Come calcolare gli sviluppi di Taylor

Il metodo per calcolare gli sviluppi in serie di Taylor è un procedimento che, a partire dalla formula dell'omonimo teorema e dagli sviluppi notevoli, permette di scrivere lo sviluppo di una funzione mediante una serie di regole algebriche.

 

Dopo aver capito cos'è lo sviluppo in serie di Taylor e a cosa serve, è giunto il momento di buttarsi a capofitto nella pratica. Questa lezione è una guida a tal proposito: dapprima vedremo come sviluppare una funzione in serie di Taylor mediante la formula del teorema.

 

Dopo aver imparato ad usare la formula entreremo nel vivo dell'azione. Memori del fatto che esiste una comodissima tabella di sviluppi notevoli, analizzaremo le regole che consentono di scrivere gli sviluppi di Taylor di una somma, di un prodotto e di un quoziente di due funzioni. Chiuderemo la lezione con un metodo fondamentale: il calcolo dello sviluppo di Taylor di una funzione composta.

 

Sviluppi con la formula di Taylor

 

Nella lezione sullo sviluppo in serie di Taylor abbiamo visto come, sotto opportune ipotesi di regolarità, una funzione possa essere espressa come somma tra un polinomio e un resto. In altri termini vale la cosiddetta formula di Taylor per lo sviluppo di una funzione f(x) all'ordine n con centro in x_0.

 

Scegliendo di usare il resto nella forma di Peano risulta:

 

\\ f(x)=\sum_{k=0}^{+\infty}\frac{f^{(k)}(x_0)}{k!}(x-x_0)^k=\\ \\ =f(x_0)+f'(x_0)(x-x_0)+\frac{f''(x_0)}{2!}(x-x_0)^2+...+\frac{f^{(n)}(x_0)}{n!}(x-x_0)^n+o((x-x_0)^n)

 

Con f^{(k)}(x_0) intendiamo la derivata k-esima della funzione f(x) valutata nel punto x_0, e con il simbolo n! intendiamo invece il fattoriale di n.

 

La formula è piuttosto lunga ma fortunatamente è semplice da ricordare, soprattutto nella forma compatta mediante il simbolo di sommatoria. Lo schema da seguire per applicarla consiste dei seguenti passaggi.

 

1) Tenere a mente qual è l'ordine dello sviluppo n.

 

2) Prestare attenzione al centro dello sviluppo x_0

 

3) Calcolare le derivate successive fino all'ordine n richiesto.

 

4) Valutare le derivate nel centro di sviluppo x_0.

 

5) Sostituire i valori ottenuti nella formula.

 

6) Scrivere il resto di Peano (oppure il resto di Lagrange, a seconda dei nostri scopi).

 

Se seguiremo questi semplici passaggi, il calcolo degli sviluppi di Taylor per funzioni dalle espressioni analitiche semplici sarà una passeggiata.

 

Esempio sugli sviluppi con la formula di Taylor

 

Calcoliamo lo sviluppo in serie di Taylor di ordine 4 e nel punto x_0 della funzione

 

f(x)=\sin(x^2)

 

In questo caso l'ordine dello sviluppo è n=4, inoltre il centro dello sviluppo è x_0=0. Sotto le condizioni fornite dalla traccia, la formula di Taylor è data da

 

f(x)=f(0)+f'(0) x+\frac{f''(0)}{2} x^2+\frac{f'''(0)}{3!}x^3+\frac{f^{(4)}(0)}{4!}x^4+o(x^4)

 

Calcoliamo le derivate successive della funzione e valutiamole nel centro:

 

\begin{array}{ lcl } f(x)=\sin(x^2) &\longrightarrow & f(x_0)=f(0)=0\\ \\ f'(x)=2x\cos(x^2) &\longrightarrow& f'(x_0)=f'(0)=0 \\ \\ f''(x)=2\cos(x^2)-4x^2\sin(x^2) & \longrightarrow &f''(x_0)=f''(0)=2 \\ \\ f'''(x)=-8x^3\cos(x^3)-12x\sin(x^2)&\longrightarrow & f'''(x_0)=f'''(0)=0 \\ \\ f^{(4)}(x)=-48 x^2\cos(x^2)-12\sin(x^2)+16 x^4 \sin(x^2)&\longrightarrow & f^{(4)}(x_0)=f^{(4)}(0)=0\end{array}

 

A questo punto rimpiazziamo nella formula di Taylor i termini che abbiamo calcolato in precedenza.

