Punti di non derivabilità (punto angoloso, cuspide, flesso a tangente verticale)

I punti di non derivabilità di una funzione sono i punti del dominio in cui non è definita la derivata prima della funzione, e possono essere di tre tipi: punto angoloso, punto di cuspide, punto di flesso a tangente verticale.

 

In questa lezione vogliamo vedere in che modo una funzione può non essere derivabile in un punto, e catalogare i vari tipi di punti di non derivabilità corredandoli con opportuni esempi e trucchetti per riconoscerli.

 

Vedremo che vi sono essenzialmente tre modi con cui una funzione può essere non derivabile in un punto: possiamo avere un punto angoloso, una cuspide o un flesso a tangente verticale.

 

Tipi di punti di non derivabilità

 

Nella lezione sulla condizione necessaria e sufficiente di derivabilità abbiamo visto sotto quali condizioni una funzione reale di variabile reale è derivabile in un punto. In una frase: quando esiste la derivata di una funzione in un punto.

 

Ricordiamo che una funzione f:\mathbb{R}\to \mathbb{R},\ y=f(x) è derivabile in un punto x_0\in Dom(f) del suo dominio se esistono finiti e uguali i due limiti sinistro e destro del rapporto incrementale

 

\lim_{h\to 0^{+}}{\frac{f(x_0+h)-f(x_0)}{h}}=\lim_{h\to 0^{-}}{\frac{f(x_0+h)-f(x_0)}{h}}=c\in\mathbb{R}

 

Se non sussiste anche una sola delle precedenti condizioni la funzione f non è derivabile nel punto x_0, e possiamo avere uno dei seguenti tipi di punti di non derivabilità:

 

- punto angoloso

 

- cuspide

 

- flesso a tangente verticale

 

Vediamo quali condizioni caratterizzano i vari punti di non derivabilità.

 

Punto angoloso

 

Una funzione f non è derivabile in x_0\in Dom(f) e presenta in tale punto un punto angoloso se i due limiti sinistro e destro del rapporto incrementale esistono entrambi finiti, ma assumono valori diversi.

 

Dunque

 

\\ \lim_{h\to 0^{+}}{\frac{f(x_0+h)-f(x_0)}{h}}=c_1\in\mathbb{R}\\ \\ \\ \lim_{h\to 0^{-}}{\frac{f(x_0+h)-f(x_0)}{h}}=c_2\in\mathbb{R}

 

c_1\neq c_2

 

 

Esempio


Il più classico: la funzione valore assoluto 

 

f(x)=|x|

 

che presenta in x_0=0 un punto angoloso. Infatti

 

\\ \lim_{h\to 0^{+}}{\frac{f(x_0+h)-f(x_0)}{h}}=\lim_{h\to 0^{+}}{\frac{|h|}{h}}=\lim_{h\to 0^{+}}{\frac{+h}{h}}=1\\ \\ \\ \lim_{h\to 0^{-}}{\frac{f(x_0+h)-f(x_0)}{h}}=\lim_{h\to 0^{-}}{\frac{|h|}{h}}=\lim_{h\to 0^{-}}{\frac{-h}{h}}=-1

 

 

Commento: questo tipo di punto di non derivabilità è tipico delle funzioni con uno o più valori assoluti, ma anche delle funzioni definite a tratti - ossia quelle funzioni che sono definite da vari rami su determinati sottoinsiemi di numeri reali. E per quanto riguarda la forma geometrica che si manifesta in corrispondenza di un punto angoloso? Il nome non tradisce l'aspetto: in un punto angoloso il grafico della funzione forma infatti un vero e proprio angolo.

 

Ad esempio, nel caso della funzione modulo di x abbiamo

 

 

Punto angoloso

 

Cuspide

 

Il caso dei limiti sinistro e destro finiti ma diversi (punto angoloso) lo abbiamo visto: se invece i due limiti del rapporto incrementale sinistro e destro sono infiniti, e in particolare infiniti di segno opposto, allora la funzione presenta in x_0 un punto di cuspide.

