Punti di non derivabilità (punto angoloso, cuspide, flesso a tangente verticale)

In questa lezione vogliamo vedere in che modo una funzione può non essere derivabile in un punto, e catalogare i vari tipi di punti di non derivabilità.

 

Vedremo che vi sono essenzialmente tre modi con cui una funzione può essere non derivabile in un punto: possiamo avere un punto angoloso, una cuspide o un flesso a tangente verticale.

 
 
 

Tipi di punti di non derivabilità

 

Nella lezione sulla condizione necessaria e sufficiente di derivabilità abbiamo visto sotto quali condizioni una funzione reale di variabile reale è derivabile in un punto. In una frase: quando esiste la derivata di una funzione in un punto.

 

Ricordiamo che una funzione f:\mathbb{R}\to \mathbb{R},\ y=f(x) è derivabile in un punto x_0\in Dom(f) del suo dominio se esistono finiti e uguali i due limiti sinistro e destro del rapporto incrementale

 

\lim_{h\to 0^{+}}{\frac{f(x_0+h)-f(x_0)}{h}}=\lim_{h\to 0^{-}}{\frac{f(x_0+h)-f(x_0)}{h}}=c\in\mathbb{R}

 

Se non sussiste anche una sola delle precedenti condizioni la funzione f non è derivabile nel punto x_0, e possiamo avere uno dei seguenti tipi di punti di non derivabilità:

 

- punto angoloso

 

- cuspide

 

- flesso a tangente verticale

 

Vediamo quali condizioni caratterizzano i vari punti di non derivabilità.

 

Punto angoloso

 

Una funzione f non è derivabile in x_0\in Dom(f) e presenta in tale punto un punto angoloso se i due limiti sinistro e destro del rapporto incrementale esistono entrambi finiti, ma assumono valori diversi.

 

Dunque

 

\\ \lim_{h\to 0^{+}}{\frac{f(x_0+h)-f(x_0)}{h}}=c_1\in\mathbb{R}\\ \\ \\ \lim_{h\to 0^{-}}{\frac{f(x_0+h)-f(x_0)}{h}}=c_2\in\mathbb{R}

 

c_1\neq c_2

 

 

Esempio


Il più classico: la funzione valore assoluto 

 

f(x)=|x|

 

che presenta in x_0=0 un punto angoloso. Infatti

 

\\ \lim_{h\to 0^{+}}{\frac{f(x_0+h)-f(x_0)}{h}}=\lim_{h\to 0^{+}}{\frac{|h|}{h}}=\lim_{h\to 0^{+}}{\frac{+h}{h}}=1\\ \\ \\ \lim_{h\to 0^{-}}{\frac{f(x_0+h)-f(x_0)}{h}}=\lim_{h\to 0^{-}}{\frac{|h|}{h}}=\lim_{h\to 0^{-}}{\frac{-h}{h}}=-1

 

 

Commento: questo tipo di punto di non derivabilità è tipico delle funzioni con uno o più valori assoluti, ma anche delle funzioni definite a tratti - ossia quelle funzioni che sono definite da vari rami su determinati sottoinsiemi di numeri reali. E per quanto riguarda la forma geometrica che si manifesta in corrispondenza di un punto angoloso? Il nome non tradisce l'aspetto: in un punto angoloso il grafico della funzione forma infatti un vero e proprio angolo.

 

Ad esempio, nel caso della funzione modulo di x abbiamo

 

 

Punto angoloso

 

Cuspide

 

Il caso dei limiti sinistro e destro finiti ma diversi (punto angoloso) lo abbiamo visto: se invece i due limiti del rapporto incrementale sinistro e destro sono infiniti, e in particolare infiniti di segno opposto, allora la funzione presenta in x_0 un punto di cuspide.

