Limiti in due variabili

Esattamente come succede nel caso monodimensionale, i limiti in due variabili costituiscono un argomento fondamentale dell'Analisi. Sia chiaro! Non è un argomento da affrontare all'acqua di rose, anzi, richiede un'attenzione particolare perché denso di concetti che a primo impatto possono disorientare!

 

Il nostro obiettivo consiste nell'esporre le tecniche necessarie e i metodi indispensabili per il calcolo di un limite di una funzione di due variabili. Il caso più comune, quello che viene richiesto maggiormente negli esami di analisi è il limite finito per x e y che tendono a valori finiti.

 

Definizione di limite di una funzione in due variabili

 

Consideriamo una funzione f definita in un sottoinsieme \Omega\subset\mathbb{R}^2 a valori in \mathbb{R} e (x_0, y_0) un punto di accumulazione per l'insieme \Omega. Diremo che:

 

\lim_{(x,y)\to (x_0,y_0)}f(x,y)= \ell

 

(cioè che il limite per (x,y) tendente a (x_0, y_0) di f è un numero reale \ell) se e solo se fissato un numero reale positivo \epsilon\,\textgreater\, 0 riusciamo a determinare un numero reale positivo \delta\,\textgreater\, 0 tale che se (x, y)\in \Omega e (x,y) appartiene all'intorno bucato di (x_0, y_0) di raggio \delta (che chiameremo B_{\delta}(x_0,y_0)\setminus\left\{(x_0, y_0)\right\}) allora è verificata la disuguglianza:

 

|f(x, y)- \ell|\,\textless \varepsilon

 

Come per per il caso unidimensionale, se esiste il limite di una funzione di due variabili esso è unico, teniamolo a mente!  Se leggiamo la definizione senza pregiudizi, potremo notare la tremenda somiglianza con la definizione di limite in una variabile... le due definizioni sono "sorelle", anzi di più, sono proprio gemelle omozigoti!

 

Metodi per il calcolo dei limiti in due variabili

 

La definizione di limite è comunque poco adatta per risolvere un esercizio, nella stragrande maggioranza dei casi non saremmo in grado di risolvere esplicitamente le disequazioni, anche perché non conosciamo a priori il valore di \ell. E come se non bastasse i limiti di funzioni di due variabili hanno molti problemi esistenziali e qui dobbiamo trasformarci in psicologi! (ok... non è una bella battuta!)

 

Il primo passo da fare nello studio di un limite è quello di dimostrare o meno la sua esistenza, ma come? Interviene un risultato importante che ci darà una mano per negazione.

 

Teorema sul limite delle restrizioni (condizione necessaria per l'esistenza di un limite)

 

Se abbiamo una funzione f:\Omega\subset\mathbb{R}^2\to \mathbb{R} e un punto d'accumulazione (x_0, y_0) per \Omega per i quali si abbia che:

 

\lim_{(x,y)\to (x_0, y_0)}f(x,y)= \ell\quad (\heartsuit)

 

allora per ogni sottoinsieme \Omega'\subset\Omega avente (x_0,y_0) come punto di accumulazione vale che:

 

\lim_{(x,y)\to (x_0, y_0)}f|_{\Omega'}(x,y)= \ell

 

"Che cippalippa vuol dire?" Ci sta dicendo che se il limite (\heartsuit) esiste allora comunque scelta una "strada" (o cammino) per "giungere"  al punto (x_0, y_0), la funzione f(x, y) ristretta al cammino tenderà allo stesso limite \ell.

 

Come dimostrare che un limite in due variabili non esiste

 

Il precedente risultato lo utilizzeremo al negativo: se riusciamo a determinare due cammini per i quali il limite della restrizione è diverso allora il limite (\heartsuit) non esiste!  Naturalmente esistono infinite restrizioni perché esistono infiniti cammini, non potremo mai provarle tutte. Esistono però cammini che occorrono spessissimo negli esercizi.

