Calcolo delle derivate

Il calcolo delle derivate è un procedimento teorico e pratico che si basa su un insieme di regole, dette regole di derivazione, le quali esprimono il comportamento dell'operazione di derivazione rispetto alle principali operazioni algebriche tra funzioni.

 

L'algebra delle derivate è la base teorico-pratica che permette, una volta imparate le derivate delle funzioni elementari, di calcolare la derivata di una funzione qualsiasi. Essa consiste di semplici regole che esprimono il comportamento della derivazione rispetto alle principali operazioni algebriche: prodotto di una funzione per una costante, somma/differenza di funzioni, prodotto/rapporto di funzioni. Per l'elevamento a potenza di una funzione ci servirà invece il teorema di derivazione della funzione composta, di cui parleremo nella prossima lezione.

 

Le regole che seguono si dimostrano facilmente usando la definizione di derivata.

 

Regole di derivazione per il calcolo delle derivate


1) La derivata del prodotto di una costante per una funzione è uguale al prodotto della costante per la derivata della funzione.

 

\frac{d}{dx}[c\cdot f(x)]=c\frac{d}{dx}f(x)

 

Ogni volta che abbiamo un coefficiente che moltiplica una funzione, se dobbiamo derivare il tutto è sufficiente riscrivere il coefficiente e derivare solamente la funzione.

 

 

2) La derivata di una somma/differenza di funzioni è uguale alla somma/differenza delle singole derivate.

 

\frac{d}{dx}\left[f(x)+g(x)\right]=\frac{d}{dx}f(x)+\frac{d}{dx}g(x)

 

Quindi, dovendo derivare una somma o una differenza di funzioni, ci basterà derivare i singoli addendi e basta.

 

Si procede in modo analogo nel caso della somma/differenza di tre o più funzioni.

 

 

3) La derivata del prodotto di due funzioni è data dalla somma tra il prodotto della prima funzione derivata per la seconda non derivata, e la prima funzione non derivata per la seconda derivata.


\frac{d}{dx}\left[f(x)g(x)\right]=\left[\frac{d}{dx}f(x)\right]g(x)+f(x)\left[\frac{d}{dx}g(x)\right]

 

Nel caso del prodotto di tre o più funzioni vale una regola del tutto analoga. Ad esempio nel caso di tre funzioni:


\frac{d}{dx}\left[f(x)g(x)h(x)\right]=\left[\frac{d}{dx}f(x)\right]g(x)h(x)+f(x)\left[\frac{d}{dx}g(x)\right]h(x)+f(x)g(x)\left[\frac{d}{dx}h(x)\right]

 

 

4) La derivata del rapporto di due funzioni si calcola nel modo seguente:


\frac{d}{dx}\left(\frac{f(x)}{g(x)}\right)=\frac{\left[\frac{d}{dx}f(x)\right]g(x)-f(x)\left[\frac{d}{dx}g(x)\right]}{g^2(x)}

 

Dai, proviamoci anche a parole: la derivata del rapporto di funzioni è uguale al rapporto tra derivata del numeratore per denominatore non derivato meno numeratore per la derivata del denominatore, il tutto fratto per il denominatore elevato a quadrato.

 

Esempi di calcolo delle derivate

 

Innanzitutto: prima di procedere è bene sapere quali sono le derivate fondamentali, perlomeno per le funzioni più importanti. Oltre a questo, sappiate che su YM c'è anche un tool per calcolare le derivate online. ;)

 

1) Data la funzione

 

f(x)=3x^2

 

per la regola di derivazione del prodotto di una costante per una funzione abbiamo che

 

f'(x)=3\cdot \frac{d}{dx}\left(x^2\right)=3\cdot 2x=6x

 

 

2) Data la funzione

 

f(x)=\ln(x)-\sin(x)

 

dalla regola di derivazione della differenza di funzioni risulta

 

f'(x)=\frac{d}{dx}\ln{(x)}-\frac{d}{dx}\sin{(x)}=\frac{1}{x}-\cos{(x)}

 

dove nell'ultimo passaggio abbiamo semplicemente richiamato la derivata del logaritmo e la derivata del seno.

