Rapporto incrementale

Il rapporto incrementale di una funzione in un punto è il rapporto tra la variazione di ordinate e la variazione di ascisse definite a partire da un incremento h, ed è un prerequisito necessario per la definizione di derivata.

 

In questa lezione introduciamo la nozione di rapporto incrementale di una funzione f in un punto x0 del suo dominio. Come al solito, x0 è solamente un nome (comodo) per indicare un generico punto.

 

La nozione che stiamo per trattare è fondamentale perché ci permetterà di definire, dopo un piccolo lavoro preliminare, il concetto di derivata. Vediamo dunque cos'è il rapporto incrementale di una funzione in un punto, qual è la formula che lo definisce e qual è il suo significato geometrico.

 

Definizione di rapporto incrementale

 

Consideriamo una funzione f:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}\mbox{, }y=f(x) di variabile reale a valori reali. Definiamo il rapporto incrementale della funzione f nel punto x0 nel modo seguente:

 

 

\frac{\Delta y}{\Delta x}:=\frac{f(x_{0}+h)-f(x_{0})}{h}

 

 

dove il simbolo := nella formula indica che l'uguaglianza è una definizione.

 

Nella formula del rapporto incrementale è presente il rapporto tra la differenza delle ordinate f(x0+h), f(x0), ossia le ordinate corrispondenti alle ascisse x0+h e x0 mediante f, e la differenza delle relative ascisse x0+h e x0, che è evidentemente h.

 

Il rapporto che abbiamo indicato con

 

\frac{\Delta y}{\Delta x}

 

si chiama rapporto incrementale, e il nome si giustifica per il fatto che è un rapporto di differenze calcolate a partire da un incremento: h, per l'appunto. La lettera greca Δ (Delta) si usa solitamente in Matematica e in Fisica per indicare una variazione o differenza, il che giustifica la notazione Δy/Δx.

 

Significato geometrico del rapporto incrementale

 

Ottimo: abbiamo definito il rapporto incrementale. Abbiamo capito come si indica e perchè si indica così. Non abbiamo però la più pallida idea di che cosa significhi dal punto di vista pratico, ossia qual è il significato geometrico del rapporto incrementale, né del perché lo abbiamo voluto definire.

 

La seconda domanda non deve, né può, trovare una risposta qui ed ora. In questi casi è bene ricordarsi la regola più importante dello studio della Matematica di base. Prima dobbiamo capire come, poi capiremo perché. Non ha senso sperare di capire come e perché simultaneamente, certe domande trovano risposta sulla strada e non all'inizio.

 

Per quel che riguarda l'interpretazione geometrica del rapporto incrementale, consideriamo una funzione come quella in figura. Non ne conosciamo la forma analitica, ossia l'espressione y=f(x), ma poco importa. Consideriamo un punto x0 a caso nel dominio e una distanza h arbitraria, e seguiamo passo passo la definizione

 

 

Esempio di funzione per il significato geometrico del rapporto incrementale

 

x0 è il punto di partenza, h una distanza sull'asse delle ascisse.

 

Consideriamo l'ascissa x0+h ed individuiamo le ordinate corrispondenti a x0 e a x0+h mediante f.

 

 

Esempio per gli incrementi che definiscono il rapporto incrementale

 

 

Ora consideriamo le differenze tra le ordinate e le ascisse dei punti indicate nel grafico

 

\\ f(x_0+h)-f(x_0)=\Delta y\\ \\ (x_0+h)-x_0=\Delta x

 

Cosa sono? Le due differenze corrispondono alle lunghezze dei due cateti del triangolo rettangolo nella seguente figura

 

 

Esempio grafico per il significato geometrico del rapporto incrementale

 

 

Ecco spiegato che cos'è il rapporto incrementale di una funzione in un punto: una divisione tra due lunghezze. Facile, no? ;)

 

Forma alternativa del rapporto incrementale

 

All'inizio della lezione abbiamo definito il rapporto incrementale come

 

\frac{\Delta y}{\Delta x}:=\frac{f(x_{0}+h)-f(x_{0})}{h}

 

È bene sapere che esiste una seconda formulazione del rapporto incrementale, del tutto equivalente a quella appena scritta

 

\frac{\Delta y}{\Delta x}:=\frac{f(x)-f(x_{0})}{x-x_0}

 

È evidente che le due formulazioni siano equivalenti e per vederlo basta osservare che

 

x=x_0+h\ \to\ x-x_0=h

 

Dal canto nostro prediligiamo la prima versione perché, dal punto di vista didattico, trasmette più esplicitamente l'idea di incremento. Negli sviluppi teorici e nella pratica può però capitare di usare l'una o l'altra forma, poiché a seconda dei contesti possono risultare più o meno convenienti. Per il momento vi basti sapere che il rapporto incrementale può essere espresso in una forma del tutto interscambiabile con la prima. ;)

 

 


 

Se avete studiato il concetto di rapporto incrementale per la prima volta, vi chiediamo di avere fiducia perché nella lezione successiva ne comprenderemo la grande utilità: siamo pronti per definire la derivata di una funzione.

 

Prima però, se volete, potete provare a cimentarvi nella risoluzione degli esercizi sul calcolo del rapporto incrementale. Nella scheda correlata potete provare a risolvere una raccolta di esercizi proposti, e se non bastassero sappiate che potete reperire tantissimi altri esercizi risolti mediante la barra di ricerca interna. ;)

 

 

Totsiens, see you soon guys!

Fulvio Sbranchella (Agente Ω)

 

Esercizi correlati .........Lezione successiva


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