Massimi e minimi relativi e assoluti

I massimi e minimi relativi e assoluti di una funzione sono rispettivamente i massimi ed i minimi valori che una funzione realizza localmente o globalmente; le corrispondenti ascisse vengono dette punti di massimo e di minimo (relativi o assoluti).

 

Questo articolo è il punto di partenza per lo studio di massimi e minimi e della monotonia (crescita e decrescita) di una funzione, e viene trattato nel dettaglio qui e negli articoli successivi.

 

In questa lezione proporremo le definizioni preliminari su massimi e minimi relativi e assoluti, che verranno poi riprese nel seguito. Tenete conto che lo studio dei massimi e dei minimi costituisce il cuore della teoria delle derivate e trova la sua principale applicazione nel contesto dello studio di funzione.

 

Cosa sono i massimi e i minimi di una funzione

 

Le derivate in Analisi Matematica hanno come principale utilizzo lo studio di alcuni aspetti qualitativi che caratterizzano una funzione reale di variabile reale

 

f:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R},\ \ \ y=f(x)

 

Sapendo calcolare le derivate siamo in grado di:

 

- trovare tutti i massimi e i minimi, sia relativi che assoluti, di una funzione derivabile;

 

- stabilire in quali intervalli del dominio la funzione cresce o decresce.

 

Per farlo però dobbiamo prima conoscere le definizioni rigorose di massimo e minimo relativo e assoluto.

 

 

Definizione (massimo assoluto di una funzione)

 

Sia y=f(x) una funzione con dominio Dom(f). Diciamo che x_0 è un punto di massimo assoluto per la funzione, e che f(x_0) è il massimo assoluto della funzione, se per ogni x\in Dom(f) risulta che f(x)\leq f(x_0).

 

Nota bene: nella definizione x0 è un punto di massimo, f(x0) il valore massimo assoluto. Ad uno o più punti di massimo assoluto corrisponde il massimo valore assoluto.

 

 

Definizione (minimo assoluto di una funzione)

 

Sia y=f(x) una funzione con dominio Dom(f). Diciamo che x_0 è un punto di minimo assoluto per la funzione, e che f(x_0) è il minimo assoluto della funzione, se per ogni x\in Dom(f) risulta che f(x)\geq f(x_0).

 

Anche qui, vale un nota bene analogo al precedente.

 

 

In parole povere un punto di massimo assoluto è un'ascissa che realizza, mediante la funzione, il più grande tra tutti i valori assunti da f. La condizione di massimo assoluto è espressa dal fatto che

 

\forall x\in Dom(f)\ \ f(x)\leq f(x_0)

 

Analogamente diciamo che x0 è un punto di minimo assoluto per la funzione se

 

\forall x\in Dom(f)\mbox{, }f(x)\geq f(x_0)

 

 


 

 

Introduciamo le definizioni, meno restrittive delle precedenti, di massimo e minimo relativo.

 

Definizione (massimo relativo di una funzione)

 

Sia y=f(x) una funzione con dominio Dom(f). Diciamo che x_0 è un punto di massimo relativo per la funzione se esiste almeno un intorno B(x_0,\delta)\subset Dom(f) di raggio \delta e centro x_0 tale che per ogni x appartenente a B(x_0,\delta) risulta che f(x)\leq f(x_0).

 

 

Definizione (minimo relativo di una funzione)

 

Sia y=f(x) una funzione con dominio Dom(f)=\mathbb{R}. Diciamo che x_0 è un punto di minimo relativo per la funzione se esiste almeno un intorno B(x_0,\delta) di raggio \delta e centro x_0 tale che per ogni x appartenente a B(x_0,\delta) risulta che f(x)\geq f(x_0).

 

 

In altri termini un punto è di massimo relativo se esiste un intorno di tale punto in cui il valore assunto dalla funzione nel punto è il massimo valore tra quelli assunti dalla funzione nei punti dell'intorno. In modo analogo per i punti di minimo relativo.

 

Ok, potrebbe sembrare uno scioglilingua, quindi vediamo di esprimerci più sinteticamente: un punto di massimo o minimo è relativo se determina localmente il più grande o il più piccolo valore di ordinata delle funzione.

 

Tutto questo sembra complicato, ma non lo è. Guardando la figura che segue sarà tutto più chiaro!

 

 

Massimi e minimi assoluti e relativi

 

 

I punti evidenziati in nero da sinistra a destra sull'asse delle ascisse sono rispettivamente: un punto di massimo relativo, un punto di minimo relativo, un punto di massimo assoluto, un punto di minimo assoluto.

 

Le corrispondenti ordinate sono rispettivamente: un massimo relativo, un minimo relativo, un massimo assoluto ed un minimo assoluto.

 

Relazione tra massimi e minimi relativi e assoluti

 

Osserviamo che un massimo (o un minimo) assoluto di una funzione è anche un massimo (o un minimo) relativo; al contrario un massimo (o un minimo) relativo non è necessariamente un massimo (o un minimo) assoluto.

 

La traduzione di quest'ultima frase in matematichese è: relativo è condizione necessaria ma non sufficiente per assoluto; assoluto è condizione sufficiente ma non necessaria per relativo.

 

Caratterizzazione per massimi e minimi nel caso di funzioni continue

 

I punti di massimo e minimo, che siano assoluti o relativi, vengono detti punti estremanti della funzione. Se vogliamo darne una caratterizzazione dal punto di vista pratico, consideriamo una funzione definita e continua in x_0 e nell'intorno di x_0.

 

Possiamo affermare che

 

- affinché x0 sia un punto di massimo per la funzione f, è necessario che la funzione f(x) sia crescente a sinistra di x0 e decrescente a destra.

 

Più precisamente: se esistono due intorni sinistro e destro di x0, B-(x0-) e B+(x0+), tali per cui f(x) è monotona crescente o non decrescente in B-(x0-) ed è monotona decrescente o non crescente B+(x0+) allora x0 è punto di massimo relativo.

 

- Affinché x0 sia un punto di minimo per la funzione f, è necessario che la funzione f(x) sia decrescente a sinistra di x0 e crescente a destra.

 

Più precisamente: se esistono due intorni sinistro e destro di x0, B-(x0-) e B+(x0+), tali per cui f(x) è monotona decrescente o non crescente in B-(x0-) ed è monotona crescente o non decrescente B+(x0+) allora x0 è un punto di minimo relativo.

 

 

Nota bene

 

Naturalmente la precedente caratterizzazione di punti di massimo e di minimo vale per le funzioni continue; le definizioni di punto di massimo e di minimo che abbiamo fornito ad inizio lezione, invece, si possono applicare a tutte le tipologie di funzioni.

 

 


 

Per il momento niente esercizi correlati, ci serve ancora un po' di teoria. Nella lezione successiva vedremo un teorema fondamentale per lo studio dei punti di massimo e minimo delle funzioni reali di variabile reale: il teorema di Fermat. Un teorema semplice, ma molto molto importante... ;)

 

 

వీడ్కోలు, see you soon guys!

Fulvio Sbranchella (Agente Ω)

 

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