Serie di funzioni

In questo articolo riporteremo le definzioni fondamentali e i teoremi più importanti che hanno per protagoniste le amate/odiate serie di funzioni. Nel seguito passeremo allo studio di un particolare tipo di serie di funzioni, le cosiddette serie di potenze.

 

Definizione di serie di funzioni

 

Sia (f_n(x))_{n\in\mathbb{N}} una successione di funzioni reali di variabile reale definite su un insieme D\subseteq\mathbb{R} a valori reale. Definiamo serie di funzioni la successione delle somme parziali:

 

\begin{align*}S_1(x)&= f_1(x)\\ S_2(x) &= f_1(x)+f_2(x)\\S_3(x)&= f_1(x)+f_2(x)+f_3(x)\\ \vdots\\ S_n(x)&= f_1(x)+f_2(x)+\cdots+f_n(x)\\\vdots \end{align}

 

Chiameremo f_n(x) termine generale della serie di funzioni.

 

Impariamo bene questa nomenclatura, ok? Come per le serie numeriche, studiare una serie di funzioni vuol dire capire il suo comportamento!

 

Comportamento di una serie di funzioni

 

Convergenza puntuale di una serie di funzioni

 

Ci sono tre possibili comportamenti per una data serie di funzioni:

 

converge in un punto x_0\in D se converge la successione delle somme parziali S_n(x_0) e questo equivale a chiedere che esiste finito il limite:

 

\lim_{n\to \infty}S_n(x_0)= S(x_0)

 

diverge in x_0\in D se diverge la successione delle somme parziali, e quindi:

 

\lim_{n\to \infty}S_n(x_0)= +\infty\mbox{ o }-\infty

 

- è irregolare in x_0 \in D se è irregolare la successione delle somme parziali, cioè:

 

\nexists\,\,\lim_{n\to \infty}S_n(x_0)

 

Siamo ovviamente interessati maggiormente al primo caso e a quella che viene chiamata convergenza puntuale delle serie di funzioni.

 

Diremo che la serie \sum_{n=1}^{\infty}f_n(x) converge ad una funzione f puntualmente in un insieme A\subseteq D se e solo se (per definizione) per ogni x\in A e per ogni \varepsilon\,\textgreater\, 0 riusciamo a determinare un indice n_{\varepsilon, x}, dipendente da \varepsilon e x tale che

 

|S_n(x)-S(x)|\,\textless\,\varepsilon\mbox{ per ogni }n\,\textgreater\, n_{\varepsilon, x}

 

In matematichese scriveremo:

 

\forall x\in A, \forall\varepsilon\,\textgreater\, 0,\,\exists n_{\varepsilon, x}\in \mathbb{N}:|S_n(x)-S(x)|\,\textless\,\varepsilon\quad\forall\,n\textgreater n_{\n_{\varepsilon, x}}

 

Chiameremo S(x) la funzione somma della serie \sum_{n=1}^{\infty}f_n(x) definita nell'insieme A, detto insieme di convergenza puntuale.

 

 

Lo studio di una convergenza puntuale di una serie di funzioni può essere svolto tranquillamente utilizzando i criteri studiati per le serie numeriche, questo perché fissato x_0\in A la serie di funzioni \sum_{n=1}^{\infty}f_n(x_0) si riduce ad una semplice serie numerica. È ovvio dunque che prima di procedere con lo studio delle serie di funzioni è consigliabile ripassare bene la teoria delle serie numeriche!

 

Convergenza uniforme di una serie di funzioni

 

Oltre alla convergenza puntuale, esiste inoltre la convergenza uniforme che è un concetto diverso da quello precedente, sebbene ad una prima lettura un po' tutti non riescono a cogliere la differenza :)

 

Una serie \sum_{n=1}^{\infty}f_n(x) converge uniformemente ad una funzione S(x) nell'insieme A\subseteq D se per ogni \varepsilon\,\textgreater\, 0 riusciamo a determinare un indice n_{\varepsilon}\in\mathbb{N}, che non dipende più da x ma dalla sola \varepsilon, tale che |S_n(x)-S(x)|\,\textless\,\varepsilon per ogni n\,\textgreater\,n_{\varepsilon} per ogni x\in A.

 

In simboli:

 

\forall\varepsilon\,\textgreater\, 0,\,\exists n_{\varepsilon}\in \mathbb{N}:|S_n(x)-S(x)|\,\textless\varepsilon\quad\forall n\,\textgreater\, n_{\varepsilon},\,\forall x\in A

 

Differenza tra convergenza puntuale e convergenza uniforme

 

Nella convergenza puntuale partiamo subito con il quantificatore universale \forall x  fissiamo quindi prima x, chiamiamolo x_0, dopodiché fissiamo \varepsilon\,\textgreater 0, riusciremo a determinare un indice che dipende da x_0 , n_{\varepsilon, x_0} dopo del quale le somme parziali S_{n}(x_0) staranno tra i valori reali S(x_0)-\varepsilon e S(x_0)+\varepsilon. Geometricamente avremo questa situazione:

 

 

Convergenza puntuale di una serie di funzioni

 

 

Per quanto riguarda la convergenza uniforme partiamo invece dal quantificatore universale \forall\varepsilon\,\textgreater\,0, riusciamo a determinare un indice n_{\varepsilon} dopo del quale i termini della successione delle somme parziali S_n(x)  vivono nella "striscia" di raggio \varepsilon e "centro" la funzione somma S(x) e questo vale \forall x\in A

 

 

Convergenza uniforme di una serie di funzioni

 

 

Studiare la convergenza uniforme di una serie di funzioni con la definizione non è affatto semplice questo perché è difficile trovare l'espressione esplicita della funzione somma S(x)  :( Che fare? Introduciamo un nuovo concetto: la convergenza totale!

