Derivate di ordine superiore

Le derivate di ordine superiore al primo sono le derivate di una funzione ottenute reiterando la derivazione, a partire dalla derivata prima: si definiscono così la derivata seconda, terza, quarta e più in generale ennesima.

 

In questa lezione vedremo la definizione di derivata di ordine superiore a 1. Nella prima parte, dedicata a tutti, ci occuperemo delle definizioni di derivata seconda, terza, quarta e così via, e proporremo qualche esempio di calcolo. Nella seconda, dedicata agli universitari, ci occuperemo di questioni un po' più formali tra cui le classi di funzioni derivabili.

 

Nota bene: chiunque fosse interessato all'uso della derivata seconda nel contesto dello studio di funzione può dare un'occhiata alla lezione del link, ma non prima di aver letto ciò che segue (compresa la lezione successiva).

 

Derivate successive

 

Partiamo dalla semplice definizione di funzione derivabile due volte. Consideriamo una funzione reale di variabile reale

 

f:\mbox{dom}(f)\subseteq\mathbb{R}\to \mathbb{R}

 

e supponiamo che essa sia derivabile in un intorno di un punto x_0 del dominio. Se la funzione derivata f'(x) di f(x) è a sua volta derivabile in x_0, allora diremo che la funzione f(x) è derivabile due volte in x_0.

 

Nelle precedenti ipotesi definiamo la derivata seconda f''(x) di f(x) nel punto x_0 come segue

 

 

f''(x_0)= (f')'(x_0)

 

 

Reiterando la logica della precedente definizione possiamo definire le derivate di ordine superiore come segue: la derivata di ordine n\ge 1, o derivata n-esima, di una funzione f(x) in un punto x_0 è la derivata prima della funzione derivata (n-1)-esima nel punto x_0.

 

Porremo quindi:

 

 

f^{(n)}(x_0)= (f^{(n-1)})'(x_0)

 

 

Esistono diverse notazioni per indicare la derivata n-esima di una funzione f(x):

 

 

f^{(n)}(x)\ \ \ ;\ \ \ \frac{\mbox{d}^{n}f}{\mbox{d}x^{n}}(x)\ \ \ ;\ \ \ \mbox{D}^{n}f(x)

 

 

Osserviamo che la definizione di derivata n-esima dipende dalla derivata (n-1)-esima. Se la derivata (n-1)-esima non esiste in x_0 allora non può esistere nemmeno la derivata n-esima in tale punto.

 

 

In termini meno formali possiamo dire che:

 

- la derivata seconda di una funzione f(x) è la derivata della derivata prima;

 

- la derivata terza di una funzione f(x) è la derivata della derivata seconda;

 

- la derivata quarta di una funzione è la derivata della derivata terza. 

 

...

 

- la derivata n-esima è la derivata prima della derivata (n-1)-esima.

 

Come calcolare le derivate di ordine superiore

 

Partiamo dal presupposto che calcolare le derivate successive di una funzione non è di per sé difficile, bisogna solamente ricordare tutte le tecniche viste finora per il calcolo della derivata prima. In parole povere se sappiamo calcolare la derivata prima di una funzione sapremo calcolare le derivate di ogni ordine (ammesso che esistano).

 

 

Esempi

 

 

1) Calcoliamo la derivata terza della funzione

 

f(x)= x^3 +\sin(x)

 

 

Svolgimento: partiamo dal calcolo della derivata prima. Dalla regola di derivazione della somma abbiamo

 

f'(x)= D[x^3]+D[\sin(x)]=3 x^2+\cos(x)

 

Calcoliamo la derivata seconda, che coincide con la derivata della derivata prima

 

f''(x)= D[f'(x)]=D[3x^2+\cos(x)]=(*)

 

qui ancora una volta interviene la regola di derivazione della somma

 

(*)=D[3x^2]+ D[\cos(x)]= 6 x-\sin(x)

 

Bene, ora possiamo calcolare la derivata terza, osservando che è la derivata della derivata seconda.

