Flusso di un campo vettoriale e teorema della divergenza

In questo articolo mostreremo come calcolare il flusso di un campo vettoriale attraverso una superficie! Partiamo dagli ingredienti per impostare il metodo per il calcolo del flusso, dopodiché vedremo come impostare correttamente un esercizio.

 

Ingredienti per calcolare il flusso di un campo vettoriale

 

Abbiamo bisogno di:

 

- una funzione vettoriale \mathbf{F}:D\subseteq\mathbb{R}^3\to \mathbb{R}^3, è la legge che definisce il campo vettoriale.

 

- una superficie \Sigma dello spazio \mathbb{R}^3 contenuta nel dominio del campo vettoriale D. Faremo in modo che tale superficie sia espressa in forma parametrica 

 

\mathbf{r}: S\subset\mathbb{R}^2\to D\subset\mathbb{R}^3

 

Negli esercizi la superficie può essere espressa:

 

a) in forma esplicita: z= g(x,y)

 

b) in forma implicita: G(x,y,z)= 0

 

c) in forma parametrica: \mathbf{r}(u,v)= (x(u, v), y(u, v), z(u,v))

 

- \mathbf{n}:\mathbb{R}^3\to \mathbb{R}^3 è il versore normale alla superficie al variare del punto (posizione) (x,y,z) appartenente alla superficie. Dobbiamo porre attenzione al verso della normale, che solitamente è dato dall'esercizio stesso, per ogni normale potremo dare due versi, opposti tra loro e per evidenziare questa cosa utilizzeremo la notazione \mathbf{n}  e -\mathbf{n}. La scelta di uno dei vettori è legata al concetto di orientazione di una superficie.

 

Quando la superficie è espressa in forma parametrica, il vettore normale si ottiene effettuando il prodotto vettoriale tra \frac{\partial \mathbf{r}}{\partial u}\times \frac{\partial \mathbf{r}}{\partial v}. Ovviamente il versore normale è dato da:

 

\mathbf{n}:\frac{\frac{\partial \mathbf{r} }{\partial u}\times \frac{\partial{r}}{\partial v}}{\left|\left|\frac{\partial \mathbf{r}}{\partial u}\times \frac{\partial \mathbf{r}}{\partial v}\right|\right|}

 

Nota bene: Non tutte le superfici sono orientabili e un esempio notevole è il nastro di Moebius. Non preoccupiamoci di questo, negli esercizi classici le superfici sono orientabili :)

 

Formula per calcolare il flusso di un campo vettoriale

 

Il flusso di un campo vettoriale \mathbf{F} attraverso una superficie \Sigma è:

 

\begin{align*}\Phi&= \iint_{\Sigma}\mathbf{F}\cdot \mathbf{n}d\Sigma\\&=\iint_{S}\mathbf{F}(\mathbf{r}(u,v))\cdot\frac{\frac{\partial \mathbf{r}}{\partial u}\times \frac{\partial \mathbf{r}}{\partial v}}{\left|\left|\frac{\partial \mathbf{r}}{\partial u}\times \frac{\partial \mathbf{r}}{\partial v}\right|\right|} \left|\left|\frac{\partial \mathbf{r}}{\partial u}\times \frac{\partial \mathbf{r}}{\partial v}\right|\right|du dv \\&= \iint_S \mathbf{F}(\mathbf{r}(u, v))\cdot \left(\frac{\partial\mathbf{r} }{\partial u}\times \frac{\partial \mathbf{r}}{\partial v}\right)dudv\end{align}

 

Se la superficie è il grafico di una funzione nella forma z= f(x,y) allora la precedente formula si riscrive come:

 

\Phi= \iint_S \mathbf{F}(x,y, f(x,y))\cdot \left(-\frac{\partial f}{\partial x}, -\frac{\partial f}{\partial y}, 1\right)dx dy

 

Poiché il terzo elemento del vettore normale è 1 allora esso è rivolto verso le quote crescenti di z!

 

Se la superficie è espressa in forma implicita allora dobbiamo parametrizzarla e utilizzare la definizione di partenza.

 

Esempio sul flusso di un campo vettoriale

 

Un esempio di applicazione: vogliamo determinare il flusso diretto verso il basso del campo vettoriale \mathbf{F}= \left(\frac{2x}{x^2+y^2}, \frac{2y}{x^2+y^2},1\right) attraverso la superficie definita in forma parametrica come:

 

\mathbf{r}(u, v)= (u\cos(v), u\sin(v), u^2)\mbox{ con }u\in [0,1], v\in [0, 2\pi]

 

Calcoliamo le derivate parziali rispetto ad u e v

 

\frac{\partial \mathbf{r}}{\partial u}= (\cos(v), \sin(v), 2u)\quad \frac{\partial \mathbf{r}}{\partial v}= (-u\sin(v), u\cos(v),0)

 

Il prodotto vettoriale che ci restituirà il vettore normale alla superficie è

 