 

Ci sono naturalmente due possibilità:

 

\lim_{h\to 0^{+}}{\frac{f(x_0+h)-f(x_0)}{h}}=+\infty\ \ ;\ \ \lim_{h\to 0^{-}}{\frac{f(x_0+h)-f(x_0)}{h}}=-\infty

 

oppure

 

\lim_{h\to 0^{+}}{\frac{f(x_0+h)-f(x_0)}{h}}=-\infty\ \ ;\ \ \lim_{h\to 0^{-}}{\frac{f(x_0+h)-f(x_0)}{h}}=+\infty

 

 

Esempio


Consideriamo ad esempio la funzione

 

f(x)=\sqrt{|x|}

 

che presenta in x_{0}=0 un punto di derivabilità, infatti

 

\\ \lim_{h\to 0^{+}}{\frac{f(x_0+h)-f(x_0)}{h}}=\lim_{h\to 0^{+}}{\frac{\sqrt{|h|}}{h}}=\lim_{h\to 0^{+}}{\frac{\sqrt{+h}}{h}}=+\infty\\ \\ \\ \lim_{h\to 0^{-}}{\frac{f(x_0+h)-f(x_0)}{h}}=\lim_{h\to 0^{-}}{\frac{\sqrt{|h|}}{h}}=\lim_{h\to 0^{-}}{\frac{\sqrt{-h}}{h}}=-\infty

 

(Dubbi sul calcolo dei precedenti limiti? Si tratta di un semplice confronto tra infiniti ;) ).

 

 

Commento: i punti di non derivabilità del tipo cuspide si presentano tipicamente in presenza di radici ad indice pari. Geometricamente, o meglio in termini grafici, un punto di cuspide consiste in un punto in cui la funzione cresce con pendenza infinita (verticalmente) in uno dei due intorni sinistro o destro del punto e decresce con pendenza infinita nell'altro intorno, sinistro o destro.

 

Un'immagine varrà più di mille parole: ecco il grafico di f(x)=\sqrt{|x|}

 

 

Cuspide

 

Flesso a tangente verticale

 

Resta un solo caso da prendere in considerazione. Ricordiamoci che le possibilità non sono illimitate, e che discendono dai possibili modi in cui non vale la definizione di derivabilità di una funzione in un punto: manca solo l'eventualità in cui i due limiti sinistro e destro del rapporto incrementale siano infiniti dello stesso segno. In questo caso ci troviamo di fronte ad un punto di flesso a tangente verticale.


Anche in questo caso abbiamo due possibilità:

 

\\ \lim_{h\to 0^{+}}{\frac{f(x_0+h)-f(x_0)}{h}}=+\infty\ \ ;\ \ \lim_{h\to 0^{-}}{\frac{f(x_0+h)-f(x_0)}{h}}=+\infty\\ \\ \\ \mbox{oppure}\\ \\ \\ \lim_{h\to 0^{+}}{\frac{f(x_0+h)-f(x_0)}{h}}=-\infty\ \ ;\ \ \lim_{h\to 0^{-}}{\frac{f(x_0+h)-f(x_0)}{h}}=-\infty



Esempio

 

L'esempio standard che si considera nel caso dei punti di flesso a tangente verticale è dato dalla radice cubica di x

 

f(x)=\sqrt[3]{x}

 

I flessi a tengente verticale sono tipici delle radici ad indice dispari

 

 

Flesso a tangente verticale

 

 

Come si può vedere nel grafico, un punto di flesso a tangente verticale è un punto di flesso nell'intorno del quale la funzione cresce con pendenza infinita sia a sinistra che a destra del punto, oppure nell'intorno del quale la funzione decresce con pendenza infinita sia a sinistra che a destra del punto.

 

 


 

Non perdetevi la scheda correlata di esercizi svolti, e in caso di dubbi sappiate che qui su YM ci sono migliaia di esercizi e domande risolte: potete trovare tutto quello che vi serve con la barra di ricerca. ;)

 

 

Namasté, see you soon guys!

Fulvio Sbranchella (Agente Ω)

 

 

Lezione precedente...........Esercizi correlati..........Lezione successiva


Tags: punti di non derivabilità - tipi di punti funzione non derivabile - punto angoloso - punto di cuspide - punto di flesso - flesso a tangente verticale - funzione non derivabile.

 

pba1