Teoremi su derivata seconda, convessità e concavità

Dopo aver introdotto le derivate successive al primo ordine, in questa lezione ci occuperemo in particolare dei teoremi che legano la derivata seconda di una funzione con la concavità e convessità di una funzione

 

Prima di iniziare ci occuperemo di un paio di definizioni preliminari e proporremo le definizioni di funzione convessa e di funzione concava, con tanto di relative caratterizzazioni, dopodiché passeremo senza ulteriori indugi ai teoremi che collegano il segno della derivata seconda con la concavità e convessità.

 

Teoremi sulla derivata seconda e convessità di una funzione

 

Come anticipato nell'introduzione, partiamo dalle definizioni preliminari.

 

Definizione di funzione convessa e di funzione concava

 

Consideriamo una funzione reale a valori reali f:\mathbb{R}\to\mathbb{R} e sia I un intervallo contenuto nel dominio della funzione. Diremo che f(x) è convessa se e solo se comunque si prendano due punti del suo grafico, il segmento che li congiunge sta al di sopra del grafico stesso.

 

Si dirà invece concava se e solo se il segmento che congiunge due punti qualsiasi del grafico sta al di sotto di quest'ultimo.

 

 

Significato geometrico funzione convessa

 

 

La funzione in blu nel grafico è una funzione convessa. 

 

Da un punto di vista formale, diremo che f(x) è

 

- una funzione convessa in I se:

 

 

f(t x_1+ (1-t)x_2)\le t f(x_1)+ (1-t)f(x_2)\quad\forall x_1,x_2\in I\mbox{ e }t\in [0,1] 

 

 

- una funzione strettamente convessa in I se vale la disuguaglianza stretta, ossia:

 

 

f(t x_1 + (1-t)x_2)< t f(x_1)+ (1-t) f(x_2)\quad\forall x_1\ne x_2\in I\mbox{ e }t\in (0,1)

 

 

- una funzione concava in  I se:

 

 

f(t x_1+ (1-t)x_2)\ge t f(x_1)+ (1-t)f(x_2)\quad\forall x_1,x_2\in I\mbox{ e }t\in [0, 1]

 

 

- una funzione strettamente concava in I se vale la disuguaglianza stretta:

 

 

f(t x_1+(1-t)x_2)>t f(x_1)+ (1-t)f(x_2)\quad\forall x_1\neq x_2\in I\mbox{ e }t\in (0,1)

 

 

Queste sono le definizioni nude e crude di funzione concava e di funzione convessa. Da notare che non abbiamo mai richiesto che la funzione f sia derivabile: questa semplice osservazione è fondamentale - mettetela da parte per una manciata di minuti - avrete modo di apprezzarla a lezione conclusa. ;)

 

 

Esempi di funzioni concave e di funzioni convesse

 

 

La funzione valore assoluto f(x)=|x| è una funzione convessa in \mathbb{R};

 

 

Esempio di funzione convessa ma non derivabile

 

 

La funzione logaritmica f(x)=\ln(x) è una funzione concava in (0, +\infty);

 

 

Esempio di funzione concava

 

 

La funzione identità f(x)=x è una funzione sia concava e sia convessa in \mathbb{R}.

 

 

Esempio di funzione concava e convessa

 

Caratterizzazione della convessità per funzioni derivabili al primo ordine

 

Nel caso in cui la funzione sia derivabile in un intervallo (a,b) allora possiamo riscrivere la definizione di concavità e convessità come segue.

 

 

Sia f(x) una funzione derivabile in un intervallo (a,b) contenuto nel dominio di f. Allora la funzione f(x) è convessa se e solo se 

 

 

f(x)\ge f(x_0)+f'(x_0)(x-x_0)\quad\forall x\in (a, b)\,\, \forall x_0\in (a,b)

 

 

si dirà invece concava nell'intervallo (a,b) se e solo se 

 

 

f(x)\le f(x_0)+f'(x_0)(x-x_0)\quad\forall x\in (a,b)\,\, \forall x_0\in (a,b)

 

 

Dal punto di vista geometrico, una funzione derivabile è convessa (concava) in un intervallo (a,b) se e solo se per ogni x_0\in (a,b) la retta tangente in x_0 al grafico della funzione sta al di sotto o coincide (rispettivamente al di sopra o coincide) con il grafico della funzione. 

 

 

Caratterizzazione di convessità e concavità per funzioni derivabili

 

 

Vale inoltre il seguente

 

Teorema (condizioni necessarie e sufficienti per convessità/concavità e funzioni derivabili)

 

Sia f(x) una funzione derivabile in (a,b). Allora essa è:

 

- convessa in (a,b) se e solo se la derivata prima è debolmente crescente in (a,b);

 

- concava in (a,b) se e solo se la derivata prima è debolmente decrescente in (a,b).

