Lunghezza di una curva

Una tipologia di esercizi abbastanza standard negli esami di Analisi 2 consiste nel calcolare la lunghezza di una curva, o la lunghezza di un arco di curva. Un tale argomento, d'altra parte, ha notevoli conseguenze nello studio della Geometria e quindi della Fisica. 

 

Come calcolare la lunghezza di una curva

 

1) Lunghezza di curve definite come grafici

 

Partiamo dal caso più semplice, è una formula che viene insegnata anche alle scuole superiori, e riguarda le curve piane che sono grafico di una funzione y= f(x) con x\in [a,b]. La funzione f(x) deve essere derivabile e la formula per il calcolo della lunghezza è:

 

\mathcal{L}(f, [a,b])= \int_{a}^{b}\sqrt{1+f'(x)^2}dx

 

Siamo schietti! La presenza della radice complica tremendamente il calcolo dell'integrale che spesse volte richiederà molti passaggi e conti Frown. Fortunatamente i professori faranno in modo che i calcoli non siano impossibili creandoli ad hoc. Vediamo un esempio così capiamo come applicare questa formula.

 

Vogliamo calcolare la lunghezza del grafico della funzione

 

f(x)= \frac{2}{3}\left(x-1\right)^{\frac{3}{2}} con [1,4]

 

 

Lunghezza di una curva

 

 

Calcoleremo la derivata della funzione

 

f'(x)= \sqrt{x-1}

 

dopodiché passiamo all'integrale:

 

\begin{align*}\mathcal{L}(f, [1, 4])&= \int_{1}^{4} \sqrt{1+f'(x)^2}dx\\&= \int_{1}^{4}\sqrt{1+x-1}dx\\&=\int_{1}^{4}\sqrt{x}dx\\&=  \frac{14}{3}\end{align}

 

Non è stato un caso che l'integrale è stato di facile risoluzione, abbiamo fatto in modo che i conti risultassero agevoli.

 

2) Lunghezza di curve piane date in forma parametrica

 

Proviamo a generalizzare il procedimento per curve piane, la formula che abbiamo dato prima non va più bene perché in generale le curve piane non sono descritte da funzioni del tipo y= f(x). Non c'è problema, vediamo subito come aggirare l'ostacolo...

 

Diamo la formula per il calcolo della lunghezza di una curva espressa in forma parametrica: supponiamo di avere una curva regolare \gamma di equazione \mathbf{r}:[a,b]\to\mathbb{R}^2 con

 

\mathbf{r}(t)= \begin{cases}x= x(t)\\ y= y(t)\end{cases}\mbox{ con } t\in [a,b]

 

allora la lunghezza della curva è data dall'integrale

 

\mathcal{L}(\gamma, [a,b])= \int_{a}^{b}||\mathbf{r}'(t)||dt

 

scrivendo le componenti in forma esplicita

 

\mathcal{L}(\gamma, [a,b])= \int_{a}^{b}\sqrt{x'(t)^2+y'(t)^2}dt

 

Ancora una volta la presenza della radice ci metterà i bastoni tra le ruote, non demoralizziamoci e prendiamoli come una sfida! Vogliamo calcolare la lunghezza della curva \gamma definita dalla legge

 

\mathbf{r}(t)= (e^t, e^t+1)\quad t\in [0,\ln(2)]

 

La curva nel piano è un segmento di estremi (1,2) e (2, 3)

 

 

Lunghezza di un segmento

 

 

Si ha che

 

\begin{align*}||\mathbf{r}'(t)||&= \sqrt{\left[\frac{d}{dt}(e^t)\right]^2+\left[\frac{d}{dt}(e^{t}+1)\right]^2}dt\\&=\sqrt{2}e^{t} \end{align}

 

e l'integrale da risolvere diventa

 

\begin{align*}\int_{0}^{\ln(2)}||\mathbf{r}'(t)||dt&=\int_{0}^{\ln(2)} \sqrt{2}e^t\\&= \sqrt{2}\end{align}

