Integrali di linea di seconda specie

Vediamo come si calcolano gli integrali di linea di seconda specie: la nozione di integrale di linea di seconda specie che ha notevole utilizzo in Fisica ed è strettamente legato al concetto di Lavoro, tant'è vero che alcuni professori di Fisica lo chiamano integrale del Lavoro.

 

Definizione di integrale di linea di seconda specie

 

Iniziamo con la definizione, che viene utilizzata anche per il calcolo esplicito dell'integrale. Mettiamo però subito in chiaro che non è l'unica strada percorribile, però ci leverà le castagne dal fuoco...Gli ingredienti per definire la nozione di integrale di linea di seconda specie sono due:

 

- un campo vettoriale

 

F: \Omega\subset\mathbb{R}^2\to\mathbb{R}^2

 

definito dalla legge F(x,y)= (F_1(x,y), F_2(x,y)), dove \Omega\subseteq \mathbb{R}^2 è un insieme aperto e  F_1, F_2 sono due funzioni scalari definite su esso. Non fatevi spaventare dall'espressione campo vettoriale, intendiamo dire che è una funzione che associa a un punto del piano \mathbb{R}^2 un vettoreWink

 

- Una curva regolare \gamma: [a,b]\to \Omega le cui componenti sono

 

\gamma(t)= (x(t), y(t))

 

L'integrale della funzione F lungo la curva \gamma, vale a dire l'integrale di linea di seconda specie di F su \gamma, è definito da:

 

\int_{\gamma} F\cdot d\gamma= \int_{a}^{b}F_1(x(t), y(t))x'(t)+ F_2(x(t),y(t))y'(t)dt

 

Il precedente integrale si scrive anche in questo modo:

 

\int_{a}^{b}F(\gamma(t))\cdot \gamma'(t)dt

 

In effetti il meccanismo che vi sta dietro non è complicato, anche se possono sorgere problemi nella parametrizzazione della curva \gamma oppure nel calcolo dell'integrale, che è in una variabile. Se però la funzione integranda è particolarmente molesta allora il calcolo esplicito può diventare un'impresa titanica se non impossibile. 

 

Esempio di calcolo di un integrale di linea di seconda specie

 

Proviamo a vedere un esempio di come calcolare un integrale di linea di seconda specie utilizzando la definizione. Supponiamo di voler calcolare l'integrale di linea del campo vettoriale 

 

F(x,y)= (x+y, 1)

 

lungo la circonferenza di centro (0,0) e raggio 1 percorsa in senso antiorario.

 

Perché specificare il verso di percorrenza? Lo vedremo a breve, per ora ci impegnamo ad imparare i passi necessari a risolvere l'esercizio. 

 

Per prima cosa parametrizzeremo la curva, che come possiamo notare è una circonferenza di centro (0,0) e raggio 1. Utilizziamo la parametrizzazione classica facendo ricorso alle coordinate polari

 

\gamma(t)= (\cos(t), \sin(t))\quad t\in [0,2\pi]

 

Il verso di percorrenza della parametrizzazione è quello richiesto dall'esercizi,o quindi siamo a cavallo! 

 

A questo punto calcoliamo F(\gamma(t))= (\cos(t)+\sin(t),1), che si ottiene sostituendo ad ogni occorrenza di x della funzione F la prima componente del vettore che definisce la curva e ad ogni occorrenza di y la seconda componente.

 

Fatto questo dobbiamo determinare il vettore velocità \gamma'(t) derivando le componenti rispetto a t.

 

\gamma'(t)= (-\sin(t), \cos(t))

 

Infine calcoliamo il prodotto scalare 

 

\begin{align*}F(\gamma(t))\cdot \gamma'(t)&= (\cos(t)+\sin(t), 1)\cdot (-\sin(t),\cos(t))\\&=\cos(t)-\sin(t)(\cos(t)+\sin(t))\end{align}

 

Abbiamo determinato la funzione da integrare. Calcoliamo quindi integrale

 

\int_{0}^{2\pi}\cos(t)-\sin(t)(\cos(t)+\sin(t))dt=[\mbox{conti}]= -\pi

 

Cosa succede se cambiamo verso di percorrenza? Consideriamo

 

\gamma(t)= (\sin(t), \cos(t))\quad t\in [0,2\pi]

 

essa è la parametrizzazione della stessa circonferenza ma questa volta percorsa in senso orario, effettuando i conti del tutto simili ai precedenti, arriveremo alla conclusione che:

 

\int_{\gamma}F\cdot d\gamma= \pi

 

abbiamo cioè lo stesso risultato a meno di un segno. In realtà vale una proprietà notevole degli integrali di linea:

 

invertendo il verso di percorrenza di una curva l'integrale di linea di seconda specie cambia segno! 

 

Formalmente scriveremo

 

\int_{\gamma}F\cdot d\gamma= -\int_{\gamma^{-}}F\cdot d\gamma

 

dove con \gamma^{-} vogliamo evidenziare il fatto che la curva \gamma viene percorsa nel verso opposto! Attenzione: La simbologia utilizzara varia da professore a professore!

 

 


 

Per ora ci fermiamo qui, non vi resta altro che cercare esercizi su YM per fare un po' di allenamento: con la barra di ricerca potete trovare migliaia e migliaia di esercizi risolti e sspiegati fino all'ultimo passaggio...e se non dovesse bastare, aprite pure una discussione nel Forum.

 

Ifrit

 

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