Derivata di una funzione: definizione

La definizione di derivata, o derivata prima di una funzione in un punto, prevede di definire la derivata come limite del rapporto incrementale della funzione nel punto al tendere dell'incremento a zero. Considerando un generico punto, la derivata prima può essere altresì definita come una funzione. 

 

Vedremo qui un argomento di fondamentale importanza nell'ambito dell'Analisi Matematica: la definizione di derivata, o derivata prima di una funzione. Dopo aver introdotto la definizione di derivata ed averla spiegata per filo e per segno, con svariati esempi, spiegheremo cos'è la derivata di una funzione in un punto e cos'è la derivata intesa come funzione.

 

Prima di procedere, un piccolo riepilogo. Nella lezione precedente abbiamo definito il rapporto incrementale di una funzione y=f(x) in un punto x_0. Esso è definito come

 

\frac{\Delta y}{\Delta x}=\frac{f(x_{0}+h)-f(x_{0})}{h}

 

dove h è un incremento, ossia una lunghezza sull'asse delle ascisse.

 

Derivata di una funzione in un punto

 

Consideriamo la solita funzione y=f(x) ed un punto x_0 nel suo dominio. Ci sono diversi simboli usati per denotare la derivata di una funzione in un punto:

 

f'(x_0)\ \ \ ;\ \ \ \frac{df}{dx}(x_0)\ \ \ ;\ \ \ D(f(x))|_{x=x_0}

 

Tutti questi simboli si riconducono alla medesima definizione

 

f'(x_0)=\lim_{h\to 0}\frac{f(x_0+h)-f(x_0)}{h}

 

In altri termini, la derivata di una funzione in un punto è il limite del rapporto incrementale al tendere dell'incremento h a zero.

 

Tutto qui? In effetti no, possiamo dare altre due definizioni. Chiamiamo derivata sinistra nel punto x_0 il limite del rapporto incrementale calcolato da sinistra

 

f'_-(x_0)=\lim_{h\to 0^-}\frac{f(x_0+h)-f(x_0)}{h}

 

e diciamo derivata destra nel punto x_0 il limite del rapporto incrementale calcolato da destra

 

f'_+(x_0)=\lim_{h\to 0^+}\frac{f(x_0+h)-f(x_0)}{h}

 

Esempi sulla derivata di una funzione in un punto

 

Vediamo un paio di esempi di derivata, giusto per capire che non c'è niente di strano nè di difficile nella definizione.

 

 

1) Consideriamo la funzione

 

f(x)=4x

 

e calcoliamone la derivata in x_0=5.

 

Prima di tutto ci serve il rapporto incrementale nel punto:

 

\frac{\Delta y}{\Delta x}=\frac{f(x_0+h)-f(x_0)}{h}=

 

Effettuiamo le valutazioni sostituendo i rispettivi argomenti in luogo di x nell'espressione della funzione

 

=\frac{4(5+h)-4(5)}{h}=\frac{4h}{h}=4

 

Il rapporto incrementale appena calcolato non dipende da h, dunque passare al limite per h→0 è ininfluente. 

 

\\ f'(x_{0})=\lim_{h\to 0}\frac{f(x_0+h)-f(x_0)}{h}=\\ \\ \\ =\lim_{h\to 0}4=4

 

In definitiva la derivata della funzione f(x)=4x nel punto x_0=5 è data da

 

f'(5)=4

 

 

2) Prendiamo la funzione logaritmica

 

f(x)=\ln(x)

 

e calcoliamone la derivata nel punto x_0=2.

 

Il punto appartiene al dominio della funzione considerata e sappiamo che, prima di tutto, va calcolato il rapporto incrementale nel punto, con incremento h generico:

 

\frac{\Delta y}{\Delta x}=\frac{f(x_0+h)-f(x_0)}{h}=\frac{\ln(2+h)-\ln(2)}{h}

 

Ora, seguendo la definizione di derivata in un punto, passiamo al limite per h tendente a zero:

 

f'(x_{0})=\lim_{h\to 0}\frac{f(x_0+h)-f(x_0)}{h}=\lim_{h\to 0}\frac{\ln(2+h)-\ln(2)}{h}=

 

grazie ad una nota proprietà dei logaritmi, secondo la quale il logaritmo di un rapporto è uguale alla differenza dei logaritmi, riscriviamo il limite nella forma

