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Derivate fondamentali

In questa lezione elenchiamo tutte le derivate delle funzioni elementari, con le relative  dimostrazioni di calcolo mediante la definizione di derivata. Trovi tutte le principali derivate nella tabella più in basso: se stai pensando che dovrai imparartele tutte a memoria...hai ragione! Ma niente paura: sarà sufficiente fare un po' di esercizi per ricordarle automaticamente.

 

L'unico prerequisito teorico che serve è la definizione stessa di derivata. Conoscere le derivate delle funzioni elementari è molto utile perchè, insieme all'algebra delle derivate e ai principali teoremi di derivazione (li vedremo nel seguito) ci permetteranno di calcolare velocemente la derivata di una qualsiasi funzione y=f(x).

 

Tabella delle derivate fondamentali

 

FUNZIONE

DERIVATA

 

f(x)=\mbox{costante}

 

f '(x)=0 

Dimostrazione derivata di una costante

 

f(x)=x

 

f '(x)=1

Dimostrazione derivata di x

 

f(x)=x^{s},\mbox{ }s\in\mathbb{R}

 

f '(x)=sx^{s-1}

Dimostrazione derivata di una potenza

 

f(x)=a^x

 

f '(x)=a^x \ln{(a)}

Dimostrazione derivata dell'esponenziale

 

f(x)=e^x

 

f '(x)=e^x

f(x)=\log_{a}{(x)}

f '(x)=\frac{1}{x\ln{(a)}}

Dimostrazione derivata del logaritmo

 

f(x)=\ln{(x)}

 

f '(x)=\frac{1}{x}

f(x)=|x|

f '(x)=\frac{|x|}{x}

Dimostrazione derivata valore assoluto

 

f(x)=\sin{(x)}

 

f '(x)=\cos{(x)}

Dimostrazione derivata del seno

 

f(x)=\cos{(x)}

 

f '(x)=-\sin{(x)}

Dimostrazione derivata del coseno

 

f(x)=\tan{(x)}
[non è elementare]

 

f '(x)=\frac{1}{\cos^{2}{(x)}}

Dimostrazione derivata della tangente

 

f(x)=\cot{(x)}
[non è elementare]

 

f '(x)=-\frac{1}{\sin^{2}{(x)}}

Dimostrazione derivata della cotangente

 

f(x)=\arcsin{(x)}

 

f '(x)=\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}

Dimostrazione derivata dell'arcoseno

 

f(x)=\arccos{(x)}

 

f '(x)=-\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}

Dimostrazione analoga alla precedente

f(x)=\arctan{(x)}

f '(x)=\frac{1}{1+x^2}

Dimostrazione derivata dell'arcotangente

f(x)=\mbox{arccot}{(x)}

f '(x)=-\frac{1}{1+x^2}

Dimostrazione analoga alla precedente

 

f(x)=\mbox{sinh}{(x)}=\frac{e^x-e^{-x}}{2}

 

f '(x)=\mbox{Ch}{(x)}

Dimostrazione: semplici conti

f(x)=\mbox{cosh}{(x)}=\frac{e^x+e^{-x}}{2}

f '(x)=\mbox{Sh}{(x)}

Idem come sopra

 

 

Nota Bene: nella tabella non abbiamo elencato le derivate delle radici nè delle funzioni fratte del tipo y=\frac{1}{x^n}\mbox{ con }n\in\mathbb{N}. Questa scelta è dovuta al fatto che ricordarle a memoria non è solo inutile, ma anche dannoso: fatica inutile e si rischia di sbagliare!

 

Ad esempio, per derivare una radice della forma

 

f(x)=\sqrt[m]{x^n}

 

basta riscriverla secondo la definizione di radicale

 

f(x)=x^{\frac{n}{m}}

 

e quindi grazie alla terza formuletta in tabella abbiamo che

 

f'(x)=\frac{n}{m}x^{\frac{n}{m}-1}=\frac{n}{m}x^{\frac{n-m}{m}}.

 

Se invece dovessimo derivare il reciproco di una potenza come

 

f(x)=\frac{1}{x^n}

 

sarebbe sufficiente riscriverla come potenza ad esponente negativo

 

f(x)=x^{-n}

 

e usando la terza formula della tabella otterremmo

 

f'(x)=-nx^{-n-1}

 

In definitiva: se si può risparmiare fatica facendosi furbi, perchè non farlo?

 

Alcune dimostrazioni delle derivate fondamentali (al volo)

 

Premessa: le dimostrazioni che seguono vanno sempre sapute e vengono spesso richieste. Sono semplici - basta usare la definizione di derivata - e senza di esse c'è poca speranza di capire perchè diavolo siano così le derivate della tabella. Se non ti interessano, però, pace...per te la lezione è finita qui. Smile

 

Dicevamo che le derivate delle funzioni elementari si deducono applicando niente di più che la definizione. Dovremo sempre calcolare il limite del rapporto incrementale Δy/Δx, al tendere dell'incremento h a zero, in un generico punto x.