 

La dimostrazione richiede un po' di tecnicismi e abbiamo convenuto di non riportarla per non appesantire troppo la lezione. Riteniamo però utile riportare un esempio grafico in modo da fornire un riscontro geometrico per l'enunciato.

 

Attenzione: questa non è la dimostrazione del teorema!

 

 

Convessità e derivata prima

 

 

In particolare si vede facilmente che la funzione in esame è convessa e che:

 

- nel punto x_0 la retta tangente al grafico è decrescente e dunque il coefficiente angolare è negativo. Ricordando l'interpretazione geometrica della derivata prima in un punto, si ha che f'(x_0)<0.

 

- nel punto x_1 la retta tangente al grafico è parallela all'asse x, di conseguenza il coefficiente angolare della retta è nullo: f'(x_1)=0.

 

- nel punto x_2 la retta tangente a grafico è crescente, di conseguenza il coefficiente angolare è positivo: f'(x_2)>0

 

Al crescere di x il coefficiente angolare della retta cresce, e dunque la derivata prima della funzione è crescente.

 

Per le funzioni concave vale un ragionamento del tutto analogo.

 

Teoremi sulla derivata seconda e sulla convessità

 

La convessità e la concavità non sono concetti legati strettamente alla derivata seconda come molti pensano, ma nel caso in cui la funzione data sia due volte derivabile...bé, il discorso cambia! 

 

 

Teorema (convessità e concavità per funzioni derivabili due volte)

 

Consideriamo una funzione reale a valori reali f(x) che sia derivabile due volte nell'intervallo (a,b)

 

1) La funzione f(x) è convessa in (a,b) se e solo se

 

f''(x)\ge 0\,\,\forall x\in (a,b) 

 

2)  La funzione f(x) è concava in (a,b) se e solo se

 

f''(x)\le 0\,\,\forall x\in (a,b).

 

 

Dimostrazione: dimostreremo il caso 1. cominciando dall'implicazione \Longleftarrow.

 

Fissiamo x_1,x_2\in [a,b] con x_1<x_2. La funzione f'(x) rispetta le ipotesi del teorema di Lagrange, infatti essa è continua in [x_1,x_2] ed è derivabile in (x_1,x_2).

 

Di conseguenza esiste un punto c\in (x_1,x_2) tale che:

 

f'(x_2)-f'(x_1)=f''(c)(x_2-x_1)

 

Sappiamo che x_2-x_1>0, perché abbiamo supposto che x_1<x_2, e inoltre se f''(x)\ge 0\quad\forall x\in(a,b) allora f''(c)\ge 0 e dunque il prodotto al secondo membro è non negativo. Tale deve essere anche il primo membro:

 

f'(x_2)-f'(x_1)\ge 0\implies f'(x_2)\ge f'(x_1)\quad\forall x_1,x_2\in (a,b)

 

La derivata prima è debolmente crescente e dunque per il teorema visto in precedenza si ha che la funzione è convessa in (a,b).

 

 

Ora occupiamoci dell'implicazione \Longrightarrow.

 

Partendo dalla convessità dobbiamo riuscire a dimostrare che la derivata seconda è non negativa. Sappiamo per ipotesi che f(x) è convessa in (a,b), dunque la sua derivata prima è debolmente crescente in (a,b) e conseguentemente comunque si fissino x, x_0\in (a,b), con x\ne x_0, vale la disuguaglianza

 

\frac{f'(x)-f'(x_0)}{x-x_0}\ge 0

 

Facendo tendere x a x_0, per definizione di derivata seconda (derivata della derivata prima):

 

f''(x_0)=\lim_{x\to x_0}\frac{f'(x)-f'(x_0)}{x-x_0}\ge 0

 

Dall'arbitrarietà di x_0 si ha la tesi, ovvero la derivata seconda è non negativa. 

 

CVD

 

Vediamo un ulteriore teorema, in questo caso relativo alla convessità e alla concavità strette, di cui omettiamo la dimostrazione.

 

 

Teorema (convessità e concavità strette per funzioni derivabili due volte)

 

Sia f(x) una funzione derivabile due volte in un intervallo (a,b):

 

- se f''(x)>0 per ogni x\in (a,b), allora la funzione è strettamente convessa in (a,b)

 

- se f''(x)<0 per ogni x\in (a,b), allora la funzione è strettamente concava in (a,b)

 

Attenzione: non vale il viceversa! Se una funzione è derivabile due volte ed è strettamente convessa (rispettivamente concava) in un intervallo non possiamo concludere che la derivata seconda sia positiva (rispettivamente negativa)!