 

\\ f(x)=0+0 x+\frac{2}{2}x^2+0x^3+0x^4+o(x^4)=\\ \\= x^2+o(x^4)

 

L'unica difficoltà che possiamo riscontrare nel calcolo degli sviluppi mediante la formula riguarda gli errori di calcolo: più è alto l'ordine, maggiore è il rischio di commettere banali sviste. Per il resto come potete vedere non c'è nulla di concettualmente complicato.

 

Algebra degli sviluppi di Taylor

 

Non ci soffermiamo ulteriormente sull'applicazione della formula perché è puramente meccanica. Il nostro obiettivo consiste piuttosto nel capire come evitare di usare la formula. Finché ci troviamo a dover sviluppare una funzione del tipo

 

f(x)=e^{3x}

 

non abbiamo problemi; ma se dovessimo sviluppare

 

f(x)=e^x(\log(x)+4\sin(x))

 

la musica cambierebbe parecchio... ;)

 

Le regole che stiamo per introdurre vanno sotto il nome di algebra degli sviluppi di Taylor e formano un insieme di proposizioni che legano gli sviluppi alle operazioni algebriche elementari. Come avrete già intuito l'utilizzo congiunto della tabella degli sviluppi notevoli di Taylor e delle regole algebriche ci permetterà di risparmiare un sacco di calcoli e di fatica.

 

Da qui in poi supporremo che le funzioni in gioco siano sviluppabili secondo Taylor nel centro indicato, onde evitare di appesantire troppo la spiegazione. Indichiamo con

 

\\ f(x)=P_{n}(x)+o((x-x_0)^n)\\ \\ g(x)=Q_{n}(x)+o((x-x_0)^n)

 

gli sviluppi di Taylor centrati in x_0 e di ordine n delle funzioni f(x)\mbox{ e }g(x). Con P_n(x)\mbox{ e }Q_n(x) indichiamo i polinomi di Taylor associati alle funzioni f(x)\mbox{ e }g(x) centrati in x_0:

 

\\ P_n(x)=f(x_0)+f'(x_0) (x-x_0)+...+\frac{f^{(n)}(x_0)}{n!}(x-x_0)^n\\ \\ Q_n(x)=g(x_0)+g'(x_0)(x-x_0)+...+\frac{g^{(n)}(x_0)}{n!} (x-x_0)^n

 

Fatte le dovute premesse possiamo muovere i primi piccoli passi verso il calcolo di sviluppi di funzioni più elaborate.

 

Sviluppo di Taylor di una somma di funzioni

 

Ok, questa è facile: lo sviluppo di una somma di funzioni coincide con la somma degli sviluppi dei singoli addendi.

 

Più precisamente, lo sviluppo in serie di Taylor della somma di due funzioni f(x)\mbox{ e }g(x) è dato dalla somma algebrica dei singoli sviluppi

 

f(x)+g(x)=P_n(x)+o((x-x_0)^n)+Q_n(x)+o((x-x_0)^n)

 

Ricordando le regole dell'algebra degli o-piccolo possiamo riscrivere la regola in una forma più elegante: lo sviluppo di una somma di funzioni è dato dalla somma dei polinomi di Taylor P_n(x),Q_n(x) più il resto:

 

f(x)+g(x)=P_n(x)+Q_n(x)+o((x-x_0)^n)

 

dunque il polinomio P_n(x)+Q_n(x) è il polinomio di Taylor associato alla funzione somma f(x)+g(x), mentre il resto rimane invariato.