 

 

3) Data la funzione

 

f(x)=\left(\frac{1}{2}\right)^x\cdot\arctan{(x)}

 

per la regola di derivazione del prodotto di funzioni abbiamo che

 

f'(x)=\left[\frac{d}{dx}\left(\frac{1}{2}\right)^x\right]\arctan{(x)}+\left(\frac{1}{2}\right)^x\left[\frac{d}{dx}\arctan{(x)}\right]=

 

Ora non ci resta che ricordare le espressioni per la derivata dell'esponenziale e per la derivata dell'arcotangente

 

=\left(\frac{1}{2}\right)^{x}\ln{\left(\frac{1}{2}\right)}\arctan{(x)}+\left(\frac{1}{2}\right)^x\frac{1}{1+x^2}

 

 

4) Data la funzione

 

f(x)=\frac{x^3}{\cos(x)}

 

per la regola di derivazione del rapporto di funzioni risulta che

 

f'(x)=\frac{\left[\frac{d}{dx}x^3\right]\cos{(x)}-x^3\left[\frac{d}{dx}\cos{(x)}\right]}{\cos^{2}{(x)}}=

 

Qui ci basta ricordare le espressioni per la derivata di una potenza e per la derivata del coseno

 

=\frac{3x^2\cos{(x)}-x^3(-\sin{(x)})}{\cos^{2}{(x)}}

 

 

 

Ora vediamo un esempio misto, in cui dobbiamo applicare più regole di derivazione.


(i) Consideriamo la funzione

 

f(x)=\left(x^2+\ln{(x)}\right)\sin{(x)}

 

e calcoliamone la derivata. In accordo con le regole base sull'ordine delle operazioni prima si effettuano i prodotti e poi le somme, quindi prima di tutto applichiamo la regola di derivazione del prodotto:

 

f'(x)=\frac{d}{dx}\left(x^2+\ln{(x)}\right)\dot \sin{(x)}+\left(x^2+\ln{(x)}\right)\frac{d}{dx}\left(\sin{(x)}\right)

 

al primo addendo applichiamo ora la regola di derivazione della somma di funzioni

 

f'(x)=\left[\frac{d}{dx}\left(x^2\right)+\frac{d}{dx}\left(\ln{(x)}\right)\right]\sin{(x)}+\left(x^2+\ln{(x)}\right)\frac{d}{dx}\left(\sin{(x)}\right)

 

infine, grazie alla tabella delle derivate delle funzioni elementari

 

f'(x)=\left(2x+\frac{1}{x}\right)\sin{(x)}+\left(x^2+\ln{(x)}\right)\cos{(x)}

 

 




In conclusione: dividi e conquista. L'ordine da seguire nei vari livelli di derivazione è lo stesso delle operazioni algebriche, che abbiamo imparato da piccoli: è un metodo infallibile per calcolare correttamente le derivate. Prima di essere in grado di calcolare qualsiasi derivata, però, ci mancano solo il teorema di derivazione della funzione composta e di quella inversa.

 

Per i più esperti che stanno leggendo questo articolo, invece, le prime due regole si riassumono dicendo che l'operatore di derivazione D:f\rightarrow f' (con I un intervallo reale) è lineare e omogeneo.

 

 


 

A questo punto puoi provare a risolvere gli esercizi proposti delle schede correlate (c'è anche una schda di esercizi svolti). Gli unici prerequisiti sono la conoscenza delle derivate di funzioni elementari e l'algebra delle derivate appena descritta.

 

In caso di dubbi, o se vi servisse altro materiale, non dimenticate che abbiamo risolto decine di migliaia di problemi qui su YM e che potete reperire tutto quello che vi serve con la barra di ricerca interna. ;)

 

 

Farvel, see you soon guys!

Fulvio Sbranchella (Agente Ω)

 

Esercizi correlati

Esercizi correlati sulle regole di derivazione - Beginner

 

Esercizi correlati sulle regole di derivazione - Advanced

 

Lezione precedente .........Lezione successiva


Tags: algebra delle derivate - le regole di derivazione - derivata della somma di funzioni - derivata del prodotto di funzioni - derivata del rapporto di funzioni.

 

pba1