 

A tal proposito possiamo liquidare il discorso con un semplice controesempio. f(x)=x^4 è una funzione strettamente convessa su tutto l'asse reale, la sua derivata seconda è f''(x)=12 x^2 e come è evidente si annulla in x=0.

 

Derivata seconda e punti di flesso

 

In moltissimi casi le funzioni con cui avremo a che fare non saranno sempre concave o convesse sul proprio dominio, e presenteranno uno o più cambi di concavità. Un cambio di concavità fa sì che una data funzione diventi da concava a convessa o viceversa.

 

Il punto in cui avviene questo cambio prende il nome di punto di flesso.

 

Cerchiamo di essere più precisi: consideriamo una funzione f(x) con dominio \mbox{dom}(f). Un punto x_0\in\mbox{dom}(f) è un

 

 

- punto di flesso ascendente se esiste un intorno I_{x_0} di x_0 contenuto nel dominio in cui valgono entrambe le condizioni:

 

\\ \bullet\,\, f(x)<f'(x_0)(x-x_0)+f(x_0)\quad\mbox{ se }x<x_0\\ \\ \bullet\,\,f(x)>f'(x_0)(x-x_0)+f(x_0)\quad\mbox{ se }x>x_0

 

 

- punto di flesso discendente se esiste un intorno I_{x_0} di x_0 contenuto nel dominio in cui valgono entrambe le condizioni:

 

\\ \bullet\,\, f(x)>f'(x_0)(x-x_0)+f(x_0)\quad\mbox{ se }x<x_0\\ \\ \bullet\,\, f(x)<f'(x_0)(x-x_0)+f(x_0)\quad\mbox{ se }x>x_0

 

 

Se f'(x_0)=0 allora x_0 è detto più propriamente punto di flesso a tangente orizzontale

 

 

Dal punto di vista geometrico, dato un punto di flesso x_0 il grafico della funzione f attraversa la retta tangente al grafico stesso nel punto.

 

 

Teorema (caratterizzazione dei punti di flesso con la derivata seconda)

 

Sia f è derivabile due volte in un intorno di x_0. Valgono le seguenti implicazioni:

 

- se x_0 è un punto di flesso allora f''(x_0)=0 (condizione necessaria ma non sufficiente);

 

- se f''(x) è positiva in un intorno destro di x_0 ed è negativa in un intorno sinistro di x_0, allora x_0 è un punto di flesso ascendente;

 

- se f''(x) è negativa in un intorno destro di x_0 ed è positiva in un intorno sinistro di x_0, allora x_0 è un punto di flesso discendente.

 

 

Esempio sui punti di flesso

 

 

OSSERVAZIONE IMPORTANTE!

 

Dulcis in fundo, per dovere di completezza un rapido cenno ai punti di flesso a tangente verticale di cui abbiamo già parlato nella lezione del link.

 

Questa particolare tipologia di punti non rientra nelle casistiche riportate perché esso è per definizione un punto di non derivabilità. Cionondimeno si tratta comunque di un punto in cui avviene un cambio di concavità.

 

Questo rapido cenno è utile per rimandarci ad un'osservazione più generale, che spesso confonde gli studenti alle prime armi con lo studio della derivata seconda e della convessità delle funzioni.

 

Il fatto che una funzione non sia derivabile non ci impedisce di studiarne la convessità, solo che dovremo appellarci ad altri mezzi per effettuarne lo studio (essenzialmente, la definizione) rispetto a quelli che discendono dai suddetti teoremi.

 

Di contro, avere la condizione di derivabilità fino al secondo ordine ci permette di agevolare lo studio ricorrendo ai teoremi che abbiamo presentato poco sopra, essenzialmente effettuando uno studio degli zeri e del segno della derivata seconda. Sotto questa ipotesi dovremo quindi:

 

1) calcolare la derivata seconda f''(x)

 

2) individuare i candidati punti di flesso risolvendo l'equazione f''(x)=0

 

3) risolvere la disequazione f''(x)>0 per conoscere il segno della derivata seconda

 

4) sfruttare i risultati esposti in precedenza e risalire dal segno della derivata seconda alla convessità della funzione, individuando così anche i punti di flesso tra le soluzioni della precedente equazione.

 

 


 

 

Nota bene: per chi fosse interessato, nella guida sullo studio di funzione è presente una sintesi degli aspetti pratici che riguardano lo studio della derivata seconda. Occhi aperti!

 

 

Alla prossima!

Salvatore Zungri (Ifrit)

 

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