Dominio di funzioni a due variabili

Come accade nel caso di funzioni di una sola variabile, anche quando ci troviamo a lavorare con funzioni di due variabili la prima cosa da fare è capire in quale sottoinsieme (qui di \mathbb{R}^2) essa è definita. Determinare il dominio di funzioni a due variabili non è difficile, ed è il punto di partenza per poter studiare qualsiasi proprietà che caratterizza la funzione.

 

Come trovare il dominio di funzioni a due variabili

 

Supponiamo di avere una funzione a due variabili e a valori reali f:\mathbb{R}^2\to\mathbb{R}. Per determinare il dominio di f dovremo procedere in due passi. In primo luogo dovremo capire a quali condizioni di esistenza è soggetta f: tali condizioni dipenderanno dalle funzioni elementari che definiscono f per composizione o mediante operazioni algebriche di base (1).

 

Successivamente dovremo occuparci di mettere a sistema le condizioni del punto (1), per determinare l'insieme D=Dom(f)\subseteq \mathbb{R}^2 in cui valgono tutte (2). Ricordiamo infatti che "mettere a sistema" equivale logicamente a "prendere l'intersezione", il che si rende necessario poiché per definizione il dominio di una funzione è l'insieme in cui devono valere tutte le condizioni di esistenza di f.

 

Individuare le condizioni di esistenza per il dominio (1)

 

Qui va tutto bene, perché pur lavorando in due variabili le condizioni che caratterizzano l'esistenza di f sono esattamente le stesse che si considerano nel dominio di una funzione reale di variabile reale. Non cambia proprio nulla. Faremo dunque attenzione alla presenza di logaritmi, radicali ad indice pari, arcoseni e arcocoseni, presenza di rapporti e così via. Se hai qualche dubbio a riguardo ti rimandiamo alla lettura della lezione sul dominio in una variabile.

 

La novità rispetto al caso di una sola variabile riguarda piuttosto il punto (2), in cui dovremo a tutti gli effetti risolvere un sistema di equazioni e disequazioni in \mathbb{R}^2.

 

Mettere a sistema le condizioni e ricavare il dominio (2)

 

Prendiamo il sistema con tutte le condizioni che abbiamo imposto al punto (1). Come già accennato avremo a che fare con un tot di equazioni e di disequazioni in due variabili. Sappiamo già che per risolvere un sistema dobbiamo considerare l'intersezione tra gli insiemi delle soluzioni di ciascuna delle equazioni/disequazioni che vi compaiono.

 

Ok, ora viene il bello. Per fissare le idee, e soprattutto rendere l'idea, ragioneremo con un esempio in cui non parleremo mai della specifica funzione, ma solo di come si lavora con le condizioni.

 

Il metodo di risoluzione prevede di procedere per interpretazione grafica. Rappresentiamo il piano cartesiano

 

 

Piano cartesiano - dominio di funzioni a due variabili

 

e supponiamo di avere individuato al punto (1) tre condizioni. Se fossero due o cinquanta la logica non cambierebbe. Rappresentiamo l'insieme delle soluzioni della prima condizione nel piano, limitandoci a disegnarne la frontiera. (!) Poi rappresentiamo la frontiera dell'insieme relativo alla seconda, ed infine quella relativa all'insieme della terza condizione.

 

Alla fine potremmo trovarci di fronte a qualcosa del genere

 

 

Esempio per l'insieme di definizione in due variabili (passaggio 1)

 

 

in cui abbiamo (è un esempio buttato lì, a casaccio):

 

- la regione del piano interna alla parabola p, con parabola esclusa;

- la regione a destra della retta verticale r_2, con retta esclusa;

- la regione al di sotto della retta r_1, con retta inclusa.

 

Avendo la rappresentazione grafica dei tre insiemi prenderne l'intersezione è semplicissimo!