 

3) Lunghezza di curve date in forma polare

 

Un'altra formula che tornerà utile nella risoluzione di esercizi è quella che ha per protagoniste le curve regolari espresse in forma polare, cioè quelle funzioni che si presentano nella forma

 

\rho= f(\theta)\mbox{ con }\theta\in [\theta_0, \theta_1]

 

La formula della lunghezza è:

 

\mathcal{L}=\int_{\theta_0}^{\theta_1}\sqrt{f'(\theta)^2+f(\theta)^2}d\theta

 

Esempio: vogliamo calcolare la lunghezza della cardiode di equazione

 

\rho=1-\cos(\theta)\mbox{ con }\theta \in [0,2\pi]

 

Nel piano la cardioide ha la seguente rappresentazione

 

 

Cardioide

 

 

Utilizzando la formula precedente otterremo

 

\begin{align*}\mathcal{L}&= \int_{0}^{2\pi}\sqrt{(1-\cos(\theta))^2+\sin^2\theta}d\theta\\&= \int_{0}^{2\pi}\sqrt{2-2\cos(\theta)}d\theta\\&= \int_{0}^{2\pi}\sqrt{4\sin^2\frac{\theta}{2}}d\theta\\&= \int_{0}^{2\pi}2\sin\frac{\theta}{2}d\theta\\&= \left[-4\cos\frac{\theta}{2}\right]_{0}^{2\pi}= 8\end{align}

 

4) Lunghezza di una curva in tre dimensioni

 

E se la curva non fosse piana ma "vivesse" nello spazio tridimensionale? La domanda è più che legittima e fortunatamente ne conosciamo la risposta! Estendiamo la definizione data per le curve regolari piane! I matematici amano riciclare le cose, sono ambientalisti (ok, questa potevamo evitarla...)

 

Bando alle ciance: sia \gamma una curva regolare definita dall'espressione

 

\mathbf{r}(t)= (x(t),y(t), z(t))\quad t\in [a,b]

 

allora la sua lunghezza è data dall'integrale:

 

\mathcal{L}= \int_{a}^{b}||\mathbf{r}'(t)||dt

 

se scriviamo esplicitamente la norma del vettore velocità si lascia esprimere come:

 

\int_{a}^{b}\sqrt{x'(t)^2+y'(t)^2+z'(t)^2}dt

 

Vediamo un classico esempio: calcoliamo la lunghezza di un'elica di passo 1 che ha equazione parametrica:

 

\mathbf{r}(t)= (\cos(t),\sin(t), t)\mbox{ con }t\in [0,3\pi]

 

Calcoliamo il vettore \mathbr{r}'(t)= (-\sin(t), \cos(t),1) la cui norma coincide con

 

||\mathbf{r}'(t)||= \sqrt{\sin^2(t)+\cos^2(t)+1}= \sqrt{2}

 

L'integrale diventa

 

\mathcal{L}= \int_{0}^{3\pi}\sqrt{2}= 3\sqrt{2}\pi

 

 


 

 

Abbiamo considerato tutti i casi possibili! Come avete avuto modo di constatare non è difficile costruire l'integrale, può però diventare un'impresa molto ardua risolverlo...Motivo per il quale vi consigliamo di ripassare gli integrali irrazionali che la fanno da padrone in questo tipo di esercizi (trovate tutti i metodi di risoluzione tra le lezioni del link).

 

A titolo di cronaca, c'è una gallery di curve piane notevoli che potrebbe interessarti: alcune di esse potrebbero fornirti spunti interessanti per esercitarti...Wink

 

Non vi resta che esercitarvi: su YM potete trovare molti problemi ed esercizi interamente svolti e spiegati, ne abbiamo risolti migliaia e sono tutti a portata di click! Potete trovare tutto quello che vi serve con la barra di ricerca, ed eventualmente potrete aprire una discussione nel Forum.

 

In bocca al lupo!

Ifrit

 

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