 

Convergenza totale di una serie di funzioni

 

Una serie \sum_{n=1}^{\infty}f_n(x) converge totalmente ad una funzione S(x) nell'insieme A se esiste una successione di numeri reali non negativi (M_n)_{n\in \mathbb{N}} tale che |f_n(x)|\le M_n\quad\forall x\in A e la serie numerica \sum_{n=1}^{\infty}M_n converge.

 

Il perché di questo nuovo concetto è presto detto! Sussiste la seguente catena di implicazioni:

 

la convergenza totale implica la convergenza uniforme, e la convergenza uniforme implica la convergenza puntuale.

 

Le frecce non possono essere invertite Wink. Lo studio della convergenza totale può avvenire in più modi:

 

 

- ci si appoggia a disuguaglianze note 

 

Un esempio: la serie \sum_{n=1}^{\infty}\frac{\sin(n x)}{n^3} converge totalmente e quindi uniformemente perché

 

\left|\frac{\sin(n x)}{n^3}\right|\le \frac{1}{n^3}\quad \forall x\in \mathbb{R}\,\, n\in\mathbb{N}

 

La successione di cui necessitiamo per innescare la definizione è M_n= \frac{1}{n^3} e poiché \sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^3} converge allora la serie di partenza converge totalmente e quindi uniformemente in \mathbb{R}.

 

 

- Si studia il massimo assoluto/estremo superiore della funzione |f_n(x)| al variare di n. Così facendo otterremo una successione di valori reali che assumerà il ruolo di M_n nella definizione.

 

Un esempio: la serie \sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{x^2+n^2} converge totalmente in \mathbb{R}. Il termine generale della serie in valore assoluto è

 

|f_n(x)|= \frac{1}{x^2+n^2}= f_n(x).

 

Determiniamo i massimi della generica funzione calcolando la derivata prima rispetto alla variabile x

 

f_n'(x)= -\frac{2x}{(n^2+x^2)^2}

 

Si verifica facilmente che x=0 è punto di massimo assoluto per ogni n\in\mathbb{N}, il massimo è f_n(0)= \frac{1}{n^2} e poiché \sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^2} converge allora abbiamo assicurata la convergenza totale e quindi quella uniforme.

 

Perché studiare la convergenza uniforme di una serie di funzioni? 

 

Le serie di funzioni in generale hanno problemi con i limiti, le derivate e gli integrali. Esse non permettono "il passaggio" di questi operatori attraverso il simbolo di serie, cioè in generale non si hanno le uguaglianze:

 

\begin{align*}\lim_{x\to x_0}\sum_{n=1}^{\infty}f_n(x)&=  \sum_{n=1}^{\infty}\lim_{x\to x_0}f_n(x)\\ \int_{a}^{b}\sum_{n=1}^{\infty}f_n(x)dx&= \sum_{n=1}^{\infty}\int_{a}^{b}f_n(x)dx\\\frac{d}{dx}\left[\sum_{n=1}^{\infty}f_n(x)\right]&= \sum_{n=1}^{\infty}f_n'(x)\end{align}

 

e questo è davvero un peccato, Frown ma la convergenza uniforme ci viene in soccorso e mette le cose a posto. Enunciamo alcuni utilissimi teoremi...

 

 

Teorema sulla continuità della somma di una serie di funzioni

 

Sia \sum_{n=1}^{\infty}f_n(x) una serie di funzioni reali e continue in A che converge uniformemente in A verso la funzione S(x) allora la funzione somma S(x) è continua in A.

 

Implicitamente stiamo affermando che

 

\lim_{x\to x_0}\sum_{n=1}^{\infty}f_n(x)= \sum_{n=1}^{\infty}\lim_{x\to x_0}f_n(x).

 

 

Teorema di integrazione per serie di funzioni

 

Se la serie \sum_{n=1}^{\infty}f_n(x) converge uniformemente ad una funzione S(x) in un intervallo [a,b] allora 

 

\int_{a}^{b}S(x)dx= \sum_{n=1}^{\infty}\int_{a}^{b}f_n(x)dx

 

 

Teorema di derivabilità per le serie di funzioni

 

Consideriamo la serie \sum_{n=1}^{\infty}f_n(x) che converge puntualmente in S(x) nell'intervallo I. Supponiamo che \sum_{n=1}^{\infty}f_n'(x) converga uniformemente ad una funzione T(x) per ogni x\in I allora

 

\bullet)\ S(x) è derivabile in I 

 

\bullet)\ S'(x)= T(x)

 

 

I teoremi appena enunciati dimostreranno la propria importanza e forza per una particolare classe di serie di funzioni: le serie di potenze.

 

 


 

Questo è tutto gente! Non vi rimane altro che iniziare a fare qualche esercizio giusto per prendere un po' di confidenza...Laughing...ALT! Dove state andando? Restate su YM, potete trovare tantissimi esercizi! Ne abbiamo risolti e spiegati a migliaia, a voi non vi rimane altro che sfruttare la barra di ricerca...e se ancora non bastasse, potrete sempre aprire una discussione nel Forum.

 

Buon divertimento!

Ifrit

 

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