 

\begin{align*}f'''(x)&=D[f''(x)]\\ \\ &=D[6 x-\sin(x)]\\ \\ &= D[6x]-D[\sin(x)]\\ \\ &= 6 -\cos(x)\end{align}

 

 

2) Calcoliamo la derivata quarta di

 

f(x)=x\ln(x)

 

 

Svolgimento: come sicuramente avrete già intuito, dobbiamo calcolare la derivata prima, seconda, terza e infine la derivata quarta. La funzione è prodotto di due fattori, x\mbox{ e }\ln(x), utilizzeremo quindi la relativa regola per la derivata del prodotto

 

f'(x)=D[x\ln(x)]=D[x]\ln(x)+xD[\ln(x)]

 

Qui non dobbiamo fare altroche ricordarci le derivate fondamentali

 

= \ln(x)+x\cdot \frac{1}{x}=

 

e successivamente semplificare le x, ottenendo

 

f'(x)=\ln(x)+1

 

Passiamo al calcolo della derivata seconda

 

f''(x)=D[f'(x)]=D[\ln(x)+1]=(*)

 

in cui interviene ancora una volta la formula di derivazione della somma

 

(*)=D[\ln(x)]+D[1]=\frac{1}{x}

 

Ora possiamo calcolare la derivata terza vedendola come derivata della derivata seconda:

 

f'''(x)=D[f''(x)]= D\left[\frac{1}{x}\right]= D[x^{-1}]= -x^{-1-1}= -x^{-2}

 

Qui abbiamo espresso la frazione come una potenza con esponente negativo e in seguito abbiamo derivato utilizzando la regola per la derivata di una potenze.

 

Deriviamo ulteriormente così da ottenere la derivata quarta:

 

f^{(4)}(x)=D\left[-x^{-2}\right]=(-1)\cdot (-2)x^{-2-1}=2x^{-3}=\frac{2}{x^3}

 

 

3) Calcoliamo la derivata terza di f(x)=\ln(x^2+1)

 

 

Svolgimento: il calcolo della derivata di ordine 1 richiede il teorema di derivazione delle funzioni composte e la derivata del logaritmo 

 

f'(x)=\frac{1}{x^2+1}\cdot D[x^2+1]= \frac{2x}{x^2+1}

 

Continuiamo con la derivata seconda, derivando la derivata prima con la regola per la derivata di un rapporto

 

f''(x)=\frac{2(x^2+1)- 2x\cdot 2x}{(x^2+1)^2}=\frac{2x^2+2-4x^2}{(x^2+1)^2}=\frac{2-2x^2}{(x^2+1)^2}

 

Deriviamo ancora utilizzando la regola di derivazione del quoziente otterremo la derivata richiesta

 

f'''(x)=\frac{-4x (x^2+1)^2- (2-2x^2)\cdot 2(x^2+1)\cdot 2x}{(x^2+1)^4}=

 

Sviluppiamo i conti, eseguendo i prodotti:

 

=\frac{4x (x^2-3) (x^2+1)}{(x^2+1)^4}=

 

Semplifichiamo x^2+1

 

=\frac{4x(x^2-3)}{(x^2+1)^3}

 

e abbiamo finito!

 

 

Come avrete certamente notato la nozione di derivata di ordine superiore non è di per sé complicata, anche se i calcoli algebrici possono diventare abbastanza noiosi, ed inoltre al crescere dell'ordine di derivazione c'è il rischio concreto di imbattersi in una noiosissima mole di conti.

 

Ora passiamo alle questioni un po' più tecniche.

 

Definizione formale di derivata n-esima (per universitari)

 

Qui daremo al definizione formale di derivata n-esima, utile soprattutto per gli universitari e per gli studenti delle scuole superiori un po' più curiosi.

