Derivata della funzione inversa

Il teorema per la derivata della funzione inversa, detto anche teorema di derivazione della funzione inversa, è un risultato teorico che permette di calcolare la derivata dell'inversa di una funzione in un punto senza conoscere l'espressione analitica dell'inversa.

 

Per capire il teorema di derivazione della funzione inversa è necessario avere un'idea più o meno chiara di che cos'è l'inversa di una funzione y=f(x). Se non sapete cosa sia e siete costretti a studiare il teorema, in questa lezione ne daremo un cenno ma vi invitiamo a leggere la lezione del precedente link.

 

 

Sia y=f(x) una funzione reale di variabile reale con dominio Dom(f)\subseteq\mathbb{R}, e supponiamo che essa sia biunivoca, ossia iniettiva e suriettiva. In tal caso essa ammette una funzione inversa, vale a dire una funzione g definita dalla legge

 

x=g(y)

 

Dunque l'inversa g di una funzione f, che si indica con f^{-1}, stabilisce proprio la corrispondenza inversa rispetto all'associazione definita da y=f(x).

 

Teorema di derivazione della funzione inversa

 

Il teorema di derivazione della funzione inversa ci dà un utile strumento che ci consente, in alcuni casi, di fare meno fatica del dovuto. Ecco l'enunciato.

 

Consideriamo una funzione y=f(x) biunivoca e derivabile in un punto x_0 e supponiamo inoltre che f'(x_0)\ne 0. Allora la funzione inversa x=f^{-1}(y) è derivabile nel punto y_0=f(x_0), e la sua derivata in tale punto è

 

\left(f^{-1}\right)'(y_{0})=\frac{1}{f'(x_{0})}=\frac{1}{f'(f^{-1}(y_0))}

 

Come calcolare la derivata dell'inversa

 

Nonostante l'enunciato possa sembrare ostico, il risultato che fornisce non lo è. Per ipotesi la funzione f deve essere invertibile (quindi ha una funzione inversa, che chiamiamo f^{-1}) e derivabile in un punto del suo dominio, allora risulta che:

 

- la funzione inversa f^{-1} è derivabile nell'immagine di quel punto mediante f;

 

- sappiamo anche come calcolare la derivata della funzione inversa in quel punto.

 

Qualcuno potrebbe confondersi leggendo le parole funzione, funzione inversa, punto, immagine del punto, ma la seguente figura non lascerà spazio ad alcun dubbio.

 

 

Rappresentazione analitica della funzione inversa per la derivazione

 

 

Per quale motivo il teorema è fico? Perchè ci permette di calcolare la derivata di una funzione - l'inversa - senza bisogno di derivarla. E nonostante il teorema fornisca un criterio di calcolo della derivata dell'inversa in un punto, possiamo conoscere in automatico la derivata dell'inversa come funzione: è sufficiente applicare la formula del teorema considerando un punto generico.

 

Esempio di derivazione della funzione inversa

 

Consideriamo la funzione logaritmica

 

f(x)=\ln(x)

 

Sappiamo tutti che tale funzione ha dominio (0,+\infty), e che è biunivoca e derivabile su tutto il suo dominio. Essa ha inversa

 

f^{-1}(y)=e^y

 

Sappiamo che la derivata di y=\ln(x) è

 

f'(x)=\frac{1}{x}

 

e facciamo finta di non sapere che la derivata di x=e^y è

 

(f^{-1})'(y)=e^y

 

Usiamo il teorema di derivazione della funzione inversa, considerando x=x_0 come un generico punto (quindi come una variabile). Da un lato abbiamo

 

\left(f^{-1}\right)'(y)=\frac{1}{\left(f'(x)\right)}

 

Dall'altro, poichè f^{-1} è la funzione inversa di f e poichè y=\ln(x), possiamo scrivere

 

\left(f^{-1}\right)'(\ln{(x)})=\frac{1}{\left(f'(x)\right)}

 

Sappiamo che f'(x)=\frac{1}{x}, dunque

 

\left(f^{-1}\right)'(\ln{(x)})=\frac{1}{\frac{1}{x}}=x

 

Dunque (f^{-1})' è quella funzione che applicata al logaritmo \ln(x)x, ossia è proprio la funzione inversa. L'unica funzione inversa di \ln(x) è e^x, infatti

 

e^{\ln{(x)}}=x

 

e si conclude che

 

(f^{-1})'(y)=e^y

 

Dimostrazione del teorema per la derivata della funzione inversa

 

Per concludere passiamo alla dimostrazione del teorema di derivazione della funzione inversa. Consideriamo il rapporto incrementale della funzione inversa di f(x), ossia f^{-1}(y), centrato in y_0 nella forma

 

\frac{f^{-1}(y)-f^{-1}(y_0)}{y-y_0}\mbox{ con }y\ne y_0

 

Per definizione di funzione inversa, f^{-1} manda y in x mediante la legge f^{-1}(y)=x, dunque f^{-1}(y_0)=x_0; d'altra parte y=f(x) e dunque y_0=f(x_0). Ne consegue che il rapporto incrementale associato alla funzione inversa può essere espresso come

 

\frac{f^{-1}(y)-f^{-1}(y_0)}{y-y_0}=\frac{x-x_0}{f(x)-f(x_0)}

 

dove x\ne x_0.

 

Facciamo intervenire ora l'ipotesi di continuità di f(x). Se f(x) è una funzione continua allora anche la funzione inversa f^{-1}(y) è continua e, per definizione di continuità in un punto, se y\to y_0 allora f^{-1}(y)\to f^{-1}(y_0). Ciò in particolare equivale a dire che x\to x_0, per cui possiamo scrivere

 

\lim_{y\to y_{0}}\frac{f^{-1}(y)-f^{-1}(y_0)}{y-y_0}=\lim_{x\to x_0}\frac{x-x_0}{f(x)-f(x_0)}

 

Osserviamo attentamente il limite appena scritto. Esso non è altro che il reciproco del rapporto incrementale associato alla funzione f(x) e centrato in x_0. Pertanto

 

\lim_{y\to y_{0}}\frac{f^{-1}(y)-f^{-1}(y_0)}{y-y_0}=\lim_{x\to x_0}\frac{1}{\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}}

 

Per ipotesi la funzione f(x) è derivabile in x_0, dunque esiste ed è finito il limite

 

\lim_{x\to x_0}\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}=f'(x_0)

 

A questo punto facciamo intervenire l'ipotesi per cui f'(x_0)\ne 0, così che esiste finito il limite

 

\lim_{y\to y_{0}}\frac{f^{-1}(y)-f^{-1}(y_0)}{y-y_0}=\lim_{x\to x_0}\frac{1}{\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}}=\frac{1}{f'(x_0)}

 

Di conseguenza la funzione f^{-1}(y) è derivabile in y=y_0 e la derivata in tale punto vale

 

(f^{-1})'(y_0)=\frac{1}{f'(x_0)}=\frac{1}{f'(f^{-1}(y_0))}

 

come si voleva dimostrare.

 

 


 

 

Nella scheda correlata di esercizi svolti ci concentreremo sull'applicazione pratica del teorema, ossia come calcolare la derivata della funzione inversa in uno specifico punto.

 

Se qualcosa non fosse o se foste in cerca di altro materiale, niente paura! Abbiamo risposto dettagliatamente a decine di migliaia di domande, dunque potete trovare tutto quello che vi serve con una semplice ricerca qui su YM. ;)

 

 

до свидания, see you soon guys!

Fulvio Sbranchella (Agente Ω)

 

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