Derivate direzionali

In questa lezione presenteremo e spiegheremo la definizione di derivata direzionale. Sotto sotto si tratta di un concetto che costituisce l'estensione della nozione di derivata in una variabile, che già conoscete, e se leggete tra le righe scoprirete che non imparerete "nulla di nuovo" se non il linguaggio tecnico che comunque non deve essere sottovalutato.

 

Cosa sono le derivate direzionali

 

Il concetto di derivata direzionale consiste nell'operazione di derivazione in due variabili. In questo contesto però non disponiamo di una direzione preferenziale - a differenza di quanto accade nel caso unidimensionale. Va da sé che non esiste un'unica derivata in due variabili, ma ne esiste una per ogni direzione del piano.

 

Prendiamo una direzione arbitraria nel piano, rappresentata da un versore \mathbf{v}=(v_1,v_2) (un vettore di norma 1). Tra un attimo vedremo come definire la derivata di una funzione in due variabili lungo \mathbf{v}, cioè la derivata direzionale lungo la direzione v.

 

Definizione di derivata direzionale

 

Consideriamo una funzione f(x,y) definita su un aperto A\subset\mathbb{R}^2 a valori in \mathbb{R}, siano inoltre (x, y)\in A e \mathbf{v}= (v_1, v_2) un vettore di norma unitaria.

 

Si definisce derivata direzionale di f(x,y) lungo la direzione \mathbf{v} il limite, se esiste finito:

 

\frac{\partial f}{\partial \mathbf{v}} (x,y)= \lim_{t\to 0}\frac{f(x+t v_1, y+t v_2)-f(x,y)}{t}

 

Non fatevi spaventare: è un limite nella sola variabile t!

 

 

Attenzione: Se nell'esercizio ci viene dato un vettore \mathbf{u} che non ha norma unitaria allora il primo passaggio da fare è quello di normalizzarlo e considerare il versore corrispondente

 

\mathbf{v}= \frac{\mathbf{u}}{||\mathbf{u}||}.

 

Esempio di calcolo della derivata direzionale

 

Vogliamo calcolare la derivata direzionale della funzione f(x,y)= e^x y lungo il vettore \mathbf{u}= (3,4) nel punto (2, 0).

 

Per prima cosa controlliamo che il vettore abbia norma unitaria, calcolandola sua norma ||u||= \sqrt{3^2+4^2}= 5\ne 1. Dato che non ha norma unitaria, dobbiamo normalizzarlo e considerarne il versore \mathbf{v}:

 

\mathbf{v}= \frac{\mathbf{u}}{||\mathbf{u}||}= \left(\frac{3}{5}, \frac{4}{5}\right)

 

a questo punto costruiamo il limite

 

\lim_{t\to 0}\frac{f\left(2+\frac{3}{5} t, \frac{4}{5} t\right)-f\left(2,0\right)}{t}= \lim_{t\to 0}\frac{\frac{4}{5}e^{2+\frac{3}{5}t}t}{t}= \frac{4}{5}e^2

 

Derivate direzionali e formula del gradiente

 

Ora vi sveliamo un segreto! Non dobbiamo procedere per forza con la definizione per il calcolo della derivata direzionale, esiste una formula che ci aiuterà in moltissimi casi: la formula del gradiente!

 

ATTENZIONE: a meno che tu non stia ripassando, questo paragrafetto richiede la conoscenza delle derivate parziali e la nozione di funzione differenziabile in due variabili. Se è la prima volta che affronti le derivate direzionali puoi saltare direttamente alla prossima lezione. Torna a leggerlo quando avrai letto anche la lezione successiva... ;)

 

Come sempre abbiamo la nostra funzione f(x,y) definita in un aperto D e a valori in \mathbb{R}. Supponiamo che la funzione sia differenziabile in (x_0, y_0)\in D allora la derivata direzionale della funzione f nel punto (x_0, y_0) lungo il vettore di norma unitaria \mathbf{v} coincide con il prodotto scalare tra il vettore di norma unitaria e il gradiente della funzione f valutato nel punto. Vale la formula:

 

\frac{\partial f}{\partial \mathbf{v}}(x_0,y_0)=\nabla f(x_0,y_0)\cdot \mathbf{v}

 

Per chi fosse interessato: dimostrazione della formula del gradiente e interpretazione geometrica della formula del gradiente.

 

 

Una condizione sufficiente per la validità della suddetta formula: se le derivate parziali sono continue nel punto allora la funzione vale la formula del gradiente. La differenziabilità è qualcosa di più difficile da mostrare :)

 

Rifacciamo i conti con l'esempio precedente. Il gradiente della funzione f(x,y)=e^x y è 

 

\nabla f(x,y)= \left(e^x y,  e^x\right)

 

Le componenti del vettore gradiente sono funzioni continue, possiamo quindi calcolare la derivata direzionale con la formula del gradiente: valutiamolo nel punto (2, 0) così da ottenere

 

\nabla f(2, 0)= (0, e^2)

 

Il vettore unitario è \mathbf{v}= \left(\frac{3}{5}, \frac{4}{5}\right). Non ci rimane altro che effettuare il prodotto scalare

 

\frac{\partial f}{\partial\mathbf{v}}f(2,0)= (0, e^{2})\cdot \left(\frac{3}{5}, \frac{4}{5}\right)= \frac{4}{5}e^2 

 

Questa formula ci permette di bypassare il calcolo del limite, che a volte può dare rogne!

 

 


 

Benone, qui abbiamo finito! Non dimenticatevi di leggere anche la lezione successiva sulle derivate parziali, e nel frattempo nel caso di dubbi e domande potete cercare le risposte che vi servono con la barra di ricerca, qui su YM...Wink

 

In bocca al lupo!

Salvatore Zungri

 

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