 \frac{\partial \mathbf{r}}{\partial u}\times \frac{\partial \mathbf{r}}{\partial v}= (-2u^2\cos(v), -2u^2\sin(v), u)

 

La terza componente è u ed è positiva perché dall'esercizio sappiamo che u\in [0,1], il vettore normale è rivolto verso l'alto, l'esercizio però richiede che il verso sia rivolto verso il basso, di conseguenza prenderemo il vettore

 

-\left(\frac{\partial \mathbf{r}}{\partial u}\times \frac{\partial \mathbf{r}}{\partial v}\right)= (2u^2\cos(v), 2u^2\sin(v), -u)

 

La funzione \mathbf{F}(\mathbf{r}(u,v))= \left(\frac{2u \cos(v)}{u^2}, \frac{2u\sin(v)}{u^2}, 1\right).

 

Il prodotto scalare tra \mathbf{F}(\mathbf{r}(u,v)) e -\left(\frac{\partial \mathbf{r}}{\partial u}\times \frac{\partial \mathbf{r}}{\partial v}\right) è

 

\mathbf{F}(\mathbf{r}(u,v))\cdot \left[-\left(\frac{\partial \mathbf{r}}{\partial u}\times \frac{\partial \mathbf{r}}{\partial v}\right)\right]=3 u

 

Infine impostiamo l'integrale

 

\iint_{\Sigma}\mathbf{F}\cdot \mathbf{n}d\Sigma= \int_{0}^{1}\int_{0}^{2\pi}3 udvdu= 3\pi

 

Nel caso di una superficie chiusa (intuitivamente è il bordo di un solido dello spazio tridimensionale) allora possiamo procedere con la definizione parametrizzandola in modo opportuno e stando attenti al verso della normale, potremo calcolare infatti il flusso entrante o il flusso uscente alla superficie. Sotto opportune ipotesi di regolarità possiamo far intervenire l'utilissimo teorema della divergenza, il quale trasforma l'integrale di superficie in un integrale di volume.

 

Teorema della divergenza

 

Sia dato un insieme Q\subset\mathbb{R}^3 limitato dal una superficie chiusa \partial Q sufficientemente regolare con normale esterna alla superficie \mathbf{n}. Se le componenti del campo vettoriale \mathbf{F}(x,y,z)= (F_1(x,y,z), F_2(x,y,z), F_3(x,y,z)) hanno le derivate parziali prime continue nell'insieme Q allora vale l'impotante uguaglianza:

 

\iint_{\partial Q}\mathbf{F}\cdot \mathbf{n}d\Sigma= \iiint_{Q}\mbox{div}\mathbf{F}(x,y,z)dV

 

dove \mbox{div}\mathbf{F}(x,y,z)= \frac{\partial F_1}{\partial x}+\frac{\partial F_2}{\partial y}+\frac{\partial F_3}{\partial z}  

 

Si percepisce la potenza di questa relazione soprattutto quando l'integrale al secondo membro è di facile risoluzione! Wink 

 

Esempio di applicazione del teorema della divergenza

 

Vogliamo calcolare il flusso uscente dalla superficie \partial Q del solido Q limitato dal paraboloide z= 1-x^2-y^2 ed il piano x y del campo vettoriale \mathbf{F}(x,y,z)= (x, y, z)

 

Potremmo pensare di procedere con la definizione scrivendo la superficie \partial Q= \partial Q_1\cup \partial Q_2 dove \partial Q_1 è la superficie del paraboloide z= 1-x^2-y^2 e \partial Q_2 è il "tappo" che giace nel piano x y ma questo ha un costo computazionale da non sottovalutare dovremmo calcolare separatamente i flussi che passano per le le due superfici. Proviamo ad utilizzare il teorema della divergenza. Si ha che:

 

\mbox{div}\mathbf{F}(x,y,z)= 1+1+1= 3

 

Il flusso è dato dall'integrale:

 

\iint_{\partial Q}\mathbf{F}\cdot\mathbf{n}d\Sigma= \iiint_{Q}3 dV= 3 \iiint_Q dV

 

Non ci rimane altro che risolvere l'integrale:

 

3\iiint_{Q} dV= 3 \iiint_Q dx dydz

 

Possiamo integrare per sezioni: z\in[0,1] e Q_z= \left\{(x,y)\in \mathbb{R}^2: x^2+y^2\le 1-z\right\}

 

3\iiint_{Q}dxdydz= \int_{0}^{1}\left[\iint_{Q_z}dxdy\right]dz= 3\int_{0}^{1}\pi (1-z)dx=\frac{3}{2}\pi

 

 


 

Abbiamo concluso, vi invitiamo a calcolare il flusso di questo esercizio con la definizione e provarne la correttezza :)  Fatto questo, non vi rimane altro che utilizzare la barra di ricerca, grazie ad essa riuscirete a trovare moltissimi esercizi svolti su questo argomento e con essi potrete allenarvi!

 

In bocca al lupo!

Ifrit

 

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