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Punti di non derivabilità (punto angoloso, cuspide, flesso a tangente verticale)

In questa lezione vogliamo vedere in che modo una funzione può non essere derivabile in un punto, e catalogare i vari tipi di punti di non derivabilità. Vedremo che vi sono essenzialmente tre modi con cui una funzione può essere non derivabile in un punto: possiamo avere un punto angoloso, una cuspide o un flesso a tangente verticale.

 

Tipi di punti di non derivabilità

Nella lezione sulla condizione necessaria e sufficiente di derivabilità abbiamo visto sotto quali condizioni una funzione reale di variabile reale è derivabile in un punto. In una frase: quando esiste la derivata di una funzione in un punto.

 

Ricordiamo che una funzione y=f(x)\mbox{, }f:\mathbb{R}\to \mathbb{R} è derivabile in un punto x_0\in Dom(f) del suo dominio se esistono finiti e uguali i due limiti sinistro e destro del rapporto incrementale

 

\lim_{h\to 0^{+}}{\frac{f(x_0+h)-f(x_0)}{h}}=\lim_{h\to 0^{-}}{\frac{f(x_0+h)-f(x_0)}{h}}

 

Se non sussiste anche una sola delle precedenti condizioni la funzione f non è derivabile nel punto x_0, e possiamo avere uno dei seguenti tipi di punti di non derivabilità:

 

  • punto angoloso;
  • cuspide;
  • flesso a tangente verticale.

 

Vediamo quali condizioni caratterizzano i vari punti di non derivabilità...Wink

 

Punto angoloso

 

Una funzione f non è derivabile in x_0\in Dom(f) e presenta in tale punto un punto angoloso se i due limiti sinistro e destro del rapporto incrementale esistono entrambi finiti, ma assumono valori diversi. Dunque

 

\lim_{h\to 0^{+}}{\frac{f(x_0+h)-f(x_0)}{h}}=c_1<+\infty

 

\lim_{h\to 0^{-}}{\frac{f(x_0+h)-f(x_0)}{h}}=c_2<+\infty

 

c_1\neq c_2

 

Esempio


Il più classico: la funzione valore assoluto di x f(x)=|x| (valore assoluto), che presenta in x_0=0 un punto angoloso. Infatti

 

\lim_{h\to 0^{+}}{\frac{f(x_0+h)-f(x_0)}{h}}=\lim_{h\to 0^{+}}{\frac{|h|}{h}}=\lim_{h\to 0^{+}}{\frac{+h}{h}}=1

 

\lim_{h\to 0^{-}}{\frac{f(x_0+h)-f(x_0)}{h}}=\lim_{h\to 0^{-}}{\frac{|h|}{h}}=\lim_{h\to 0^{-}}{\frac{-h}{h}}=-1

 

Commento: questo tipo di punti di non derivabilità è tipico delle funzioni con uno o più valori assoluti, ma anche delle funzioni definite a tratti - ossia quelle funzioni che sono definite da vari rami su determinati sottoinsiemi di numeri reali. E per quanto riguarda la forma geometrica che si manifesta in corrispondenza di un punto angoloso? Il nome non tradisce l'aspetto...Wink in un punto angoloso il grafico della funzione forma infatti un vero e proprio angolo.

 

Ad esempio, nel caso della funzione modulo di x abbiamo

 

Punto angoloso

 

Cuspide

 

Il caso dei limiti sinistro e destro finiti ma diversi (punto angoloso) lo abbiamo visto: se invece i due limiti del rapporto incrementale sinistro e destro sono infiniti, e in particolare infiniti di segno opposto, allora la funzione presenta in x_0 un punto di cuspide.

 

Ci sono naturalmente due possibilità:

 

\lim_{h\to 0^{+}}{\frac{f(x_0+h)-f(x_0)}{h}}=+\infty\mbox{, }\lim_{h\to 0^{-}}{\frac{f(x_0+h)-f(x_0)}{h}}=-\infty

 

oppure

 

\lim_{h\to 0^{+}}{\frac{f(x_0+h)-f(x_0)}{h}}=-\infty \mbox{, }\lim_{h\to 0^{-}}{\frac{f(x_0+h)-f(x_0)}{h}}=+\infty

 

Esempio


Consideriamo, ad esempio, la funzione f(x)=\sqrt{|x|}, che presenta in x_{0}=0 un punto di derivabilità, infatti

 

\lim_{h\to 0^{+}}{\frac{f(x_0+h)-f(x_0)}{h}}=\lim_{h\to 0^{+}}{\frac{\sqrt{|h|}}{h}}=\lim_{h\to 0^{+}}{\frac{\sqrt{+h}}{h}}=+\infty

 

\lim_{h\to 0^{-}}{\frac{f(x_0+h)-f(x_0)}{h}}=\lim_{h\to 0^{-}}{\frac{\sqrt{|h|}}{h}}=\lim_{h\to 0^{-}}{\frac{\sqrt{-h}}{h}}=-\infty

 

[Dubbi sul calcolo dei precedenti limiti? Si tratta di un semplice confronto tra infiniti Wink].

 

Commento: i punti di non derivabilità del tipo "cuspide" si presentano, tipicamente, in presenza di radici ad indice pari. Geometricamente, o meglio in termini grafici, un punto di cuspide consiste in un punto in cui la funzione cresce con pendenza infinita (verticalmente) in uno dei due intorni sinistro o destro del punto e decresce con pendenza infinita nell'altro intorno, sinistro o destro.

 

Un'immagine (grafico di f(x)=\sqrt{|x|}) varrà più di mille parole

 

Cuspide

 

Flesso a tangente verticale

 

Resta un solo caso da prendere in considerazione. Ricordiamoci che le possibilità non sono illimitate, e che discendono dai possibili modi in cui non vale la definizione di derivabilità di una funzione in un punto: manca solo l'eventualità in cui i due limiti sinistro e destro del rapporto incrementale siano infiniti dello stesso segno. In questo caso ci troviamo di fronte ad un punto di flesso a tangente verticale.


Anche in questo caso abbiamo due possibilità:

 

\lim_{h\to 0^{+}}{\frac{f(x_0+h)-f(x_0)}{h}}=+\infty\mbox{, }\lim_{h\to 0^{-}}{\frac{f(x_0+h)-f(x_0)}{h}}=+\infty

 

\mbox{Oppure}

 

\lim_{h\to 0^{+}}{\frac{f(x_0+h)-f(x_0)}{h}}=-\infty \mbox{, }\lim_{h\to 0^{-}}{\frac{f(x_0+h)-f(x_0)}{h}}=-\infty


Esempio


L'esempio standard che si considera nel caso dei punti di flesso a tangente verticale è dato dalla radice cubica di x f(x)=\sqrt[3]{x}. I flessi a tengente verticale sono tipici delle radici ad indice dispari

 

Flesso a tangente verticale

 

come si può vedere nel grafico, un punto di flesso a tangente verticale è un punto di flesso nell'intorno del quale la funzione cresce con pendenza infinita sia a sinistra che a destra del punto, oppure nell'intorno del quale la funzione decresce con pendenza infinita sia a sinistra che a destra del punto.

 


 

Se dovessi avere dubbi, domande o quant'altro, sappi che puoi aprire una discussione nel Forum e cercare tra le migliaia di esercizi e domande risolte qui su YM Wink

 

Namasté!

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ly

 

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