 

Ci sono naturalmente due possibilità:

 

\lim_{h\to 0^{+}}{\frac{f(x_0+h)-f(x_0)}{h}}=+\infty\ \ ;\ \ \lim_{h\to 0^{-}}{\frac{f(x_0+h)-f(x_0)}{h}}=-\infty

 

oppure

 

\lim_{h\to 0^{+}}{\frac{f(x_0+h)-f(x_0)}{h}}=-\infty\ \ ;\ \ \lim_{h\to 0^{-}}{\frac{f(x_0+h)-f(x_0)}{h}}=+\infty

 

 

Esempio


Consideriamo ad esempio la funzione

 

f(x)=\sqrt{|x|}

 

che presenta in x_{0}=0 un punto di derivabilità, infatti

 

\\ \lim_{h\to 0^{+}}{\frac{f(x_0+h)-f(x_0)}{h}}=\lim_{h\to 0^{+}}{\frac{\sqrt{|h|}}{h}}=\lim_{h\to 0^{+}}{\frac{\sqrt{+h}}{h}}=+\infty\\ \\ \\ \lim_{h\to 0^{-}}{\frac{f(x_0+h)-f(x_0)}{h}}=\lim_{h\to 0^{-}}{\frac{\sqrt{|h|}}{h}}=\lim_{h\to 0^{-}}{\frac{\sqrt{-h}}{h}}=-\infty

 

(Dubbi sul calcolo dei precedenti limiti? Si tratta di un semplice confronto tra infiniti ;) ).

 

 

Commento: i punti di non derivabilità del tipo cuspide si presentano tipicamente in presenza di radici ad indice pari. Geometricamente, o meglio in termini grafici, un punto di cuspide consiste in un punto in cui la funzione cresce con pendenza infinita (verticalmente) in uno dei due intorni sinistro o destro del punto e decresce con pendenza infinita nell'altro intorno, sinistro o destro.

 

Un'immagine varrà più di mille parole: ecco il grafico di f(x)=\sqrt{|x|}

 

 

Cuspide

 

Flesso a tangente verticale

 

Resta un solo caso da prendere in considerazione. Ricordiamoci che le possibilità non sono illimitate, e che discendono dai possibili modi in cui non vale la definizione di derivabilità di una funzione in un punto: manca solo l'eventualità in cui i due limiti sinistro e destro del rapporto incrementale siano infiniti dello stesso segno. In questo caso ci troviamo di fronte ad un punto di flesso a tangente verticale.


Anche in questo caso abbiamo due possibilità:

 

\\ \lim_{h\to 0^{+}}{\frac{f(x_0+h)-f(x_0)}{h}}=+\infty\ \ ;\ \ \lim_{h\to 0^{-}}{\frac{f(x_0+h)-f(x_0)}{h}}=+\infty\\ \\ \\ \mbox{oppure}\\ \\ \\ \lim_{h\to 0^{+}}{\frac{f(x_0+h)-f(x_0)}{h}}=-\infty\ \ ;\ \ \lim_{h\to 0^{-}}{\frac{f(x_0+h)-f(x_0)}{h}}=-\infty



Esempio

 

L'esempio standard che si considera nel caso dei punti di flesso a tangente verticale è dato dalla radice cubica di x

 

f(x)=\sqrt[3]{x}

 

I flessi a tengente verticale sono tipici delle radici ad indice dispari

 

 

Flesso a tangente verticale

 

 

Come si può vedere nel grafico, un punto di flesso a tangente verticale è un punto di flesso nell'intorno del quale la funzione cresce con pendenza infinita sia a sinistra che a destra del punto, oppure nell'intorno del quale la funzione decresce con pendenza infinita sia a sinistra che a destra del punto.

 

Casi particolari di punti di non derivabilità

 

Perfetto: abbiamo fornito una classificazione dei punti di non derivabilità di una funzione. La precedente classificazione è esaustiva e copre tutti i casi possibili? No, ma non allarmatevi.

 

Come potete immaginare le infinite possibilità che possono manifestarsi non possono essere racchiuse in un banale elenco, ma poco importa. Noi abbiamo una definizione di funzione derivabile in un punto e alla peggio, nel caso delle funzioni con estremi finiti del dominio, di derivabilità da destra o da sinistra. Se la condizione di derivabilità è soddisfatta, allora la funzione è derivabile nel punto considerato; se la funzione non la soddisfa, il punto potrebbe rientrare in uno dei precedenti casi (punto angoloso, cuspide, flesso a tangente verticale) oppure no.

