Retta tangente al grafico di una funzione in un punto

Più che una lezione, questo articolo è un how to: l'obbiettivo è determinare l'equazione della retta tangente al grafico di una funzione in un punto, ed è una consegna che riguarda una tipologia di esercizi che capitano spessissimo durante gli esami di Matematica nelle varie facoltà, come pure alla seconda prova di Matematica. Tranquilli, è di una facilità micidiale. ;)

 

Supponiamo di avere una funzione y=f(x) e che ci venga chiesto di calcolare l'equazione della retta tangente al suo grafico nel punto di ascissa x=x0.

 

La procedura che descriviamo qui è semplicemente la messa in pratica di quanto spiegato nell'articolo sul significato geometrico della derivata di una funzione in un punto.

 

 

1) Calcoliamo la derivata della funzione y=f(x) come funzione, e chiamiamola y=f'(x).

 

\mbox{calcolo }y=f'(x)

 

 

2) Valutiamo la funzione y=f(x) nel punto x=x0. In questo modo otteniamo l'ordinata y0=f(x0) ad essa corrispondente: il punto del grafico della funzione in cui la retta è tangente è proprio (x0,f(x0)).

 

\mbox{valuto }y_0=f(x_0)

 

 

3) Scriviamo l'equazione di una generica retta nella forma y=mx+q.

 

\mbox{considero }y=mx+q

 

 

4) Valutiamo la derivata y=f'(x) nel punto x=x0, ottenendo f'(x0), che è un numero. Tale valore è esattamente il coefficiente angolare m della retta tangente.

 

\mbox{valuto }m=f'(x_0)

 

 

5) Sostituiamo m=f'(x0) in y=mx+q e imponiamo la condizione di passaggio della retta nel punto (x0,f(x0)). In questo modo ottieniamo

 

f(x_{0})=f'(x_{0})\cdot x_{0}+q

 

da cui possiamo determinare il parametro q (ordinata della retta all'origine), che è dato da

 

q=f(x_0)-f'(x_0)\cdot x_0

 

 

6) Riscriviamo l'equazione della retta tangente: adesso possiamo specificarne il coefficiente angolare m e l'ordinata all'origine q, e quindi ricaviamo

 

y=f'(x_{0})\cdot x+f(x_{0})-f'(x_{0})\cdot x_{0}

 

 

Fine. Quella che abbiamo appena scritto è proprio l'equazione della retta tangente al grafico della funzione nel punto di ascissa x=x0.

 

 


 

Ora potete mettervi alla prova risolvendo gli esercizi correlati; avete a disposizione una scheda di esercizi proposti ed una di esercizi svolti. Il procedimento non è per nulla difficile e anzi è utile perché aiuta a capire bene che ruolo gioca la nozione di derivata di una funzione in un punto.

 

Come al solito, per qualsiasi necessità, vi invitiamo a usare la barra di ricerca. Qui su YM ci sono migliaia di problemi risolti e spiegati nel dettaglio, e non solo: c'è anche un comodissimo tool per calcolare la retta tangente online. ;)

 

 

Pożegnanie, see you soon guys!

(Fulvio Sbranchella) Agente Ω

 

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