Funzione differenziabile in due variabili

La differenziabilità di una funzione a due variabili in un punto è certamente uno di quegli argomenti che creano moltissimi grattacapi ed è l'argomento di Analisi 2 che crea un numero considerevole di vittime.

 

Funzione differenziabile in due variabili in un punto

 

Come sempre partiremo dalla definizione!

 

Una funzione a due variabili f(x,y) definita in un insieme aperto non vuoto A\subseteq\mathbb{R}^2 a valori in \mathbb{R} è differenziabile in un punto (x_0,y_0)\in A se e solo se esiste una forma lineare L(h, k) tale che:

 

f(x_0+h, y_0+k)=f(x_0,y_0)+ L(h, k)+ o(\sqrt{h^2+k^2})

 

dove h= x-x_0 è detto incremento della variabile x, mentre k= y-y_0 viene chiamato incremento per la variabile y.

 

Se la forma lineare esiste essa prenderà il nome di differenziale della funzione f nel punto (x_0,y_0).

 

Cosa dice la definizione di funzione differenziabile

 

Ok, niente panico, cerchiamo di ragionare con calma e sangue freddo! Ci sono più informazioni che ci vengono date da questa definizione, o meglio ci sono termini che probabilmente è la prima volta che incontrate. 

 

La forma lineare L(h, k) è una funzione lineare che ha per insieme di definizione  \mathbb{R}^2 e per codominio \mathbb{R} (perché stiamo considerando funzioni di due variabili). Una funzione di questo tipo è data dalla legge:

 

L(h, k)= \alpha h+ \beta k\quad \con (h, k)\in \mathbb{R}^2, \alpha, \beta \in \mathbb{R}

 

e geometricamente rappresenta un piano nello spazio O_{h,k, z}. Le variabili sono h e k, mentre i coefficienti sono \alpha, \beta, sono numeri che dipenderanno dal punto (x_0, y_0).

 

Ora respirate in modo regolare e rileggete tutto. Fatto? Se sì, possiamo andare avanti. :) Invece di utilizzare la scrittura

 

f(x_0+h, y_0+k)=f(x_0,y_0)+ \overbrace{L(h, k)}^{=\alpha h+\beta k}+ o(\sqrt{h^2+k^2})

 

possiamo riscriverlo in modo più amichevole come:

 

f(x_0+h, y_0+k)= f(x_0,y_0)+ \alpha h+ \beta k + o(\sqrt{h^2+k^2}) 

 

Come stabilire se una funzione a due variabili è differenziabile

 

Il punto di partenza consiste nell'imparare un teorema che si rivelerà molto utile nella pratica. Si può dimostrare che se f(x,y) è differenziabile in un punto (x_0, y_0)\in A allora

 

1. f(x,y) è continua in (x_0, y_0)

 

2. f(x,y) ammette derivate direzionali in (x_0, y_0) lungo ogni direzione \mathbf{v}\in \mathbb{R}^2

 

3. \alpha= \frac{\partial f}{\partial x}(x_0, y_0), \beta = \frac{\partial f}{\partial y}(x_0, y_0)

 

Ecco, non sottovalutiamo questi importanti risultati, perché per negazione ci forniscono mezzi potenti per mostrare la non differenziabilità! In particolare:

 

C.1) Se una funzione f(x,y) non è continua in (x_0, y_0) allora non è ivi differenziabile!

 

C.2) Se esiste una direzione, data dal versore \mathbf{v}, per la quale non esiste la derivata direzionale in (x_0, y_0) allora la funzione non è differenziabile in (x_0, y_0).

 

In definitiva l'espressione 

 

f(x_0+h, y_0+k)= f(x_0,y_0)+ \alpha h+ \beta k + o(\sqrt{h^2+k^2})

 

è equivalente alla più operativa:

 

f(x_0+h, y_0+k)= f(x_0,y_0)+\frac{\partial f}{\partial x}(x_0, y_0) h+ \frac{\partial f}{\partial y}(x_0,y_0) k + o(\sqrt{h^2+k^2})\quad(\heartsuit)

 

Notazioni: d'ora in poi le derivate parziali prime verranno indicate con la scrittura più agevole f_x(x, y) per la derivata parziale rispetto ad x, f_{y}(x,y) per identificare la derivata parziale rispetto a y.

 

Condizione necessaria e sufficiente per la differenziabilità

 

Da essa possiamo estrapolare la condizione necessaria e sufficiente per la differenziabilità di una funzione nel punto:

 

Una funzione f(x,y), definita in un sottoinsieme aperto A\subseteq\mathbb{R}^2, è differenziabile in (x_0,y_0)\in A se e solo se:

 

1. Esistono le derivate parziali prime nel punto (x_0,y_0) (attenzione, abbiamo detto esistono, non che le derivate parziali siano continue!)