 

Nota bene: non è errato sviluppare con ordini differenti le funzioni in gioco, ma è fortemente sconsigliato a coloro che sono alle prime armi o a chi non ha molta dimestichezza con l'algebra degli o-piccolo. Il rischio di commettere errori è davvero elevato. Per evitare patemi d'animo svilupperemo gli addendi sempre e comunque allo stesso ordine.

 

Esempio sullo sviluppo di una somma di funzioni

 

Determiniamo lo sviluppo in serie di Taylor-Mc Laurin di ordine 3 della funzione

 

y=\sin(x)+e^x

 

La funzione è chiaramente una somma tra le due funzioni elementari f(x)=\sin(x)\mbox{ e }g(x)=e^x, di cui sono noti entrambi gli sviluppi di Taylor-Mc Laurin. Scriviamo entrambi gli sviluppi fino al terzo ordine:

 

\\ \sin(x)=x-\frac{x^3}{6}+o(x^3)\\ \\ \\ e^{x}=1+x+\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{6}+o(x^3)

 

Sommiamo gli sviluppi delle due funzioni così da ottenere lo sviluppo della funzione assegnata

 

\\ y=\sin(x)+e^{x}=\\ \\ =x-\frac{x^3}{6}+o(x^3)+1+x+\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{6}+o(x^3)=\\ \\ =1+2x+\frac{x^2}{2}+o(x^3)

 

Osservazione importante: può succedere che nello sviluppo in serie di Taylor della somma le potenze di x-x_0 si cancellino a vicenda esattamente fino al grado n, e questo è un male perché lo sviluppo non ci fornirebbe alcuna informazione utile.

 

Se ciò dovesse accadere (e vi assicuriamo che prima o poi accadrà) allora sarebbe necessario partire dagli sviluppi di f(x)\mbox{ e }g(x) con un ordine maggiore di n. In questo modo lo sviluppo avrà almeno la prima potenza non nulla di x-x_0 oltre al resto.

 

Sviluppo in serie di Taylor del prodotto di due funzioni

 

Come dobbiamo comportarci per determinare lo sviluppo di Taylor del prodotto di due funzioni? Anche in questo caso non è difficile: sviluppiamo in serie ciascun fattore e moltiplichiamo gli sviluppi, stando attenti ovviamente a tutti i termini che vengono inglobati dall'o-piccolo.

 

Lo sviluppo in serie di Taylor del prodotto di due funzioni f(x)\mbox{ e }g(x) è dato dal prodotto dei singoli sviluppi

 

f(x)g(x)=[P_n(x)+o((x-x_0)^n)]\cdot[Q_n(x)+o((x-x)^n)]

 

A differenza di ciò che abbiamo fatto nel caso della somma, qui non è utile dare una formula pronta all'uso per scrivere direttamente lo sviluppo con un unico resto. L'unica indicazione che si può dare a priori e in generale prevede di effettuare i calcoli e di gestire i termini misti - ossia i termini in cui compaiono gli o-piccolo - usando l'algebra degli o-piccolo.

 

Osservazione importante: è possibile sviluppare i fattori con ordini diversi? Ancora una volta la risposta è sì, è possibile ma fortemente sconsigliato. Si corre il rischio di stimare in modo errato l'o-piccolo nello sviluppo del prodotto e quindi le potenze da trascurare. Per evitare ogni problema svilupperemo allo stesso ordine ogni fattore.