 

=\lim_{h\to 0}\frac{\ln\left(\frac{2+h}{2}\right)}{h}=\lim_{h\to 0}\frac{\ln\left(1+\frac{h}{2}\right)}{h}=\ \ \ (\bullet)

 

Osserviamo che per h→0 risulta che h/2→0, quindi possiamo usare il limite notevole dei logaritmi

 

\lim_{z\to 0}\frac{\ln(1+z)}{z}=1

 

Per poterlo usare, moltiplichiamo e dividiamo a denominatore per 2, di modo che

 

(\bullet)=\lim_{h\to 0}\frac{\ln\left(1+\frac{h}{2}\right)}{\frac{h}{2}\cdot 2}=\frac{1}{2}

 

Si conclude che la derivata di y=\ln(x) nel punto x_0=2 è

 

f '(2)=\frac{1}{2}

 

Derivata prima di una funzione

 

Abbiamo definito la derivata di una funzione in un punto, e lo ripetiamo: la derivata di una funzione in un punto è un valore reale, ossia un numero. Ora è il momento di estendere la definizione alla totalità dei punti in cui è possibile calcolare la derivata, e dunque di parlare di derivata prima di una funzione, intesa come funzione.

 

In realtà, a questo punto, dovremmo preoccuparci delle condizioni che garantiscono l'esistenza della derivata in un punto, ma lo faremo in una lezione a parte (funzione derivabile). Meglio evitare di avere troppa carne sul fuoco. ;)

 

Osserviamo il seguente fatto: se abbiamo una funzione y=f(x) con dominio Dom(f), supponiamo che esista in ogni punto x_0 del suo dominio la derivata puntuale f'(x_0). Consideriamo la funzione

 

x_0\rightarrow f'(x_0)

 

che associa ad ogni punto del dominio di f la corrispondente derivata nel punto. Chiamiamo questa funzione derivata prima della funzione f, e la indichiamo con

 

y=f'(x)

 

A questo punto è molto, molto, molto importante non fare confusione:

 

- la derivata di una funzione in un punto è un numero;

 

- la derivata prima di una funzione, o più brevemente la derivata di una funzione, è una funzione.

 

In sintesi, se si specifica in un punto abbiamo a che fare con un valore; se si parla solo di derivata, ci riferiamo ad una funzione.

 

Come calcolare la derivata prima

 

Per calcolare la derivata prima di una funzione usiamo la definizione di derivata di una funzione in un punto x0, considerando però x0 come un punto generico, ossia come variabile.

 

Esempio

 

Calcoliamo la derivata prima della funzione

 

y=x^2

 

Dalla definizione di derivata prima in un punto x0, considerando x0 generico, calcoliamo prima il rapporto incrementale

 

\\ \frac{\Delta y}{\Delta x}=\frac{f(x_0+h)-f(x_0)}{h}=\frac{(x_0+h)^2-x_0^2}{h}=

 

e facciamo i conti, sviluppando il quadrato del binomio

 

=\frac{x_0^2+2hx_0+h^2-x_0^2}{h}=\frac{h(2x_0+h)}{h}=2x_0+h

 

Ora che abbiamo la generica espressione analitica del rapporto incrementale, passiamo al limite per h tendente a zero, e otteniamo

 

f'(x_{0})=\lim_{h\to 0}\frac{f(x_0+h)-f(x_0)}{h}=\lim_{h\to 0}(2x_0+h)=2x_0

 

Ricordando che x_0 denota un generico punto e trattandolo alla stregua di una variabile, ne deduciamo che la derivata della funzione f(x)=x^2 è

 

f '(x)=2x

 

 


 

Nel seguito mostreremo il significato geometrico della derivata, mentre nella lezione successiva ci occuperemo delle condizioni di derivabilità di una funzione, ossia le condizioni di esistenza della derivata. Più avanti inoltre avremo modo di vedere che il calcolo della derivata di una funzione non è così meccanico come sembra, e che non richiede di passare dalla definizione come limite del rapporto incrementale.

 

Non perdetevi la scheda di esercizi correlati, e se non bastassero vi suggeriamo di usare la barra di ricerca interna. Qui su YM ci sono migliaia di esercizi svolti e spiegati passo-passo. ;)

 

 

Namastè, see you soon guys!

Fulvio Sbranchella (Agente Ω)

 

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