 

2. \lim_{(h, k)\to (0,0)}\frac{f(x_0+h, y_0+k)-f(x_0, y_0)- f_{x}(x_0, y_0)h- f_{y}(x_0, y_0)k}{\sqrt{h^2+k^2}}= 0

 

Il limite in due variabili al punto 2 creerà non pochi problemi agli studenti (e non solo Laughing). E' necessario quindi imparare veramente bene come si svolgono i limiti in due variabili e a tal fine vi rimandiamo alla lezione del precedente link.

 

Esempi sulle funzioni differenziabili in due variabili

 

A) Vogliamo studiare la differenziabilità della funzione f(x, y)= \begin{cases}\frac{x^3 y^4}{x^6 +y^4}&\mbox{ se }(x,y)\ne (0,0)\\0&\mbox{ se }(x,y) = (0,0) \end{cases} nel punto (0,0).

 

Il primo passo è quello di studiare la continuità in (0,0), se la funzione non è continua abbiamo finito, altrimenti andiamo avanti. Per la continuità possiamo osservare che:

 

y^4\le x^6+ y^4\quad \forall (x,y)\in\mathbb{R}^2

 

dividendo membro a membro per x^6+ y^4 otterremo

 

\frac{y^4}{x^6+ y^4}\le 1\quad \forall (x,y)\ne (0,0)

 

pertanto possiamo scrivere che

 

\left|\frac{x^3 y^4}{x^6+ y^4}\right|\le |x^3|

 

quindi

 

\lim_{(x,y)\to (0,0)}\frac{x^3 y^4}{x^6+ y^4}= 0= f(0,0)

 

La funzione è continua in (0,0). Poco male dai, non ci rimane altro che affidarci alla definizione. Verifichiamo l'esistenza delle derivate parziali del primo ordine tramite la definizione:

 

f_{x}(0,0)= \lim_{h\to 0}\frac{f(h,0)-f(0,0)}{h}= 0

 

f_{y}(0,0)= \lim_{k\to 0}\frac{f(0, k)-f(0,0)}{k}= 0

 

Le derivate parziali prime esistono e valgono 0. Impostiamo il "limitone"

 

\lim_{(h, k)\to (0,0)}\frac{f(h,k)- f(0,0)-f_{x}(0,0)h- f_{y}(0,0)k}{\sqrt{h^2+k^2}}=

 

= \lim_{(h,k)\to (0,0)}\frac{h^3 k^4}{\sqrt{h^2+k^2}(h^6+k^4)}

 

Osserviamo che:

 

\left|\frac{h^3k^4}{\sqrt{h^2+k^2}(h^6+k^4)}\right|\le \frac{|h^3|}{\sqrt{h^2+k^2}}\le \frac{|h^3|}{|h|}= h^2

 

poiché \lim_{(h, k)\to (0,0)}h^2= 0 

 

\lim_{(h, k)\to (0,0)}\left|\frac{h^3k^4}{\sqrt{h^2+k^2}(h^6+k^4)}\right|=0

 

e questo implica che "il limitone" vale zero, mostrando quindi la differenziabilità!

 

 

B) Sfrutteremo l'esempio che segue per mettere in risalto alcuni aspetti importanti.

 

Vogliamo studiare la continuità, la derivabilità lungo tutte le direzioni e la differenziabilità della seguente funzione nel punto (0,0).

 

f(x,y)= \begin{cases}\frac{x^2 y}{x^4+y^2}&\mbox{ se }(x,y)\ne (0,0)\\ 0&\mbox{ se }(x,y)= (0,0) \end{cases}

 

La funzione non è continua perché sulla restrizione y=x^2 la funzione vale 

 

f(x,x^2)= \frac{1}{2}, e dunque \lim_{x\to 0}f(x,x^2)= \frac{1}{2}\ne f(0,0)= 0

 

Controlliamo le derivate direzionali in (0,0), impostando il limite:

 

\frac{\partial f}{\partial \mathbf{v}}(0,0)= \lim_{t\to 0}\frac{f(a t, b t)-f(0,0)}{t}

 

che diventa

 

\lim_{t\to 0}\frac{a^2 b t^2}{b^2 t^2+ a^4 t^4}= \frac{a^2}{b}\mbox{ con }b\ne 0.