 

Esempio sullo sviluppo di un prodotto di funzioni

 

Supponiamo di voler calcolare lo sviluppo di Taylor di centro x_0=0 e di ordine 3 della funzione

 

y=e^x\ln(1+x)

 

Essa è prodotto delle funzioni f(x)=e^x\mbox{ e }g(x)=\ln(1+x) di cui fortunatamente conosciamo già lo sviluppo nel centro indicato

 

\\ e^x=1+x+\frac{x^2}{2}+o(x^2)\\ \\ \\ \ln(1+x)=x-\frac{x^2}{2}+o(x^2)

 

Calcoliamo il prodotto degli sviluppi e trascuriamo tutte le potenze con esponente maggiore di 3

 

e^{x}\ln(1+x)=\left[1+x+\frac{x^2}{2}+o(x^2)\right]\left[x-\frac{x^2}{2}+o(x^2)\right]=

 

Facciamo i conti

 

=x-\frac{x^2}{2}+o(x^2)+x^2-\frac{x^3}{2}+xo(x^2)+\frac{x^3}{2}-\frac{x^4}{4}+\frac{x^2}{2}o(x^2)+xo(x^2)-\frac{x^2}{2}o(x^2)+o(x^2)o(x^2)=

 

Ora applichiamo passaggio per passaggio le regole dell'algebra degli o-piccolo, e ovviamente sommiamo e sottraiamo i monomi simili

 

=x+\frac{x^2}{2}-\frac{x^4}{4}+o(x^2)+xo(x^2)+\frac{x^2}{2}o(x^2)+xo(x^2)-\frac{x^2}{2}o(x^2)+o(x^2)o(x^2)=

 

Grazie alle regole del prodotto relative agli o-piccolo, otteniamo ordinatamente

 

=x+\frac{x^2}{2}-\frac{x^4}{4}+o(x^2)+o(x^3)+o(x^4)+o(x^3)+o(x^4)+o(x^4)=

 

e per la regola sulla somma di o-piccoli

 

=x+\frac{x^2}{2}-\frac{x^4}{4}+o(x^2)+o(x^3)+o(x^4)=

 

Da ultimo, l'o-piccolo con esponente minore ingloba tutti gli altri

 

=x+\frac{x^2}{2}-\frac{x^4}{4}+o(x^2)=

 

e non si limita a questo: ingloba anche i termini di grado superiore

 

=x+\frac{x^2}{2}+o(x^2)

 

Possiamo quindi concludere che lo sviluppo della funzione di partenza è

 

e^{x}\ln(1+x)=x+\frac{x^2}{2}+o(x^2)

 

Sviluppo in serie di Taylor del quoziente

 

Il quoziente di due funzioni è probabilmente l'operazione più difficile da sviluppare in serie di Taylor, anche perché richiede una certa dose di calcoli.

 

Il nostro obiettivo è determinare lo sviluppo della funzione

 

h(x)=\frac{f(x)}{g(x)}

 

che si presenta nella forma

 

h(x)=T_n(x)+o((x-x_0)^n)

 

dove T_n(x) è il polinomio di Taylor associato ad h(x)

 

T_n(x)=a_0+a_1 (x-x_0)+a_2 (x-x_0)^2+...+a_n (x-x_0)^n

 

con a_0,a_1,...,a_n costanti da determinare.

 

Per calcolare lo sviluppo di h(x) dobbiamo scrivere f(x) come prodotto tra g(x)\mbox{ e }h(x):

 

h(x)=\frac{f(x)}{g(x)}\implies f(x)=g(x)h(x)

 

Eseguiamo il prodotto tra lo sviluppo di h(x) e lo sviluppo di g(x)

 

T_n(x)Q_n(x)+o((x-x_0)^n)=P_n(x)+o((x-x_0)^n)

 

I termini di grado minore o uguale ad n del polinomio T_n(x)Q_n(x) devono coincidere con i termini del polinomio P_n(x).

 

Grazie a questa imposizione possiamo determinare i coefficienti a_0,a_1,...,a_n e di conseguenza lo sviluppo di Taylor associato alla funzione h(x). Tutti i termini di grado superiore ad n vengono invece trascurati.