 

Formalmente la definizione di derivata n-esima è la seguente: sia f:\mbox{dom}(f)\subseteq\mathbb{R}\to \mathbb{R} una funzione a valori reali e sia x_0\in\mbox{dom}(f). Se la funzione f(x) è derivabile (n-1) volte in un intorno di x_0 contenuto nel dominio, ed esiste finito il limite del rapporto incrementale della funzione f^{(n-1)}(x) centrato in x_0

 

\lim_{h\to 0}\frac{f^{(n-1)}(x_0+h)-f^{(n-1)}(x_0)}{h}

 

allora la funzione f(x) è derivabile n-volte in x_0, e si pone

 

 

f^{(n)}(x_0)=\lim_{h\to 0}\frac{f^{(n-1)}(x_0+h)-f^{(n-1)}(x_0)}{h}

 

 

Una funzione si dice derivabile n-volte in un intervallo I se è derivabile n-volte in ogni punto di I. 

 

 

Osserviamo che la funzione f(x) dev'essere derivabile (n-1) volte in un intorno di x_0, anche molto piccolo, perché deve essere possibile definire il limite del rapporto incrementale della stessa. 

 

Insieme C-infinito e classi di funzioni C^n

 

In questo paragrafo vedremo la definizione di due insiemi che intervengono spesso nello studio universitario dell'analisi matematica:

 

C^{n}(a,b)\ \ \ \mbox{e} \ \ \ C^{\infty}(a,b)

 

 

CLASSE C^n(a,b)

 

C^{n}(a,b) è l'insieme formato da tutte le funzioni f(x) derivabili n volte in (a,b) e con derivata n-esima continua in (a,b).

 

Se una funzione f(x) appartiene all'insieme C^{n}(a,b) diremo che f è di classe C^{n} in (a,b) (letto C-enne).

 

La classe C^{0}(a,b) è per definizione l'insieme delle funzioni continue nell'intervallo (a,b).

 

 

Esempi

 

 

- La funzione f(x)=x^2 è di classe C^{3} sull'intervallo (0,1)

 

f(x)=x^2\in C^3(0,1)

 

infatti essa è derivabile con continuità tre volte. La derivata terza è 

 

f'''(x)=0

 

ed è chiaramente una funzione continua in (0,1).

 

 

- La funzione f(x)=x|x| è di classe C^{1}(-1,1) ma non C^{2}(-1,1).

 

La funzione in questione infatti è continua, derivabile una volta con derivata continua in ogni punto di (-1,1), è derivabile due volte in tutti i punti dell'intervallo (-1,1) escluso però il punto x=0.

 

 

- La funzione f(x)=e^{|x|} è di classe C^{0}(-3,2).

 

Essa infatti è continua su tutto l'intervallo, ma non è derivabile in x=0.

 

 

Dalla definizione e dagli esempi proposti è facile intuire che, fissato un intervallo I\subseteq \mathbb{R}

 

C^{n}(I)\subset C^{n-1}(I)

 

Infatti una funzione derivabile n volte è certamente derivabile (n-1) volte, mentre il viceversa in generale non è vero.

 

 

CLASSE C^{\infty}(a, b)

 

C^{\infty}(a,b) è l'insieme di tutte le funzioni che possiedono le derivate di qualsiasi ordine. Da notare che un'affermazione del genere contiene implicitamente la condizione di continuità di ciascuna derivata, poiché la continuità è condizione necessaria per la derivabilità.

 

C^{\infty}(a,b)=\{f:(a,b)\to \mathbb{R}\ :\ f \mbox{ è derivabile infinite volte in }(a,b)\}

 

Giusto per citare qualche semplice esempio, si può dimostrare facilmente che

 

a) la funzione esponenziale f(x)=e^{x}, le funzioni polinomiali, le funzioni seno e coseno, f(x)=\sin(x) e f(x)=\cos(x), sono di classe C-infinito su tutto l'asse reale. 

 

b) la funzione logaritmo, f(x)=\ln(x), è di classe C^{\infty}(0, +\infty)

 

 


 

È tutto! Nella lezione successiva ci occuperemo dei teoremi sulla derivata seconda e avremo modo di apprezzarne l'utilità pratica nel contesto dello studio di funzione. ;)

 

 

Un saluto a tutti 

Salvatore Zungri (Ifrit)

 

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