 

Per b= 0 la derivata direzionale lungo il versore \mathbf{v}= (1,0) è:

 

\frac{\partial f}{\partial \mathbf{v}}= \lim_{t\to 0}\frac{f(t, 0)-f(0,0)}{t}= 0

 

Quindi la funzione ammette tutte le derivate direzionali in (0,0) sebbene la funzione non sia continua in (0,0). Questo esempio mette in risalto quanto segue:

 

l'esistenza di tutte le derivate direzionali in un punto di una funzione non implica in generale la continuità della funzione in tale punto!

 

Inoltre poiché la funzione non è continua in (0,0) essa non può nemmeno essere differenziabile, in generale dunque

 

l'esistenza di tutte le derivate direzionali in un punto di una funzione non implica in generale la differenziabilità della funzione in tale punto!

 

Condizione sufficiente per la differenziabilità

 

Oltre a tutte i risultati già visti, esiste un ulteriore teorema che ci semplifica terribilmente la vita e che ci dà una condizione sufficiente per la differenziabilità!

 

Teorema del differenziale totale

 

Se abbiamo una funzione f(x,y) definita in un insieme aperto A\subseteq\mathbb{R}^2, se essa ammette derivate parziali prime in un intorno di (x_0,y_0) contenuto in A ed inoltre supponiamo che esse siano continue nel punto (x_0, y_0) allora f(x,y) è differenziabile in (x_0, y_0).

 

Questo teorema è utilissimo quando abbiamo a che fare con funzioni abbastanza mansuete e non è per niente difficile da utilizzare! Per chi vuole leggere la dimostrazione, può trovarla qui: dimostrazione del teorema del differenziale totale.

 

 

Esempio: vogliamo controllare la differenziabilità della funzione f(x,y)= x^2\sin(y) nel punto (0,0). Il primo passo da fare è calcolare le derivate parziali prime della funzione.

 

f_{x}(x,y)= 2 x \sin(y)\qquad f_{y}(x,y)= x^2\cos(y)

 

Sia la derivata rispetto ad x sia quella rispetto ad y sono funzioni continue in (0,0), questo perché essi sono composizioni di funzioni continue in tale punto! Per il teorema sul differenziale totale essa è differenziabile nel punto (0,0).

 

Significato geometrico della differenziabilità: piano tangente

 

Abbiamo visto che una funzione  f è differenziabile in un punto (x_0, y_0) se e solo se vale la relazione

 

f(x_0+h, y_0+k)= f(x_0, y_0)+f_{x}(x_0, y_0)h+ f_{y}(x_0, y_0)k+ o(\sqrt{h^2+k^2})

 

Ricordando che h= x-x_0 e k= y-y_0 l'espressione precedente si riscrive come:

 

f(x, y)= f(x_0, y_0)+ f_{x}(x_0, y_0)(x-x_0)+ f_{y}(x_0, y_0)(y-y_0)+ o(\sqrt{(x-x_0)^2+ (y-y_0)^2})

 

quindi possiamo esprimerla come somma di tre termini, il primo f(x_0, y_0) è una costante, un numero, il secondo è qualcosa di lineare detto differenziale della funzione, infine il terzo è il resto ed è qualcosa che tende a zero quando (x,y)\to (x_0, y_0) più velocemente rispetto a \sqrt{(x-x_0)^2+(y-y_0)^2} (è la definizione di o piccolo!).

 

L'equazione:

 

z= f(x_0, y_0)+f_{x}(x_0,y_0)(x-x_0)+ f_{y}(x_0, y_0)(y-y_0)

 

definisce il piano tangente al grafico della funzione f(x,y) nel punto (x_0, y_0, f(x_0, y_0)).

 

Geometricamente, una funzione è differenziabile in un punto se esiste il piano tangente passante per il punto in un intorno del quale è possibile approssimarla linearmente.

 

Come determinare l'equazione del piano tangente? Nulla di più semplice Laughing, utilizziamo la formula che abbiamo scritto prima ;) 

 

 

Esempio: consideriamo la funzione f(x,y)= x^2+ y^2, le derivate parziali prime associate alla funzione sono

 

f_{x}(x,y)= 2x \qquad f_{y}(x,y)= 2 y

 

L'equazione cartesiana del piano tangente nel punto (0, 1, 1) è:

 

z= f(0, 1)+ f_{x}(0, 1)(x-0)+ f_{y}(0, 1)(y-1)

 

e sostituendo i numeri otteniamo

 

z= 1+2y-2\iff z= 2y-1.

 

 


 

Anche questa lezione è giunta al termine! Per eventuali dubbi e domande cercate le risposte che vi servono tra le migliaia di risposte e di esercizi risolti - ce ne sono veramente di tutti i tipi - ed eventualmente sentitevi liberi di aprire una discussione nel Forum. Wink

 

In bocca al lupo!

Salvatore Zungri

 

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