 

Esempio su come si calcola lo sviluppo di Taylor associato alla funzione quoziente

 

Calcoliamo lo sviluppo di Taylor di centro x_0=1 e ordine 2 della funzione

 

h(x)=\frac{\sin(x-1)}{e^{x-1}}

 

Riscriviamo la precedente uguaglianza come

 

\sin(x-1)=h(x)e^{x-1}

 

Poiché il centro è x_0=1 allora lo sviluppo di h(x) è del tipo

 

h(x)=a_0+a_1(x-1)+a_2(x-1)^2+o((x-1)^2)

 

Lo sviluppo della funzione esponenziale è invece

 

e^{x-1}=1+(x-1)+\frac{(x-1)^2}{2}+o((x-1)^2)

 

Eseguiamo il prodotto tra lo sviluppo di h(x) e quello della funzione esponenziale, stando attenti a trascurare tutte le potenze di x-1 di grado superiore a 2.

 

h(x)e^{x-1}=a_0+(a_0+a_1)(x-1)+\frac{1}{2}(a_0+2 a_1+2 a_2)(x-1)^2+o((x-1)^2)

 

Calcoliamo lo sviluppo della funzione seno: \sin(x-1)

 

\sin(x-1)=(x-1)+o((x-1)^2)

 

Dall'uguaglianza

 

h(x)e^{x-1}=\sin(x)

 

segue che

 

\\ a_0+(a_0+a_1)(x-1)+\frac{a_0+2 a_1+2a_2}{2}(x-1)^2+o((x-1)^2)=\\ \\=(x-1)+o((x-1)^2)

 

Il più è fatto, da qui in poi dovrebbe diventare tutto molto più semplice. Interviene il principio di identità dei polinomi: affinché l'uguaglianza sussista, dobbiamo uguagliare tra loro i coefficienti delle potenze di x-1 e costruire il seguente sistema lineare

 

\begin{cases}a_0=0\\ a_0+a_1=1\\ \frac{a_0+2a_1+2a_2}{2}=0\end{cases}

 

Da cui

 

a_0=0,\ a_1=1,\  a_2=-1

 

Abbiamo ottenuto i coefficienti di Taylor dello sviluppo della funzione h(x):

 

\\ \frac{\sin(x-1)}{e^{x-1}}=a_0+a_1 (x-1)+a_2 (x-1)^2+o((x-1)^2)=\\ \\ = 0+x-1-(x-1)^2+o((x-1)^2)=\\ \\ = x-1-(x-1)^2+o((x-1)^2)

 

Sviluppo di Taylor di una funzione composta

 

Finora abbiamo visto come determinare lo sviluppo in serie di Taylor quando intervengono le operazioni elementari: somma algebrica, prodotto e quoziente di funzioni elementari. Ora vedremo come comportarci per determinare lo sviluppo in serie di Taylor di una funzione composta.

 

Consideriamo due funzioni f(y)\mbox{ e }g(x) di cui è possibile determinare la funzione composta f(g(x)), e supponiamo inoltre che:

 

- la funzione g(x) sia sviluppabile nel punto x_0;

 

- la funzione f(y) sia sviluppabile nel punto y_0=g(x_0);

 

allora per determinare lo sviluppo della funzione composta procederemo nel modo seguente.

 

1) Determiniamo lo sviluppo di Taylor di ordine n e con centro x_0 della funzione g(x).

 

g(x)=g(x_0)+g'(x_0)(x-x_0)+...+ \frac{g^{(n)}(x_0)}{n!}(x-x_0)^n+o((x-x_0)^n)

 

2) Calcoliamo lo sviluppo di Taylor di ordine n della funzione esterna f(y), facendo attenzione perché il centro dello sviluppo non è x_0 ma la sua immagine tramite g(x), ossia y_0=g(x_0)

 

f(y)=f(y_0)+f'(y_0)(y-y_0)+...+\frac{f^{(n)}(y_0)}{n!}(y-y_0)^n+o((y-y_0)^n)

 

3) Componiamo gli sviluppi ottenuti, ossia rimpiazziamo ad ogni occorrenza di y dello sviluppo di f(y) l'intero sviluppo di g(x). Da qui in poi è solo una questione di calcoli... e di o-piccolo. ;)

 

Sembra complicato, vero? Ed in effetti lo è, non vogliamo nasconderci dietro ad un dito. Nella speranza di rendere più chiari i passi da seguire proponiamo subito un esempio.