 

Vogliamo verificare l'esistenza del limite:

 

\lim_{(x, y)\to (x_0,y_0)}f(x,y)

 

Possiamo procedere per restrizioni su rette:

 

Consideriamo una qualsiasi retta passante per il punto (x_0, y_0), cioè appartenente al fascio di rette:

 

y= m(x-x_0)+ y_0\mbox{ con }m\in \mathbb{R}

 

In questo modo la funzione ristretta diventa f(x, m (x-x_0)+ y_0). Studieremo il limite:

 

\lim_{x\to x_0}f(x, m(x-x_0)+y_0)

 

e se dipende da m allora concluderemo che il limite di partenza non esiste! Se il limite sulle rette non dipende da m non possiamo concludere nulla. Questo perché è possibile che esista un percorso più arzigogolato la cui restrizione associata possiede un limite diverso. Tutto chiaro? No? Surprised Non preoccupatevi è normalissimo Laughing. Facciamo un esempio:

 

\lim_{(x, y)\to (1, 0)} \frac{(x-1)y}{ (x-1)^2+ y^2}

 

 dobbiamo controllare cosa succede per rette, scegliendo come percorso:

 

y= m(x-1)

 

La funzione ristretta al fascio è:

 

f(x, m(x-1))=\frac{m(x-1)^2}{(x-1)^2+ m^2 (x-1)^2} = \frac{m}{1+m^2}

 

il valore del limite è

 

\lim_{x\to 1}f(x, m(x-1))= \frac{m}{1+m^2}

 

che  dipende da m! Possiamo concludere che il limite non esiste.

 

 

Finito un giro di giostra iniziamone subito un altro per non perdere il ritmo: vogliamo studiare il limite 

 

\lim_{(x,y)\to (2,1)}\frac{(x-2)^2 (y-1)}{(x-2)^4+ (y-1)^2}

 

Procediamo quindi considerando il fascio di rette centrato nel punto y= m(x-2)+ 1 e consideriamo la funzione ristretta f(x, m (x-2)+1)= \frac{m (x-2)}{m^2+ (x-2)^2}.

 

Il limite della restrizione è 

 

\lim_{x\to 2}f(x, m (x-2)+1)= \lim_{x\to 2}\frac{m (x-2)}{m^2+(x-2)^2}= 0

 

Il valore del limite non dipende dal coefficiente angolare m, ma attenzione, non possiamo dire nulla sull'esistenza del limite. Tentiamo, ad occhio, di scegliere un percorso non lineare, ad esempio la parabola di equazione y= (x-2)^2+1 sembra fare al caso nostro! Il limite diventa:

 

\lim_{x\to 2}f(x,  (x-2)^2+1)= \lim_{x\to 2}\frac{ (x-2)^4}{(x-2)^4+ (x-2)^4}= \frac{1}{2}

 

Ora ragioniamoci un momento, per le rette il limite è zero, per la parabola il limite è 1/2, questo viola il teorema delle restrizioni quindi il limite \lim_{(x,y)\to (2,1)} \frac{(x-2)^2 (y-1)}{(x-2)^4+ (y-1)^2} non esiste! Geometricamente avremo questa situazione:

 

 

Limite in due variabili

 

 

In rosso è il grafico della funzione f ristretto alla retta y= x-1 e quando x tende a due, la funzione ristretta tende a zero. In blu abbiamo invece la funzione ristretta sulla parabola y= (x-2)^2+1, in questo caso, quando siamo in prossimità di x=2 la funzione ristretta si mantiene a quota 1/2.

 

 

E' un più chiaro ora? Perfetto, sappiamo dire quando il limite non esiste, e se invece esistesse, come dobbiamo dimostrare che un limite esiste? Siamo arrivati al nodo della questione Laughing! Sostanzialmente esistono due modi per dimostrare che un numero reale \ell sia il valore del limite \lim_{(x,y)\to (x_0, y_0)}f(x,y).

 

Come dimostrare che un limite in due variabili esiste

 

Prima tecnica: consiste nel determinare, se possibile, una funzione positiva h(x,y) che soddisfa due condizioni:

 

|f(x,y)-\ell|\le h(x,y) e \lim_{(x,y)\to (x_0, y_0)}h(x,y)= 0

 

In tal caso diremo che \lim_{(x,y)\to (x_0, y_0)}f(x,y)= \ell. E' importante sottolineare che la funzione h può dipendere da una sola variabile, x o y che sia, in ogni caso la difficoltà risiederà nel determinarla Undecided, solo la pratica e l'esercizio continuo vi aiuteranno molto!  

