Significato geometrico della derivata

Il significato geometrico della derivata di una funzione in un punto mette in relazione il grafico della funzione e la retta tangente ad esso nel punto considerato: la derivata nel punto ha il significato geometrico di coefficiente angolare, o pendenza, della retta tangente.

 

In questa lezione spieghiamo qual è il significato geometrico della derivata di una funzione in un punto. Vogliamo far vedere che, data una funzione y=f(x) e preso un punto x0 del suo dominio, la derivata prima f '(x0) nel punto x0 ha il significato geometrico di coefficiente angolare della retta tangente al grafico della funzione nel punto di coordinate (x0,f(x0)).

 

Derivata in un punto come coefficiente angolare della retta tangente nel punto

 

Innanzitutto, quali ipotesi ci servono per poter considerare la derivata di una funzione in un punto? Basta che la funzione y=f(x) sia derivabile nel punto x0 considerato.

 

Scriviamo l'equazione di una retta generica nella forma

 

y=mx+q

 

dove m indica il coefficiente angolare della retta e q l'ordinata all'origine.

 

L'espressione analitica della funzione considerata è invece

 

y=f(x)

 

Noi vogliamo mostrare che (tesi)

 

m=f'(x_0)

 

ossia che la derivata della funzione calcolata nel punto coincide con m, il coefficiente angolare della retta tangente al grafico della funzione y=f(x) nel punto (x0,f(x0)).

 

 

Retta tangente al grafico di una funzione in un punto

 

 

In primo luogo, osserviamo che la retta tangente interseca il grafico di y=f(x) nel punto (x0,f(x0)), quindi x=x0 e y=f(x0) devono verificare l'equazione della retta tangente.

 

f(x_{0})=mx_{0}+q\ \ \ (\bullet)

 

Ora scriviamo la derivata di y=f(x) nel punto x=x0. Secondo la definizione di derivata

 

f'(x_{0})=\lim_{h\to 0}{\frac{f(x_{0}+h)-f(x_{0})}{h}}

 

Osserviamo che per valori "molto piccoli" dell'incremento h la retta tangente si comporta come la funzione. In altre parole nel limite possiamo sostituire

 

y=f(x_{0}+h)

 

cioè l'ordinata corrispondente all'ascissa x0+h mediante la funzione f, con il valore assunto dalla retta in corrispondenza della stessa ascissa

 

y=m(x_{0}+h)+q

 

Questo perchè, appunto, "vicino" al punto di tangenza retta e funzione assumono lo stesso valore nel passaggio al limite. Detta così è un'affermazione imprecisa, non rigorosa e che fa abbastanza pena, pur essendo verosimile. Fra qualche riga esprimeremo questo fatto in modo rigoroso.

 

Abbiamo intanto che

 

f'(x_{0})=\lim_{h\to 0}{\frac{m(x_{0}+h)+q-f(x_{0})}{h}}

 

Ora sostituiamo il valore f(x0) ricorrendo all'uguaglianza (•):

 

f'(x_{0})=\lim_{h\to 0}{\frac{m(x_{0}+h)+q-(mx_{0}+q)}{h}}=\lim_{h\to 0}{\frac{mh}{h}}=m

 

Si conclude così che

 

m=f'(x_0)

 

 

Nota bene: l'unico punto approssimativo della precedente dimostrazione è quello in cui abbiamo sostituito l'ordinata della funzione con la corrispondente ordinata sulla retta in prossimità del punto di tangenza. Il passaggio è corretto, ma ne abbiamo dato una giustificazione spannometrica. Per chi studia alle scuole superiori la dimostrazione va bene così e non c'è niente da aggiungere.

 

Per chi non si accontenta, invece, basta osservare che ogni funzione reale di variabile reale che sia derivabile è localmente lineare (basta uno sviluppo di Taylor al primo ordine nel punto). Fine. ;)

 

 


 

Nella lezione successiva riprenderemo il significato geometrico della derivata e proporremo il metodo pratico per calcolare l'equazione della retta tangente al grafico di una funzione in un punto.

 

 

Sayonara, see you soon guys!

Fulvio Sbranchella (Agente Ω)

 

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