\lim_{h\to 0}{\frac{f(x+h)-f(x)}{h}}

 

Nel caso delle varie funzioni elementari, vedremo che spesso andrà usato un qualche limite notevole per portare a termine il calcolo. E...attenzione: qui è h che tende a zero!


1) Se f(x)=costante, allora f'(x)=0. Infatti

 

\lim_{h\to 0}{\frac{f(x+h)-f(x)}{h}}=\lim_{h\to 0}{\frac{c-c}{h}}=0

 

2) Se f(x)=x, allora f'(x)=1. Infatti

 

\lim_{h\to 0}{\frac{f(x+h)-f(x)}{h}}=\lim_{h\to 0}{\frac{(x+h)-x}{h}}=1

 

3) Se f(x)=xs (con s reale), allora f'(x)=sxs-1. Infatti

 

\lim_{h\to 0}{\frac{f(x+h)-f(x)}{h}}=\lim_{h\to 0}{\frac{(x+h)^s-x^s}{h}}=

 

raccogliamo la x dentro la parentesi

 

=\lim_{h\to 0}{\frac{x^s\left(1+\frac{h}{x}\right)^s-x^s}{h}}=

 

raccogliamo xs a numeratore

 

\lim_{h\to 0}{\frac{x^s\left[\left(1+\frac{h}{x}\right)^s-1\right]}{h}}=

 

dividiamo e moltiplichiamo per x a denominatore

 

\lim_{h\to 0}{\frac{x^s\left[\left(1+\frac{h}{x}\right)^s-1\right]}{x\frac{h}{x}}}=

 

e applichiamo il limite notevole

 

=sx^{s-1}.

 

4) Se f(x)=ex, allora f'(x)=ex. Infatti

 

\lim_{h\to 0}{\frac{f(x+h)-f(x)}{h}}=\lim_{h\to 0}{\frac{e^{x+h}-e^x}{h}}=

 

raccolgo ex e per una nota proprietà delle potenze

 

=\lim_{h\to 0}{\frac{e^x\left(e^h-1\right)}{h}}=e^x

 

dove all'ultimo passaggio abbiamo usato il limite notevole dell'esponenziale. Si ragiona in modo del tutto analogo se f(x)=ax, per cui troviamo f'(x)=axln(a)

 

5) Se f(x)=ln(x), allora f'(x)=1/x. Infatti

 

\lim_{h\to 0}{\frac{f(x+h)-f(x)}{h}}=\lim_{h\to 0}{\frac{\ln{(x+h)}-\ln{(x)}}{h}}=

 

per una nota proprietà dei logaritmi, il logaritmo di un rapporto è la differenza dei logaritmi, e viceversa, Quindi

 

=\lim_{h\to 0}{\frac{\ln{\left(\frac{x+h}{x}\right)}}{h}}=

 

dividiamo termine a termine nell'argomento del logaritmo

 

=\lim_{h\to 0}{\frac{\ln{\left(1+\frac{h}{x}\right)}}{h}}=

 

dividiamo e moltiplichiamo per x a denominatore

 

=\lim_{h\to 0}{\frac{\ln{\left(1+\frac{h}{x}\right)}}{x\frac{h}{x}}}=

 

e applichiamo il limite notevole del logaritmo

 

=\frac{1}{x}.

 

In modo del tutto analogo se f(x)=loga(x), allora f'(x)=1/(xln(a))

 

6) Se f(x)=sin(x), allora f'(x)=cos(x). Infatti

 

\lim_{h\to 0}{\frac{f(x+h)-f(x)}{h}}=\lim_{h\to 0}{\frac{\sin{(x+h)}-\sin{(x)}}{h}}=

 

usiamo la formula di sommazione degli angoli per il seno

 

=\lim_{h\to 0}{\frac{\sin{(x)}\cos{(h)}+\sin{(h)}\cos{(x)}-\sin{(x)}}{h}}=

 

ora, per h→0 risulta che cos(h)→1, quindi sen(x)cos(h)-sen(x)=sen(x)-sen(x)=0. Resta:

 

=\lim_{h\to 0}{\sin{(h)}\cos{(x)}}{h}}=\cos{(x)}

 

dove all'ultimo passaggio abbiamo applicato il limite notevole del seno. In modo del tutto analogo si prova che se f(x)=cos(x) allora f'(x)=-sin(x).

 


 

In questa lezione non riportiamo il calcolo delle derivate di arcoseno, arcocoseno, arcotangente e arcocotangente perchè il modo più semplice di calcolarle richiede la conoscenza del teorema di derivazione della funzione inversa. Chiaro, si può fare anche con la definizione...Laughing

 

Se qualcosa non fosse chiaro...sentiti libero di aprire una discussione nel Forum, e prova a cercare qui su YM: migliaia di persone hanno già risolto il proprio problema, tra questi potrebbe esserci anche il tuo. Wink

 

Adjö, see you soon guys!

Agente Ω

 

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Tags: derivate fondamentali - derivate di funzioni elementari - tabella delle principali derivate.

 

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