h+h^2}{h}}=2\\ \\ \\ \lim_{h\to 0^{-}}{\frac{f(x_0+h)-f(x_0)}{h}}=\lim_{h\to 0^{-}}{\frac{(1+h)^2-1^2}{h}}=\lim_{h\to 0^{-}}{\frac{2h+h^2}{h}}=2

 

Poiché i due limiti sinistro e destro del rapporto incrementale calcolato nel punto esistono finiti ed assumono lo stesso valore, la funzione è effettivamente derivabile nel punto dato.

 

Esempio 2: funzione non derivabile in un punto

 

Ora prendiamo ad esempio la funzione f(x)=(x-1)^{\frac{2}{3}}, e consideriamo il punto x_0=1.

 

Tale funzione non è derivabile nel punto dato, infatti

 

\\ \lim_{h\to 0^{+}}{\frac{f(x_0+h)-f(x_0)}{h}}=\lim_{h\to 0^{+}}{\frac{(1+h-1)^{\frac{2}{3}}-0}{h}}=\lim_{h\to 0^{+}}{\frac{h^{\frac{2}{3}}}{h}}=+\infty\\ \\ \\ \lim_{h\to 0^{-}}{\frac{f(x_0+h)-f(x_0)}{h}}=\lim_{h\to 0^{-}}{\frac{(1+h-1)^{\frac{2}{3}}-0}{h}}=\lim_{h\to 0^{-}}{\frac{h^{\frac{2}{3}}}{h}}=-\infty

 

A titolo di cronaca, in una delle lezioni successive classificheremo i punti di non derivabilità che si possono presentare nel caso delle funzioni reali di variabile reale.

 

Attenzione alla verifica della condizione di derivabilità

 

È importante ribadire, in questa sede, un aspetto che viene frainteso nello studio e che si manifesta nella risoluzione degli esercizi. Per stabilire se una funzione è derivabile in un punto dobbiamo confrontare i limiti sinistro e destro del rapporto incrementale, e non della derivata prima.

 

Lo sottolineiamo perché agli studenti capita spesso di buttarsi a bomba con lo studio dei limiti sinistro e destro della derivata prima. Questo metodo in generale non funziona e, tranne che in particolarissimi casi, differisce dal metodo sul controllo dei limiti sinistro e destro del rapporto incrementale (ne abbiamo parlato anche qui: studiare la derivabilità di una funzione: metodo delle derivate?).

 

Poiché il metodo del rapporto incrementale è quello che si basa direttamente sulla definizione di funzione derivabile, è quello cui dovremo attenerci negli esercizi. ;)

 

Teoremi utili sulla derivabilità di una funzione

 

Prima di concludere questa lezione vogliamo proporvi un manciata di teoremi che inizialmente potranno sembrare astratti, ma che hanno un'enorme importanza nella risoluzione degli esercizi. Tali teoremi verranno implicitamente usati un'infinità di volte sia a livello teorico che pratico, e per questo motivo è bene metterli in chiaro sin da subito. 

 

Enunciamoli prima in termini generali e poi in modo più rigoroso.

 

 

1) La somma (differenza) di due funzioni derivabili è derivabile.

 

Date f,g:\mathbb{R}\to\mathbb{R}, sia x_0\in Dom(f)\cap Dom(g) un punto in cui entrambe le funzioni sono derivabili. Allora la funzione somma f+g (differenza f-g ) è derivabile in x_0.

 

 

2) Il prodotto di due funzioni derivabili è derivabile.

 

Date f,g:\mathbb{R}\to\mathbb{R}, sia x_0\in Dom(f)\cap Dom(g) un punto in cui entrambe le funzioni sono derivabili. Allora la funzione prodotto f\cdot g è derivabile in x_0.

 

 

3) Il quoziente di due funzioni derivabili è derivabile.

 

Date f,g:\mathbb{R}\to\mathbb{R}, sia x_0\in Dom(f)\cap Dom(g) un punto in cui entrambe le funzioni sono derivabili. Allora la funzione rapporto \frac{f}{g} è derivabile in x_0.

 

 

4) La composizione di funzioni derivabili è derivabile.

 

Date f,g:\mathbb{R}\to\mathbb{R}, sia x_0\in Dom(f) un punto in cui f è derivabile e supponiamo che g sia derivabile in y_0=f(x_0). Allora la funzione composta g\circ f è derivabile in x_0.

 

 

Riguardo alle dimostrazioni, esse seguiranno automaticamente quando dimostreremo le regole per il calcolo delle derivate (1-3) ed il teorema di derivazione della funzione composta (4).

 

Vi anticipiamo sin da subito che i precedenti risultati, unitamente alle indicazioni proposte nella lezione sui punti di non derivabilità, vi permetteranno di risolvere qualsiasi esercizio relativo allo studio della derivabilità delle funzioni. ;)

 

 


 

Vi raccomandiamo di non perdervi la scheda di esercizi correlati e, nel caso foste in cerca di esercizi svolti, di usare la barra di ricerca interna: qui su YM abbiamo risposto a migliaia di domande e risolto altrettanti esercizi. ;)

 

 

Namasté, see you soon guys!

Fulvio Sbranchella (Agente Ω)

 

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