 

 

Esempio per l'insieme di definizione in due variabili (passaggio 2)

 

 

e potremo così fornire una rappresentazione analitica del dominio D, scrivendo cioè le soluzioni del sistema considerato analiticamente. Nota bene: la rappresentazione analitica del dominio non è sempre richiesta e non è sempre possibile!

 

Osservazione: da notare che abbiamo suggerito di limitarci a rappresentare la frontiera dell'insieme delle soluzioni di ciascuna condizione del sistema. Una tale scelta è molto importante dal punto di vista pratico, perché permette di evitare di appesantire il disegno! Se volete leggere il procedimento di risoluzione delle disequazioni in due variabili in generale: risoluzione grafica delle disequazioni in due variabili - click!

 

Esempio sul calcolo del dominio di funzioni in due variabili

 

Supponiamo di voler determinare il dominio della funzione f:\mathbb{R}^2\to\mathbb{R}, data da

 

f(x,y)=\frac{\log{(y-x^2)}\cdot \sqrt{x^2-6x+y^2+6y+17}}{y-x}

 

 

In accordo con le regole per il dominio del punto (1) (le stesse viste nel caso di funzioni a una variabile), dobbiamo richiedere che:

 

A) l'argomento del logaritmo sia strettamente positivo: y-x^2>0;

 

B) l'argomento della radice quadrata sia non negativo: x^2-6x+y^2+6y+17\geq 0;

 

C) il denominatore sia diverso da zero: y-x\neq 0

 

Mettiamo le tre condizioni a sistema, dacché vogliamo trovare l'insieme D=Dom(f)\subseteq\mathbb{R}^2 in cui sono tutte verificate

 

\begin{cases}y-x^2>0\\ x^2-6x+y^2+6y+17\geq 0\\ y-x\neq 0\end{cases}

 

Passiamo a rappresentare le soluzioni di ciascuna delle condizioni A), B) e C) nel piano cartesiano.

 

A) La disequazione y-x^2>0 può essere riscritta nella forma y>x^2, e tutti e soli i punti (x,y) che la soddisfano sono evidentemente i punti di \mathbb{R}^2 interni alla parabola di equazione y=x^2.

 

 

Esempio per l'insieme di definizione in due variabili - 3

 

 

B) Prendiamo l'equazione associata alla disequazione:

 

x^2-6x+y^2+6y+17=0.

 

Procediamo per completamento dei quadrati, riscrivendola nella forma

 

x^2-6x+9+y^2+6y+9+17-9-9=0

 

cioè (x-3)^2+(y+3)^2=1. Tale equazione individua la circonferenza di centro (3,-3) e raggio 1. Per tale motivo la disequazione (x-3)^2+(y+3)^2\geq 1 ha come soluzioni tutti e soli i punti di \mathbb{R}^2 esterni alla circonferenza o che giacciono sulla circonferenza

 

 

Esempio sul dominio in due variabili - grafico delle condizioni

 

 

C) Abbiamo infine l'equazione (y-x)\neq 0, che riscriviamo come y\neq x. Dato che y=x individua tutti i punti della bisettrice del primo e del terzo quadrante, l'equazione y\neq x ha come soluzioni tutti e soli i punti di \mathbb{R}^2 che non le appartengono. Per rappresentare tale insieme ci basterà disegnare la retta y=x ed escluderne i punti

 

Esempio sul dominio in due variabili - 2 - grafico delle condizioni

 

 

Per evitare di sbagliare cancelliamo i punti delle frontiere che le varie condizioni impongono di escludere

 

 

esempio-per-il-dominio-in-due-variabili-3

 

 

e prendiamo l'intersezione delle tre regioni. Essa sarà evidentemente

 

 

Esempio sul dominio in due variabili - 4 - grafico delle condizioni

 

 

vale a dire (ricordando che la rappresentazione analitica è opzionale)

 

Dom(f)=\{(x,y)\in\mathbb{R}^2\mbox{ t.c. }y>x^2\ \wedge\ y\neq x\}

 

 


 

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Pożegnanie, see you soon guys!

Agente Ω

 

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