 

Esempio sullo sviluppo della composizione di funzioni

 

Intendiamo determinare lo sviluppo in serie di Taylor di ordine 2 della funzione

 

h(x)=\sqrt{e^x}\mbox{ con centro }x_0=0

 

Essa è chiaramente una funzione composta:

 

f(y)=\sqrt{y}\mbox{ e }g(x)=e^{x}

 

Partiremo dallo sviluppo della funzione interna g(x) con centro x_0=0.

 

g(x)=e^{x}=1+x+\frac{x^2}{2}+o(x^2)

 

Dopodiché determiniamo il centro dello sviluppo della funzione esterna

 

y_0=g(x_0)\iff y_0=e^{0}=1

 

Bene, il centro dello sviluppo di Taylor associato alla funzione esterna f(y) è y_0=1.

 

f(y)=\sqrt{y}=1+\frac{y-1}{2}-\frac{(y-1)^2}{8}+o((y-1)^2)

 

Ora componiamo gli sviluppi

 

\\ h(x)=f(g(x))=\ \ \ \ \ (\bullet)\\ \\ =\sqrt{e^{x}}=\\ \\ =1+\frac{1+x+\frac{x^2}{2}+o(x^2)-1}{2}-\frac{(1+x+\frac{x^2}{2}+o(x^2)-1)^2}{8}+o\left(\left(1+x+\frac{x^2}{2}+o(x^2)-1\right)^2\right)

 

Ora non spaventatevi. Non dovrete di certo fare una montagna di calcoli! La strategia prevede innanzitutto di individuare l'o-piccolo di grado più piccolo che possa risultare dalla precedente espressione, e limitare i nostri calcoli sulla base di esso.

 

Per individuarlo guardiamo l'ultimissimo addendo:

 

o\left(\left(x+\frac{x^2}{2}+o(x^2)\right)^2\right)

 

Forti delle regole che derivano dall'algebra degli o-piccolo sappiamo senza fare conti che tale espressione coincide con

 

o(x^2)

 

Per vederlo basta eliminare i termini che si cancellano e ricordare che o-piccolo di grado inferiore mangia o-piccolo di grado superiore. Torniamo a (\bullet)

 

(\bullet)=1+\frac{x+\frac{x^2}{2}+o(x^2)}{2}-\frac{(x+\frac{x^2}{2}+o(x^2))^2}{8}+o(x^2)=

 

Qui non dobbiamo sviluppare tutti i conti: possiamo omettere tutti i termini che negli sviluppi delle potenze superano il grado imposto da o(x^2), perché tanto verranno inglobati da esso. Qui naturalmente ci vuole un po' di occhio e un po' di calcolo mentale per individuare i gradi dei doppi prodotti.

 

=1+\frac{x+\frac{x^2}{2}+o(x^2)}{2}-\frac{x^2+\overbrace{o(x^2)}^{\mbox{coerenza}}}{8}+o(x^2)=

 

Ci siamo, non ci resta che sviluppare i pochi conti rimasti

 

\\ =1+\frac{x}{2}+\frac{x^2}{4}+o(x^2)-\frac{x^2}{8}+o(x^2)+o(x^2)=\\ \\ \\ =1+\frac{x}{2}+\frac{x^2}{8}+o(x^2)

 

 


 

Non perdetevi la scheda correlata di esercizi svolti; qui più che mai l'allenamento è fondamentale per acquisire a dovere le varie tecniche proposte. Se non bastassero vi suggeriamo di usare la barra di ricerca interna, inoltre in caso di necessità potete fare affidamento sul tool per gli sviluppi di Taylor online  ;)

 

 

Buona Matematica a tutti

Salvatore Zungri (Ifrit)

 

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Tags: algebra degli sviluppi di Taylor e sviluppo della funzione composta.

 

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