 

Seconda tecnica: consiste nel passaggio alle coordinate polari o ad una loro traslazione. Sussiste infatti la seguente proposizione:

 

sia \ell\in\mathbb{R}, supponiamo esista una funzione positiva g(\rho) e dipendente dalla sola variabile \rho tale che:

 

|f(x_0+\rho\cos(\theta), y_0 +\rho \sin(\theta))-\ell|\le g(\rho)

 

Se \lim_{\rho\to 0}g(\rho)=0 allora \lim_{(x,y)\to (x_0, y_0)}f(x,y)= \ell

 

Finalmente siamo pronti per dare i passaggi che servono! Se vogliamo studiare il limite \lim_{(x,y)\to (x_0,y_0)}f(x,y)...

 

1. Si verifica per prima cosa l'esistenza del limite considerando i limiti delle restrizioni sulle rette.  Se il limite non dipende dalle restrizioni, esso sarà il nostro candidato \ell

 

2. Tramite una delle tecniche mostrate in precedenza si prova  che \lim_{(x,y)\to (x_0,y_0)}f(x,y)= \ell. Abbiamo concluso l'esercizio! Se però le due tecniche falliscono con molta probabilità il limite non esiste (oppure  c'è qualche errore nella tecnica utilizzata).

 

3. Tentiamo di determinare un cammino non lineare, su cui funzione ristretta abbia limite diverso da \ell, così da dimostrare che il limite non esiste. 

 

Capiamo che la lezione è un po' difficile, e un esempio magari può aiutarci :) 

 

Studiamo il limite \lim_{(x,y)\to (0,0)}\frac{y x^2}{x^2+y^2}

 

Il primo passo consiste nel porre y= mx quindi così da ottenere il limite nella sola variabile x

 

\lim_{x\to 0}\frac{m x^3}{x^2+m^2 x^2}= \lim_{x\to 0 }\frac{mx}{1+m^2}= 0\quad\forall m\in\mathbb{R}

 

Il candidato limite è \ell= 0. Vediamo se vince le "elezioni" Tongue .  Per questioni didattiche proveremo con entrambe le tecniche:

 

Tecnica 1: osserviamo che |f(x,y)-\ell|= \left|\frac{y x^2}{x^2+ y^2}\right|.

 

E' facile inoltre notare che x^2\le x^2+y^2 e dunque \frac{x^2}{x^2+y^2}\le 1 per ogni (x,y)\ne (0, 0)

 

grazie a questa disuguaglianza possiamo scrivere che:

 

\left|y\frac{x^2}{x^2+y^2}\right|\le |y|

 

La funzione |y| è in pratica la funzione h e rispetta tutte le condizioni imposte, infatti

 

\lim_{(x,y)\to (0,0)}|y|= 0

 

allora possiamo concludere che

 

\lim_{(x,y)\to (0,0)}\frac{x^2 y }{x^2+ y^2}= 0

 

cioè il limite esiste ed è 0.

 

Tecnica 2: procediamo per coordinate polari, ponendo x= \rho \cos(\theta) e y= \rho\sin(\theta) allora il modulo della differenza:

 

|f(\rho\cos(\theta), \rho\sin(\theta))-\ell|= \left|\frac{\rho^3 \cos^2(\theta)\sin(\theta)}{\rho^2\cos^2(\theta)+ \rho^2\sin^2(\theta)}\right| \le \rho

 

Scegliamo g(\rho)= \rho. Poiché \lim_{\rho\to 0}g(\rho)=0 allora il limite di partenza è zero!

 

 


 

Bene! Abbiamo concluso questa lezione, finalmente... Ora, un po' di pausa, magari un caffè e subito dopo esercitati con i limiti che trovi su YM, sono già interamente svolti!  

 

Buono Studio!

Salvatore Zungri

 

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