 

Come classifichiamo un punto di non derivabilità che non rientra nei casi precedenti? Semplice, non lo classifichiamo perché non sarebbe un esercizio utile e ci limitiamo a dire che ci troviamo d'innanzi ad un punto di non derivabilità. Ci sono troppi casi particolari di punti di non derivabilità e, ancor peggio, troppi nomi che dipendono dalla letteratura di riferimento.

 

Ad esempio, se avessimo un punto x_0 tale per cui

 

\\ \lim_{h\to 0^{+}}{\frac{f(x_0+h)-f(x_0)}{h}}=c\in\mathbb{R}\ \ ;\ \ \lim_{h\to 0^{-}}{\frac{f(x_0+h)-f(x_0)}{h}}=+\infty

 

alcuni lo chiamerebbero semicuspide ed altri punto angoloso. Noi ci limiteremmo a chiamarlo punto di non derivabilità. ;)

 

Anche per quanto riguarda gli estremi finiti del dominio, ossia quelli in cui ha senso studiare solamente la derivabilità da sinistra o da destra come nel caso di f:[a,b]\to\mathbb{R}, non ha senso dare definizioni particolari: per noi x=a può essere un punto di derivabilità da destra o di non derivabilità, x=b può essere un punto di derivabilità da sinistra o di non derivabilità.

 

Individuare i punti di non derivabilità

 

Per concludere veniamo al dubbio che qualunque studente si è posto almeno una volta nella vita. Data una funzione di cui ci viene richiesto lo studio della derivabilità, come facciamo a capire in quali punti essa potrebbe non essere derivabile senza avere in partenza degli specifici punti in cui effettuare lo studio?

 

Innanzitutto vorremmo rassicurarvi: si tratta di un compito piuttosto semplice in generale e l'esperienza vi aiuterà molto. Ma per arrivare ad avere l'esperienza necessaria è bene disporre di un metodo di partenza; la serie di indicazioni che stiamo per fornirvi vi permetterà di cavarvela nel 99% degli esercizi, sia alle superiori che all'università. Il restante 1% racchiude i casi patologici e particolarissimi che non vi capiterà mai di affrontare, e che però esistono in linea teorica. ;)

 

L'idea consiste nell'isolare i possibili punti di non derivabilità per esclusione e condurre su ciascuno di essi uno studio approfondito mediante la definizione.

 

1) Dai teoremi visti nella lezione sulla definizione di funzione derivabile sappiamo che somma, differenza, prodotto, quoziente e composizione di funzioni derivabili sono derivabili. Ciò ci permette di limitare parecchio i papabili punti di non derivabilità.

 

2) Detta f la funzione in esame, individuiamo il dominio Dom(f).

 

3) Calcoliamo la derivata della funzione f' (se non sapete come fare, tranquilli: ce ne occupiamo nelle lezioni successive) e determiniamone il dominio Dom(f').

 

4) A scanso di equivoci, intendendo f' come funzione a sé stante, ci limitiamo a lavorare nell'intersezione Dom(f)\cap Dom(f') perché nei punti in cui la funzione f non è nemmeno definita non ha senso parlare di derivabilità!

 

5) Nei punti in cui la funzione f' è continua non abbiamo alcun problema, perché è necessariamente soddisfatta la condizione di derivabilità.

 

6) Nel caso in cui avessimo a che fare con una funzione definita a tratti, ossia una funzione della forma

 

f(x)=\begin{cases}f_1(x)\mbox{ per }x\in [a,b]\\ f_2(x)\mbox{ per }x\in (b,c]\end{cases}

 

il cosiddetto punto di raccordo x=b è un potenziale punto di non derivabilità.

 

7) Se la funzione in esame non è patologica, i punti che abbiamo isolato nei passaggi 1-6 sono possibili punti di non derivabilità. Procediamo quindi con il calcolo dei limiti sinistro e destro del rapporto incrementale.

 

 


 

Non perdetevi la scheda correlata di esercizi svolti, e in caso di dubbi sappiate che qui su YM ci sono migliaia di esercizi e domande risolte: potete trovare tutto quello che vi serve con la barra di ricerca. ;)

 

 

Namasté, see you soon guys!

Fulvio Sbranchella (Agente Ω)

 

 

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