Derivata della funzione composta

Il teorema per la derivata della funzione composta, detto anche teorema di derivazione della funzione composta o chain-rule, è una regola che permette di calcolare la derivata di una composizione di funzioni sotto forma di prodotti e derivazioni concatenate.

 

Prima di saper calcolare la derivata di una funzione qualsiasi ci mancano due ingredienti. Del primo ne parliamo in questa lezione: è il teorema di derivazione della funzione composta. Questo risultato teorico riveste una grandissima importanza nella risoluzione pratica degli esercizi, perché il 99% delle funzioni che dovremo derivare sono composte.

 

 

Nella lezione sull'algebra delle derivate abbiamo visto quale relazione intercorre tra le operazioni algebriche tra funzioni e la derivazione. Nella tabella delle derivate di funzioni elementari, invece, abbiamo visto come calcolare mediante la definizione (limite del rapporto incrementale) le derivate delle principali funzioni. Teniamole bene a mente prima di procedere nella lettura.

 

Supponiamo di voler calcolare la derivata della seguente funzione

 

f(x)=\ln{\left(x^2+x\right)}

 

Ad ora non sapremmo come fare. Per questo scopo ci serve il seguente teorema.

 

Teorema per la derivata della funzione composta

 

Consideriamo due funzioni reali di variabile reale f:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R},\ g:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R} e chiamiamole y=f(x),\ z=g(y). Sia poi z=h(x)=g(f(x)) la loro composizione.

 

Vale allora

 

\frac{d}{dx}h(x)=g'(f(x))\cdot f'(x)

 

In parole povere, la derivata della funzione composta h(x)=g(f(x)) è data dalla derivata della funzione più esterna, con argomento invariato, moltiplicata per la derivata della funzione più interna. Con funzione più esterna si intende l'ultima funzione che si applica nella composizione (per noi la g) mentre la più interna è la prima che si applica (f).

 

Esempio sulla derivazione della funzione composta

 

Data la funzione

 

z=h(x)=\ln{\left(x^2+x\right)}

 

abbiamo come funzione più esterna

 

z=g(y)=\ln{(y)}

 

e come funzione più interna

 

y=f(x)=x^2+x

 

Il teorema precedente ci dice allora che la derivata h'(x) è data da

 

h'(x)=g'(f(x))\cdot f'(x)=\frac{1}{x^2+x}\cdot\left(2x+1\right)=\frac{2x+1}{x^2+x}

 

Un modo abbastanza semplice per capire la logica della derivazione delle funzione composte è la seguente: immaginiamo che la funzione composta da derivare sia un'arancia. Il teorema ci dice che prima bisogna derivare la buccia mantenendo la polpa invariata, dopodichè si moltiplica il tutto per la derivata della polpa. Fine. ;)

 

Derivazione di più funzioni composte

 

Il teorema si estende anche al caso di una funzione data dalla composizione di tre o più funzioni. Ad esempio, nel caso di tre funzioni

 

f(x)=r(q(p(x)))

 

abbiamo come derivata

 

f'(x)=r'(q(p(x)))\cdot q'(p(x))\cdot p'(x)

 

Si procede allo stesso modo nel caso di n funzioni composte tra loro: si parte derivando la funzione più esterna (l'ultima in ordine di composizione) e se ne mantiene l'argomento invariato. Poi si passa al livello successivo: si dimentica la funzione appena derivata, si deriva la funzione successiva nell'ordine di composizione e se ne mantiene l'argomento invariato. Si moltiplicano tutte le derivate ottenute e si procede così fino alla prima funzione in ordine di composizione.


Esempio

 

Volendo derivare la funzione

 

y=\sin{\left(\ln{\left(x^2+x\right)}\right)}

 

notiamo che essa è data dalla composizione di tre funzioni: y=r(q(p(x))), dove

 

\\ p(x)=x^2+x\\ \\ q(y)=\ln{(y)}\\ \\ r(z)=\sin{(z)}

 

Quindi:

 

\frac{d}{dx}\left[\sin{\left(\ln{(x^2+x)}\right)}\right]=\cos{\left(\ln{\left(x^2+x\right)}\right)\frac{1}{x^2+x}}\left(2x+1\right)

 

 

 

Nota bene: quando in una composizione di funzioni ci si riferisce all'ultima funzione in ordine di composizione si intende la prima funzione che si scrive, ad esempio nel caso di

 

f(x)=a(b(...(z(x))))

 

l'ultima funzione in ordine di composizione è a(·), ed è la prima da derivare. La prima funzione che si applica nella composizione è z(·), che è invece l'ultima da derivare.

 

Dimostrazione del teorema di derivazione della funzione composta

 

Diamo la dimostrazione nel caso di due funzioni composte tra loro, siano esse z=g(y) e y=f(x), cosicchè la funzione composta è z=g(f(x)). Nel caso di più funzioni composte, si ragiona in modo del tutto analogo.


Usiamo la definizione di derivata, cioè il limite del rapporto incrementale

 

\lim_{h\to 0}{\frac{g(f(x+h))-g(f(x))}{h}}=

 

e cominciamo con un barbatrucco algebrico: moltiplichiamo e dividiamo la frazione per f(x+h)-f(x), così non cambia nulla perchè è come moltiplicare per uno

 

=\lim_{h\to 0}{\frac{g(f(x+h))-g(f(x))}{f(x+h)-f(x)}\cdot \frac{f(x+h)-f(x)}{h}}=

 

ora pensiamo a f(x+h) e a f(x) come due numeri, in particolare sono le due ordinate che corrispondono mediante f alle ascisse (x+h) e x. Se chiamiamo y=f(x) il valore che corrisponde a x mediante la funzione f, allora valutare la funzione f in (x+h) produrrà un altro valore, chiamiamolo y+k=f(x+h).

 

È poi chiaro che, al tendere di h a zero, anche k tenderà a zero. Grazie a tutte queste considerazioni, e ad una semplice regola dell'algebra dei limiti, possiamo allora calcolare

 

=\lim_{h\to 0}{\frac{g(f(x+h))-g(f(x))}{f(x+h)-f(x)}}\lim_{h\to 0}{\frac{f(x+h)-f(x)}{h}}=

 

Possiamo dunque cambiare variabile nel primo fattore, e riscrivere il tutto nella forma

 

=\lim_{k\to 0}{\frac{g(y+k)-g(y)}{y+k-y}}\lim_{h\to 0}{\frac{f(x+h)-f(x)}{h}}=

 

ossia

 

=\lim_{k\to 0}{\frac{g(y+k)-g(y)}{k}}\lim_{h\to 0}{\frac{f(x+h)-f(x)}{h}}=.

 

Ohibò, ci ricordiamo la definizione di derivata? Se sì, è facile vedere che la precedente espressione equivale a

 

=g'(y)\cdot f'(x)=

 

dove y=f(x) per la sostituzione effettuata in precedenza, da cui la tesi

 

g'(f(x))\cdot f'(x)

 

 


 

Anche se all'inizio la tecnica di derivazione della funzione composta può apparire ostica, il continuo esercizio ne ridimensiona parecchio l'apparente difficoltà. A tal proposito vi suggeriamo di fare un po' di allenamento con le schede di esercizi correlati: potete scegliere tra gli esercizi proposti e gli esercizi svolti.

 

Oltre a questo sappiate che su YM è disponibile un comodo tool per le derivate online, oltre a tantissimi esercizi risolti e commentati nel dettaglio. Potete trovare tutto quello che vi serve con la barra di ricerca interna. ;)

 

 

Avskjed, see you soon guys!

Fulvio Sbranchella (Agente Ω)

 

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